Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Определим в НТ скалярное произведение и норму (У, о) = ~~~', Угпг)г, ~ У 1 = 4/ (У, У) г=г и зададим оператор А формулами (Ау)г=у;„1=1, 2, ..., М, уе — — О. (50) (Ау, у) = — 'Я (у„-,.)е и + — ул. д е ! т (51) Применим теорему 4 к исследованию устойчивости схемы (49). Из определения оператора (50) имеем !!АУ)е= '~~~ ~(У„-,.)в)г, позтому тождество (51) можно записать в виде (Ау, у) =0,5)г')Ау//в+ 0,5у,', Тогда условие устойчивости (44) приводит к неравенству (о — 0,5) т))Ап()в+ 0,5ЦАо~)в+ 0,5ье -:О, которое выполняется при всех о Нм тогда и только тогда, когда и! о- — (1 — — ) . ! й' (52) Неравенство (52) и представляет собой условие устойчивости схемы (49).
В частности, явная схема (о=О) устойчива при условии т=-.И, неявные схемы с о' 0,5 устойчивы при любых шагах т и )г. В семейство схем (49) входит и схема (зз) имеюгцвя второй порядок вппроксимвции по т и по й. Действительио, повтому (53) можно переписать в виде заг Тогда разностную схему (49) можно записать в виде (43), где рыНЩ'.
Оператор (50) (оператор левой разностной производной) изучался в и. 3 9 !. Было показано, что А — несамосопряженный оператор, для которого при любом уб= Нм !выполняется тожде- ство т. е. получаем схему (49) с о =- — (! — — ) При этом значении о условие устойчивости (52) выполняется для всех т и й, т, е схема (53) абсолютно устойчива. $ 3. Канонический вид и условия устойчивости трехслойных разностных схем 1.
Канонический вид. Двуслойная разностная схема определялась в $2 как разностное уравнение первого порядка по переменному л, коэффициенты которого являются операторами, действующими в линейном пространстве Н„. Естественно определить трех. слойную схему как операторно-разностное уравнение второго порядка. Пусть заданы: сетка ог,= ((,=пт, а=0, 1,..., К, т)0, Кт=Т), семейство конечномерных линейных пространств (Н„), линейные операторы „„„действующие в Н„и функция чг„=ср()„)е=Ню Трехслойной разностной схемой называется семейство операторноразностных уравнений второго порядка Вгу .н+Вгу +Вгу -г=су„, и=1, 2, ..., К вЂ” 1. (1) Операторы В„(=0, 1, 2, могут зависеть от )т, т, и, а функция ср„=йг((„) может зависеть также от т и й.
Мы будем изучать задачу Коши для уравнения (1), состоящую в том, что по заданным элементам у„у,епНл требуется определить решение у„=у((„) для всех последующих значений л, т. е. для п=2, 3, ..., К. Чтобы задача Коши была однозначно разрешима, достаточно потребовать существования оператора В,". В дальнейшем мы будем предполагать всегда, что это требование выполнено. Введем каноническую форму записи трехслойных разностных схем. Определим на сетке 'ог, разностные отношения уиы ул ул уа-г Уг = У-= т г т + у — уг; у„„— 2у„+ у„, Уй и обозначим у=у„. Непосредственной проверкой можно установить справедливость следующих тождеств: у„, =у — ту.
+ 0,5т'уео (2) у„„=у+ ту. + 0,5т'уео Подставляя эти тождества в уравнение (1) и используя линейность операторов Вь !=О, 1, 2, приходим к уравнению т (Вх — В,) у ..+ 0,5т' (В, +- В„) у;, + (В, -1- В, -1- Ве) у = гр, где ~р=гр„. Обозначим В=т(В.— В„), Р,=05(В;(-В„), А=В„,+В,+В,, Тогда уравнение (1) можно записать в виде Ву * + т'йуй + Ау = ~р. (3) Запись трехслойной схемы в виде (3) называется каноническим видом трехслойной разносгной схемы.
Из предыдущих рассуждений следует, что в каноническом виде (3) можно записать любую трехслойную разностную схему, если операторы „„В, линенные, а сетка ы, равномерная, Заметим, что существование В,1 эквивалентно существованию оператора, обратного оператору В+2тР. 2. Эквивалентность трехслойной схемы двуслойной. Покажем, что трехслойную схему всегда можно представить в виде некоторой эквивалентной ей двуслойной схемы. Такое сведение трехслойной схемы к двуслойной аналогично принятой в теории дифференциальных уравнений замене уравнения второго порядка системой двух уравнений первого порядка. Опуская индекс 6, обозначим Н= Н„ и введем пространство Н" = =Н9Н вЂ” прямую сумму двух экземпляров пространства Н. Пространство Н' определяется как множество векторов вида у= (уь у,), где у,, д,е=Н, а операции сложения и умножения на число вводятся покоординатно, т. е.
ад+ йо = (ау,+(то„ау,+ ро.), где у= (У„УД, и= (о„оД, а, )) — числа. Если в Н задано скалярное произведение (, )„, то полагаем (у, о)в = (ув о1)в+(ди ог)в Далее, если ф— линейные операторы, действующие в Н, 1, ! = =1, 2, то матрица представляет собой оператор, действующий следующим образом: если х= (хь х,)~Н', то Сх=(С„х,+С„х„С„х,+С„х,).
Для операторных матриц справедливы те же правила сложения и умножения, что н для обычных матриц, надо только следить за порядком сомножителей. Возвращаясь к уравнению (1), перепишем его в виде системы Ун = уп Ус» = — В2 Всу„-, — В2 Вь!ул+ В, гр~ Определим вектор у"=(уа „у„), правую часть ч~"=(О, В,'рл) и оператор — в-,'в. — и в, действующий в Н'. Тогда уравнение (1) можно записать в виде двуслойной разностной схемы у" = Фу" +ч' ° (4) определенной в пространстве Н'. Учитывая возможность сведения трехслойной схемы к двуслойной, можно многие результаты 3 2 перенести на трехслойные разностные схемы.
В частности, для трехслойной схемы так же, как и для двуслойной, из равномерной устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правой части. Поэтому в дальнейшем мы ограничиваемся изучением устойчивости по начальным данным. Трехслойную схему можно представить в виде диуслойной схемы не единственным образом. Иногда бывает удобным представить разностную схему (3) в виде двуслойной схемы, записанной в канонической форме ам „л Я + Аул — ра где у" ~Н' и .Ф, Я вЂ” операторы, действующие в Н'. Чтобы получить такое представление, введем векторы Ч: = (Ча, О), у"= (0,5(у„+у„,), у„— у„1), (б) где у„ — решение, а р„ — правая часть уравнения (3).
Далее, опре- делим операторы (7) Тогда, как можно убедиться непосредственной проверкой, трехслойная разностная схема (3) представляется в виде двуслойной схемы (5). Прн этом, если записать схему (5) как систему двух уравнений, то первым будет уравнение Ву. + тлНуп+ Ау =ср, а вторым — тождество О= О. 3. Устойчивость по начальным данным.
Будем рассматривать задачу Коши Ву +т2Ну-„+ Аул=О, (8) где и =1, 2,..., К вЂ” 1, у„у, заданы. 364 Предполагаем, что существует оператор (В+2т1т)-', и, следовательно, уравнение (8) однозначно разрешимо относительно у„~ь Будем считать сейчас, что Н вЂ” конечномерное пространство со скалярным произведением (, ). Справедлива следующая теорема о равномерной устойчивости схемы (3) по начальным данным. Теорема 1.
Пусть А и Я являются самосопряженныл!и положительными операторами, не эависяи!ил!и от и. Если выполнены операторные неравенства Р) — А, В)0, 4 (9) то при любых у„у,~Н для решения разностной схемы (8) справедливо неравенство !!У.,ы!!.(!!у.!!., и=1, 2, ..., К, (10) !!у."1= — (А(у.+у! ) у +у»+!(Н вЂ” — А~Ь.— у ),у.— у.-) 2 ! Н ! 4 (( (11) До к а за тел ь с та о. Представим схему (8) в виде двуслойной схемы /Фн уь эк +Ау'=О, п=1,2, ..., К вЂ” 1, (12) где вектор у" ~Нь и операторы эФ, Я определены согласно (6), (7). Для схемы (12) задано начальное значение У'= (0,5(уа+У~) У~ У6). Покажем, что схема (!2) удовлетворяет всем условиям теоремы 2 из $2. Из самосопряженности операторов А, Я и из операторных ! неравенств А)0, Я ) — А следует, что оператор .Ф (см.
(7)) яв- 4 ляется самосопряженным и положительным оператором в пространстве Н'. Поэтому в Н' можно определить норму (!о!!и, порожденную оператором,Ф. Для вектора о= (о„о,) норма ~ о!!л определяется следующим образом: ) о!!'„=(Ао„о,) + ((Я вЂ” — А) ом о,) . Отсюда для решения задачи (5) у"= (0,5(у„+у„,), у„— у„,) имеем !(У" $л= -(А (Ул+ У~-1), У~+ У.-~) + ЫЛ вЂ” — А~(Ул — уь-1).
«» — Ул-1), 4 4 т. е. ~у"~м совпадает с нормой !!у„!!., определенной согласно (11). Проверим выполнение операторного неравенства Я~ О,бтФ, (13) которое согласно теореме 2 из $2 обеспечивает равномерную устой- авб чнвость схемы (!2) по начальным данным. Из определения (7) опе- раторов .сгГ и М получаем В т(гг — — А) 1 — )К вЂ” — А) о 4 54 — 0,5т.4 = Лля любого элемента о= (по о,)енН' имеем (.Я вЂ” О,бтра) о = ~Вггг + т (Н вЂ” — А) о„— т ( — — А) ог~ 4,, 4 Обозначим (, )гн, (, )и скалярные произведения в На и в Н со- ответственно. Тогда получим ((Ю вЂ” 0,5ткб) и, о)н =(Во„ог)и + ! г +т((гт — — А)о,, о,) — т)))тг — — А)ом оа) =(Во„ог)н, и(х, 0) =и,(х), ' =и,(х), 0 (хле1, (14) дг и(0, г) =и(1, 1) =О, 0(1(Т.
Введем сетку огь „=гоьХгоо где гоа —— (хе= Й, г =О, 1,, У, )гИ=(), ог,=((„=пт, п=0, 1, ..., К, Кт=Т), и сопоставим задаче (14) двухпараметрическое семейство схем с Збб причем последнее равенство справедливо в силу самосопряженно! сти оператора Н вЂ” — А.
Таким образом, из неотрпцательности в Н оператора В следует выполнение условия устойчивости (13). В силу теоремы 2 из $ 2 для решения задачи (12) справедлива оценка ~~у""'~~,г(~1у"!1,и, которая, как мы показали, совпадает с оценкой (10) для решения задачи (8).
Теорема 1 доказана. В ам с чакке. Пусть Н вЂ” комплексиое пространство. Тоска теорема г остаиется справедливой, если условие ВЬО аамеьить условием В" +В)0. 4. Примеры. Для исследования устойчивости конкретных трехслойных разностных схем надо записать их в каноническом виде (3) н определить, при каких значениях параметров выполняются условия теоремы 1. Приведем несколько примеров исследования устойчивости. П р и м е р 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
