Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Для этого достаточно потребовать совпадения граничных точек соответствуюших отрезков, т. е. положить 6-Р 6 6+р е — «6 ' е+«6 (33) з-р а+Р д — «а д+ «а Теорема 2. Пусть А=А,+А„где А, и А,— перестановочные самосопряженные операторы, удовлетворяющие условиям (20). Тогда для погре«иности итериционного метода (21) — (26) справедлива оценка (11), где ~ 1 — 1 "6)* (2!) !(~/~ ' 1+« Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем уравнение для погрешности метода (21), (22) в виде г„т, = 5г» (28) Таким образом, приходим к системе четырех уравнений относительно пяти неизвестных р, д, г, 6, Л. Положим для определенности Л=1.
Тогда после несложных, но громоздких выкладок, которые мы опускаем, получим, что решение системы (33) определяется формулами (23), (24) и ! †! 6=— !+! Обрашаясь к выражению (32) для собственного числа оператора 5, видим, что мы пришли к той же задаче, которая возникла прп доказательстве теоремы 1, а именно: найти значение ы, которое минимизирует !Щ = шах! Хи (5) ) при условии, что 0 6( ( й» ( 1, Согласно теореме 1 для этого достаточно взять 4а=='=1 — И тОГДа ПОЛУЧИМ (Щ(Ри ГДЕ Р,=~ ), Г! 4-1 )гу '!' У'6 ' ' ~ +л)' 3=6= .Этим и завершается доказательство теоремы 2.
1+! П р и м е р, Рассмотрим разностную аппроксимацию уравнения Пуассона в прямоугольнике 6 с границей Г на прямоугольной сетке с шагами Ь, и й;. Уаь! Л! У!-м! Ус!а У;Г + УСГ 1 — 2(, -1- .. — 2 "+ (34) Я' 1 2 1=1, 2,..., Л',— 1, 1=1, 2, ..., Л',— 1, л,Л',=1„6,Л/,=1„у(хи) =О, хчевГ. В данном случае А=А,-!-А„где (А„у)у = — у-, и = 1, 2, хи"и ц Операторы А, н А, перестановочны. Они являются самосопряженными и положительно определеннымп операторами в смысле скалярного произведения Ю,-1 Ф;1 (у, с) = хз' йг ~~~~ 1!иуод1ь !чи Гии Еак показано в ь 1,2 гл. 3, операторы А. удовлетворяют неравенствам (20), где 4 . з ааа 4 илии би = —, з)п' — ", Ли = —, сози — ", а == 1, 2, аа 2!и аи 2!и Таким образом, для решения разностной задачи (34) можно применить итерационный метод (21), (22), в котором итерационные параметры т, и т, выбираются согласно формулам (26).
Разумеется, для решения задачи (34) можно использовать итерационный метод (2), (3) с более простым способом выбора итерационного параметра (10), где 6=пни(6„6,), Л=!пах(Л„Л,). Однако 410 при атом для достижения той же точности е потребуется выполнить большее число итераций. Действителш)о, согласно теоремам 1 и 2 число итераций при малых 5 пропорционально 5-"', где $=4)=6!Л для метода (2), (3), 6=$я=(1 — 1)ф +1) для метода (21) — (23).
Из формулы (23) находим 1 ~ 6, бт 6, 6 1 $,= — ~ — + — '+ — + — ") . 4 Ь) Ггз аз Пусть, для определенности, 6,<6„Л,<Л,. Тогда получим 4 ( 6)) 6~ Отношение числа итераций п,")(в) в методе (2), (3) к числу итераций и'," (и) в методе (21) — (23) окажется равным .";(.') =~в',=-'~'~'+Ь('+й) ' Если, например, 1,=0,51ь йз=0,5)т„то получим 6,=46„Л,= =4Л„и, следовательно, пзп(е)/и',"(з) = 2,5. 3 а и е ч а н и е.
Существенного ускорения сходимости можно добиться путем использования итерационного метода Уь у — Уа + Л~Узмг+ ларе =1 та+ Уам — Уаьи М,г) ' +Л)Уаьн +Лара+) =)* тз с переменными параметрами тг '), т~ '), й О, 1,,н — 1, Способ выбора ите- (Ь г) )Й+)) рацнонных параметров я оценив погрешности подробно изложены в 130, с, 4631. Отметим лишь, что в случае модельной задачи число итераций, необходимых или 1) достижения заданной точности а, являетсн величиной О (1и †) .
д)' $ 5. Метод матричной прогонки 1. Введение. Матричная прогонка относится к прямым методам решения разностных уравнений. Она применяется к уравнениям, которые можно записать в виде системы векторных уравнений — с,д,+в,д,= — в„ А)У)- — СУ)+В)у+ = — Ви (=1,2,...,6( — 1, (1) А,д,,- Сму, =- В„ 411 где у,— искомые векторы размерности М, Е,— заданные векторы, А„Ви С! — заданные квадратные матрицы порядка М.
Матричная прогонка представляет собой обобщение обычной прогонки на случай системы векторных уравнений (!). По сравнению с другими прямыми методами решения разностных задач матричная прогонка более универсальна, так как позволяет решать уравнения с переменными коэффициентами н не накладывает сильных ограничений на вид граничных условий.
Однако применение матричной прогонки к решению двумерных разностных задач сталкивается с двумя трудностями: неэкономичностью по числу действий (т. е. большое время счета) н, главным образом, необходимостью в больших ресурсах машинной памяти. Если же матрицы Аи Ви С! имеют относительно невысокий порядок (как это бывает нрп аппроксимации систем одномерных дифференциальных уравнений), то матричная прогонка ничем не хуже обычной прогонки. Прежде чем излагать алгоритм, покажем на простом примере, каким образом двумерную разностную задачу можно привести к виду (1). 2.
Запись разностного уравнения Пуассона в виде системы векторных уравнений. Пусть в прямоугольнике 6= (0<х,<1„, а=!, 2) с границей Г требуется найти решение уравнения Пуассона д!и д!и —, + —, = — 1(х„х,), (2) дх,' дх,' удовлетворяющее условию Дирнхле и(х„х,) =р(х„х,), если (х„х,) енГ. (3) Введем прямоугольную сетку 6и=(ху =(х,, х, )), !и !!) где х,"'= (й„х~,"=)пь !=О, 1, ..., й!„1=0, 1, ..., !тм и!И!=1н г!,!У,=1, и заменим задачу (2), (3) разностной схемой — зк!! +и!ь! ! и!! ! — з"!! + (4) л' л — !!~ 1 Я 1=1, 2,..., й(,— 1, !' = 1, 2,..., й( — 1, !=1,2, ...,Ж,— 1, Уо! = рм У№! = ркн (5) !=1, 2,..., й!',— 1.
У!о = н!м У!еп =р!№~ Разностная схема (4), (5) предстанляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными явля!отея значения уги !=1, 2, ..., Ф,— 1, 1=1, 2, ..., й!,— 1. Число неизвестных равно числу уравнений, т. е. (Л~,— 1) (Л!,— 1). Запишем систему (4), (5) в векторном виде (1). 4!З При решении системы (4), (5) матричную прогонку можно про- водить ьак по индексу 1, так и по индексу С. Покажем, например, как подготовить систему (4), (5) к виду (1), удобному для приме- нения прогонки по индексу с. Перепишем систему (4) в виде у„с2 — 2 + ' УСС УСС-о Уу + УС,Сы '1 Ус+»С Ло /+ л, с=!, 2,..., Лс,— 1, 1=1, 2, ..., Лсо — 1 н учтем граничные условия Усо = )ссо, Усм, = рсос„ с = 1, 2, ..., Л1с — 1. Тогда получим систему уравнений Ус-по У» У» + У» Ус+о» о Сосо сс Ло Л Ло Ло Л' 1 1 ,о 1 3 У'-ьС (~Ус! Ус,С-с — 2УИ + Ус.С+с 1+ Ус+ьС Л' '1, Л' Л' ) Л' с о о 1 1=2,3,..., Лсо — 2, Ус-ьм~~ ' Ус,ос о Ус,ос~о Ус.ос~с ) + Ус+ьсс,-~ ~ Ссссо, '2 — 2 .
Ло Л 1 1 о о где с'= 1, 2,..., Лс, †!. Далее, обозначим через Е, единичную матри- цу порядка Лс,— 1 и через Л,— следующую трехдиагональную ма- трицу того же порядка — 2 1 О О ! — 2 1 О О 1 — 2 О 1 о Лз (6) 1 — 2 О 1 — 2 Ясно, что Л, представляет собой матрицу оператора второй разностпой производной по направлению х.. Введем для с=1, 2,..., Лс,— 1 векторы У =(Усс,У».....У»У )', (7) ст Рс= Ь, + —,", 6о, )со...., 6,сс ь Гс,сс„с+ — ','), (8) Уо = !со~ Ую = )сок 413 Тогда предыдущую систему уравнений можно записать в векторном ниде 1 l 2 1 — Езус — — Ео — Л Ус + — ЕоУсос = — Рь ~1 о~ Л' Л, ~ Л, (9) с=1, 2, ..., Лс,— 1, Эту систему уравнений следует дополнить граничными условиями где РО ()л»»»»» ' ' ' !л»»»» ) рХ» (!л»»»»1л»» 2 ' ' ' 1лл»»»»») Таким образом, разностная схема (4), (5) записывается в векторном виде (1), где В, и А„— нулевые матрицы, А,=В,= Я~Е„ С» = 2Ь» Ез — Л„»:=1, 2,..., У,— 1.
Может оказаться, что У,»У„т. е. что число точек сетки по направлению х, гораздо больше числа точек по направлению х, (например в случае, когда прямоугольник 6 силыю растянут в направлении х,). Тогда выгоднее пользоваться прогонкой по индексу 1, так как при этом соответствующие матричные коэффициенты будут иметь порядок У,— 1 гораздо меньший, чем № — 1. Соответствующая система векторных уравнений имеет вид — Е,У1, — — Ел — Л, ~ У» + — Е,У;,, = — Рп а ! а 61 1= 1» 2 ° ° ° » Уз 1» уз= ря» ул»»=!лл»»» где Е,— единичная матрица порядка У,— 1, Л,— матрица, анало- гичная (6) и имеющая порядок У,— 1, Уl=(уп»ум ° ° ° »Ул"-»л)» !ха=(!лы Ртл ° Рл»-ь») .)г )г (хм, = (Р»л»,рлл,... ри,-ел»,) г.
3. Алгоритм матричной прогонки. Пусть задана система урав- нений (1). Формулы матричной прогонки можно получить так же, как и формулы обычной прогонки (см. п. 7 ~ 4 ч. 1), однако прн их выводе надо учитывать, что коэффициенты уравнения (1) пепе- рестановочны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
