Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Из неравенства (5) и выражения (б) для с/„следует оценка 1! и- — Р ~! -< 2Р" Ье — й. Поэтому достаточно потребовать 2р," (е, т. е. и ~ и (е) = !и — ! ив 2 / е/ Рг При малых й имеем ! 1и — =2 )/й=лй, Рг следовательно, п,(е) = = 1и (2/а) лй Основной вывод, который можно отсюда сделать, сводится к следующему: при решении с помощью чебыптевского итерационного метода разностных задач, аппроксимирующих уравнения эллиптического типа, число итераций п,(е), необходимых для получения заданной точности е, является величиной 0(й '). Напомним, что метод простой итерации и метод Зейделя требуют 0(/т-') итераций, что при Ь=О,! па порядок больше.
Порядок числа итераций в чебышевском методе тот же, что н в методе верхней релаксации с оптимальным выбором релаксационного параметра ш. В данном случае интересно провесгч сравнение необходимого числа итерапнй в методе верхней релаксации и в чебышевском метеле лл ~пслу в. Согласно (32) иа $1 в методе верхней релаксации необходимое число итераций определяется формулой 21пе ' (в.р.) ( ) лй в то время как для чебышевского итерационного метода !и (2а ) лв(е) = лй Таким обрааом, л(в.р.) (в) ч (е) ! и [ 1/(2е) ) в Следовательно, метод верхней релаксации требует большего числа итераций. Естественно требовать, чтобы погрешность в итерационного метода имела тот же горядок йт, что и погрешность аппроксимации рааностной схемы.
Поэтому положим а=0,5 гхй', тле и>0 — постоянная, не вависяшан от й. Тогда получим )и 1/(ыйт) / ! ! лг'"'(е) — л, (е) = = О ! — !и — ) . лй )й й, 3. Применение чебышевского метода к разностным аппроксимациям уравнений эллиптического типа. В случае более общих аппроксимаций уравнений эллиптического типа схема применения чебышевского метода остается той же, что я раньше, однако точ- 391 ные границы спектра у, и у„как правило, не удается найти в аналитической форме.
Поэтому используют те нли иные оценки для границ спектра. В качестве примера рассмотрим аппроксимацию задачи Днрихле для уравнения эллиптического типа д дит д ди — ~А, (х„ х,) — ~ + — ( й,(х,, х,) — 1 — а (х„ х,) и = †~ (х„ х,) ' ' д, ~ д, ~ ' ' ' д, ~ (!2) в прямоугольнике 6=(0. х,(1„а=1, 2).
На границе Г прямоугольника 6 задано условие и(х„х,) =н(хь х,), (х„х,) ~Г. (13) Предполагаем, что при всех (х,, х,) ~6 выполнены неравен- ства 0(сь„(й,(хь х,) =с,„, а=1, 2, 0«=4 =д(хь х,)(Н,, (14) Введем в 6 прямоугольную сетку Я с шагами Л, и Ь, по направлениям х„х, соответственно и обозначим ю 0) ю (и х,' =15„х, =15„хн =(х,, х, ), !2 Л1~=1ь Л,~Му=(м уь=у(хц)~ 1=0, 1, ..., Фн 1=0, 1 ° ° ° ~ Л1м 1 / Ус мз УУ УУ Ус-1д 1 (а,у;)„„н = — 1аь; и; ' — а еу 1 ! Упсм Уу , уп 91 /-т (а,у„-)„у = — (а,чч ' аау ! . ~2 д ' аэ (15) (15) Уп — — Рд, ЕСЛИ Хис=тп Здесь и: =Чы а,,п =0,5(й,(х1, х~л) -1- й,(х1 ~~, х,д)), а, и = 0,5(Уг, (х~~ ~, х~'~) + /г,(х',~~„х,з о)). 392 Обозначим через т сеточную границу, т. е.
пересечение ь) с границей Г. Заменим исходную дифференциальную задачу (12), (13) разностной схемой второго порядка аппроксимации (а~ууи)иип + (агу„,)ииу иууу = 1П 1=1, 2, ..., Л',— 1, 1'=1, 2, ..., И,— 1, Покажем, что разностную задачу (15), (16) можно записать в операторной форме (1), где А — самосопряженный оператор, и получим для зтого оператора оценки вида (2). Прежде всего заметим, что, изменив соответствуюши11 образом правую часть уравнения (15), можно считать, что у,„=-б при х„ен(. Таким ооразом, придем к эквивалентной (15), (16) системс уравнений (а,у„-),, н + (а,у-„)„, 11 — А;у„= — ),л (17) 1=1,2, ..., У1 — 1, 1=-1,2, ..., У1 — 1, у„=0, если х„е=Т, (18) где 7„. отличается от )а только в приграничных точках сетки.
Рассмотрим пространство Н функций, заданных на сетке О и обрашаюшпхся в нуль на Т. Определим в Н скалярное произведение н норму М-1 М,— 1 (у, ) = ~ «* ~,1 апцн, '14 = у'(у, у). Далее, зададим в Н оператор А формулами (Ау)п = — (а,у„-)„„д — (аьу-)„, 11 + г(11ум, ~'=-1, 2,, Л',— 1, 1=1, 2, ..., У1 — 1. (19) Отсюда, меняя местами у и ц, легко установить, что (Ад, и) =- =(у, Ац) при любых у, пенН.
Следовательно, разностной схеме (15), (16) соответствует самосопряженный оператор А. Далее, полагая в тождестве (20) у=о, получим М, М~-1 (Ау, у) = ~ й," ,й,аьп(у„- д)'+ ~=1 1'=-1 М;1 М, М,-1 М.,-1 + '~ й, '~~ й,а,л; (у- ..)'+ ~~ й, „' 6,4; (у;;)-. (21) 1=1 /'.=1 1'=-1 1' — --1 Отсюда, учитывая неравенства (!4), приходим к оценкам (11 (Ау, у) + Г(г) д ~' ( (Ау, у) =- ()а (Ау, у) + Г(д(у ~(1, (22) 393 Тогда разностную схему (17), (18) можно записать в виде операторного уравнения (!) в пространстве Н.
Из разностной формулы Грина (см. (15) из 9 3 гл. 1) следует, что для оператора (19) при любых у, п~Н справедливо тождество М М~-1 (Ау, о) =~й" ,Йяа1ду- .. г1- .. + 1 =.1 1 --1 М вЂ” 1 М М -1 М1-1 + ~~~" й, '~~~ |1,а1 Пу„- и ц-„. Н + ~й1 "~~~814>у11О111 (20) где Л'~ Ф,— 1 л,-~ л', (Ау, д) = ~„' й, 'Я Ь,(у-„п)'+ ~ /г, ~ч~ й, (у; п)~, $' —.1 /=1 /--.~ !1, =с,,+с~ а, ~З,=сзт+с~ з. (24) Обозначение (Ау, у) объясняется тем, что сумма, стоящая в правой части (23), представляет собой скалярное произведение двух некторов у и Ар, где (23) Поскольку б!1У(,"((АУ, У) ( Л()У)!', где 6 = —, з(п — + — „з!ив 4 .
~н/н 4 . ~н/ч ь' 2/~ а( 2/з (25) А = —,соз — + —,соз— 4 яль, 4 ~ли~ а' щ а' я/ (26) (см. 3 1 гл. 3), из (22) следуют операторные неравенства (2) с константами Ъ=1 б с/н "(.=!) б+А. (27) Отсюда по формулам (4) можно вычислить итерационные параметры т, и оценить согласно (5), (6) величину погрешности, Отметим, что приведение разностной схемы (15), (16) к виду (17), (18) потребовалось нам только для того, чтобы определить оператор А н получить оценки его спектра. После того как параметры т, найдены, итерации можно проводить непосредственно для схемы (15), (16). Сначала вычисляется невязка гп = — (а,у;)„, — (а,у„-), и+ нр кч <ю 1 г/,, ри/ — ~п, 1= 1, 2,..., й/, — 1, / = 1, 2,..., Л/, — 1, 3 3. Попеременно-треугольный итерационный метод 1.
Алгебраическая теория. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений А//=) (1) с симметричной положительяо определенной матрицей А порядка а затем находится новое приближение Граничные условия доопределяются согласно (16): у(~'о =/тч, если хост. гп. Зададим матрицу )т= (г„) следующим образом; если 1)1, пу, гу = 0 5 аи, О, если если 1 .1. с самосопряженным положительным оператором В. А именно, оператор В в попеременно-треугольном итерационном методе определяется как произведение В = (Е+вВ') (Е+в)с), (3) где Š— единичный оператор и в)0 — числовой параметр. В дальнейшем параметры м и т будут выбраны исходя из условий сходимости итерационного метода (2), (3).
Если м н т известны, то новая итерация у„, находится из уравнения (2) в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение, которое мы обозначим через у,„.„„ как решение уравнения (Е+мЛ )уА+п2 ~рм (4а) где п„=Ву~ — тАу„+т). На втором этапе, используя найденное значение у„,,„ решается относительно у,, уравнение (Е+м тс ) ун-; ~ = ун. на (46) Решение уравнений (4а), (46) не представляет труда, поскольку матрицы Е+в)т' и Е+юЛ являются треугольными.
Исследование сходимости попеременно-треугольного метода (2), (3) основано на теореме 1 из 3 4 гл. 2 ч. П о сходимости неявных итерационных методов с самосапряженными операторами А, В. В основе этой теоремы лежит предположение о том„что операторы А и В связаны неравенствами т,В=.п4<т,В, (5) зэз Тогда матрицу Л можно представить в виде суммы А=В+)х*, где через В* обозначена матрица, сопряженная с матрицей )х (транспонироаанная к Я в случае действительных матриц и комплексно- сопряженная — в случае комплексных матриц). Ясно, что )т — нижняя треугольная матрица и Я* — верхняя треугольная, причем диагонали матриц Я и Д' совпадают. В дальнейшем удобно рассматривать систему уравнений (1) как операторное уравнение с самосопряженным положительным оператором Л, действующим в конечномерном евклидовом (унитарном — в комплексном случае) пространстве.
Попеременно-треугольный итерационный метод, который будет рассматриваться в настоящем параграфе, относится к неявным итерационным методам вида (2) где Т, и Тс — положительные постоанные. ПоэтомУ иам пРежде всего надо доказать неравенства (5) для оператора (3). Л е м м а 1. Пусть существуют положительньсе постоянньсе 6, Л такие, сто выполнены операторные неравенства (6) (7) Тогда для операторов А=й'+й и В= (Е+юй') (Е+соК) справедливы неравенства (5), где /! юэЛ' -1 ,=~ — +со+ — ) '(б 4 С 2са Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
