Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Если выполнена оценка (14) с постоянной 6)0, не зависящей от й, то уравнение (2) корректно и для его решения справедлива оценка (12). Вернемся к примерам, рассмотренным в и, 1. Введем в пространстве Нн, (см. пример 1) скалярное произведение н-~ (у о) =-,~~~ у'с'и и норму н-1 хи ~)у)(= '~~ у';6~ 1=1 Тогда, как было показано в $1 гл. 3, оператор (7) является само- сопряженным в Ньн, и для его минимального собственного числа справедливо неравенство (14) с константой 6=9/!'. Таким образом, разностная задача (3) корректна и для ее решения выполняется оценка (12), где функция ф определена согласно (6). В случае схемы из примера (2) скалярное произведение и норма в Н'(1г,) определяются как и~-1 и -т Ь, )= ~6 ч„'Миои, Ь!~=Ф'бар).
1=1 /=д Оператор (9) является самосопряженным и для его минимального собственного числа выполнена оценка (14) с константой 6= 9/!, '+ + 9/!', (см. 9 2 гл. 3). Следовательно, разностная схема (8) кор- 344 ректиа и для ее решения справедлива оценка )(у!) ~ (9!(', + М,')-з ~д. Иногда оценок вида (!2), в которых решение и правая часть вы- числяются в одной и той же норме, бывает недостаточно для до- казательства сходимости и выяснения порядка точности разиостиой схемы. В то же время оценки вида (10) со специально подобранной ноРмой пРавой части((гР«1!оо! позволЯют полУчить пРавильное пРед- ставление о порядке точности разяостиой схемы.
Приведем соответствующий пример. Пример 3. В $3 гл. 1 изучалась разностная схема для задачи (а(х) и')' — О(х) и(х) +/(х) =О, О(х(1, — а(0)и'(О)+ои(0)5-рь и(1)-ро, й(х) ~с,>0, у(х) Э«0, а~0. Было показано, что разностная схема (3), (ч) из 6 3 гл. 1 имеет второй порядок точности, Выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность г,=уо — и(хо) (сетка йо — тз оке, что и в примере 1): (аг;), — а,г = — ф, — а>г,, о+ого=то го =О. (15) Здесь ф=О(1оо), т,= — 0(й') 1=1, 2, ..., 1«' — 1, а,3осг>0, 1=1, 2, ..., У, о=о+05 Ыо, б,~~О, 1=О, 1, ..., Ф вЂ” 1. Попытаемся примевнть условие (11) к оценке решения задачи (15).
Запишем схему (15) в операторном виде Аг=ф. Для того чтобы матрица оператора А была симметричной, перепишем рзоностное граничное условие о виде а, о то — — г 1 — г †' Тогда опеРатоР Л и пРаваЯ часть ф опРеделЯютсЯ й «о следующим образом: аг о !Аг)о = г«о+ го, гм = О, «,о (16) (Аг); = — (аг-]«г+ б,го 1 = 1, 2, ..., У вЂ” 1, ф=( — '„ф,,фз,, ф„)' Введем линейное пространство Нм!о! функций, заданных на Ио и равных нулю при 1=)т', и зададим скалярное произведение н норму и-т (у, о) = 'Я у!о,л, 11 у((= рг(у, у). 1=о Вычислим для оператора (16) и произвольного по= Нгг скалярное произведение !о! (Ао, о).
По определению имеем !о-т м-з (Ао, о) = — а,о, и,+ оо',— '~~ й(ао )„р;+ ~ ~Мтоос о=1 Ранее было показано, что при ел=0 справедливо тождество (см. (16) из й 3 гл. 1) У-т М асс„ео+ ~ й [ао-), р! = — ~„ос(п )ой. о=з Поэтому и л-т ,и (Аи, е) = ~~~~~ о! (о )о Н+ ое„'+ ~~~~ Ыр~ > опт+ ~~~~ Ьа! (п,)з. с=т с=т с=1 Отсюда при о~б, ао)с,)0,!=1, 2,..., л1, получим оценку н (Ап, о) ) с, ~~ Ь (о )'.
(18) Оценим снизу правую часть неравенства (18) через среднеквадратичную норму я-т Ыо 'Я бп,". (19) Напомним, что согласно оценке (17) нз $3 гл, 1 при любых и(= от"й! справедливо неравенство М ,~~ "(о; !) ~ ! (о'!с!аз! (20) где ~пзх ) и! ). с(ао) о<о, 1 ! С другой стороны, для средвеквадратичной нормы (19) имеем ,н-о )(о((о ~( ( юах ! о;(о) ~~~, Л =1!)и)!С~(а 1. оксан-с о=о (21) Отсюда и из неравенства (20) получим ~~~~ Л (и )о) ! '()и!)з о=т и, учитывая (18), приходим к оценке (Ао, и) ~с,! — о()п(!т.
Следовательно, для оператора (16) справедливо неравенство (11) с константой б=с,)-', а для разностной схемы (15) выполняется оценка (12): 121(с ! ))ф((. (22) Для сеточной функции (17), учитывая, что но=0(Ь'), имеем и — т !(ф!(з '~ ~ьфт 1. нз78 0(бз) так что )(ф!1=0(лют) н неравенство (22) приводит к оценке !!г!1=0(йо/о). Такое понижение порядка точности по сравнению с доказанной в 5 3 гл, 1 точностью 0(бт) вызвано не)дачным выбором нормы праной части ф. Если в качестве нор- 346 мы взять, например, л-> (25) (ф))>ал> = Х а(ф>1 а=а то для функции (!7) получим м-а (ф(о„> =- ! ч>1+ ч", «! Р>! = 0(л*).
(24) Однако оценка (!2) не позволяет использовать норму (23). Поэтому можно поступить следующим образом Умножая уравнение Аг=ф скалярно на г, получим тождество (Аг, г) = (ф, г). (25) Оценим правую часть этого тождестиа следующим образом: л-> л' — 1 (>р, г))= ~ лфг> (~ Л(>р>!)г,)( >=-а > =а М-а (( щах ! г> !) ~~~ >> ! >р;! =(г( 1ф1<, ак> >л, > ' ' с>и„> г=а Левая часть тождества (25) оценивается снизу согласно неравенствам (18), (20): (Аг, г) а с,! ' 1, г(„'-.>о >. Таким образом, для схемы (15) справедлива оценка !) г (с>цю - с,'!)(ф(о >, (26) Из оценки (26), учитывая (24), получаем, что 1г)с>о > — — 0(»а).
Крол>е того, из а (26) и (21) получаем, что !!г!1=0(ла). 3. Операторы первой разностной производной. На сетке Оа= (х,=>й, (=О, 1,..., М, йЫ=() рассмотрим разностное уравнение первого порядка 5 =сро 1=1, 2,, )(>, у =р,, (27) Введем пространство Н„функций, заданных на сетке и> = (х,= !')>, !'= 1, 2,, М, )и>> =1), н определим в Н скалярное произведение к (у, о) = '~р уап>)>. Зададим оператор А формулами (Ау),= в', (Ау)>= ' ' ', !'=2, 3, ..., Л>. (28) Тогда уравнение (27) можно записать в виде Ау=<р, где ср= (т, + †',ее, „.,ен) . Оператор А, определенный формулами (28), называется оператором левой разноетной производной.
Матрица этого оператора имеет вид (для определенности полагаем здесь ЬГ=5) о о о о — о о о А= — о — ! ! о о Ь о о — ! ! о о о о — ! Найдем оператор А*, сопряженный оператору (28). По определению имеем (Ау, о) = ~ (Ау); о;/! =у о, + ~ (у! — у;,) о! = н н — 1 ,т-1 =;5'„уо! — ~ч~', у!о! .
= —,'~ ~уь. '" ' Ь+ ун — "Ь. Ь а Следовательно, оператор А' задается формулами (А'о)!= — "' ', !=1, 2, ..., Ь/ — 1, (А"о)н = —" . (29) Л Ь Оператор (29) называется оператором правой разностной производной. Матрица оператора (29) является транспонированной по отношению к матрице оператора (28). Вычислим скалярное произведение (Ау, у) для оператора (28). Обозначим у;л = (у,— у;,)//! и заметим, что справедливо тожде. ство У„лу = — (У')-„л + — (У,л) ° 2 (30) Тождество (30) доказывается непосредственной проверкой. Из (28) и (30) получаем (Ау, у) = у', + — ~ (у')„-,Ь + — 'Я (у„-,.)' Ь = ! Ь (у +у )+,Я (у,;) Ь. Полагая формально У,=О, получим (Ау у) )З (у )'Ь+ ул~ ) ~ЧЗ ~Ь(уу;)т уе=0.
(3!) а, ! ь л 848 Из неравенства (31) следует, в частности, чта оператор (28) положительный: (Ау, у) )О для всех У~Н, УФО. Действительно, (Ау, у)>0 для всех уяН . Если (Ау, у) =0 для некоторого у= (У!У» ° . У„-), то У,=У„=О,у;,. =О, т. е. У,=О, 1= 1, 2,, Н. й 2. Канонический вид и условия устойчивости двуслойных разностных схем 1.
Канонический вид двуслойных разностных схем. Общая запись разнастных схем в виде операторных уравнений А»у»=»р», удобная для стационарных задач, оказывается недостаточна детальной при переходе к нестацианарным разностным схемам. Поэтому при исследовании двуслойных и трехслойных разностных схем используются другие канонические формы записи. Пусть, как и прежде, задано семейство конечномерных линейных пространств Н», размерность которых зависит от параметра й. Параметр й считаем вектором с нормой )й!.
В приложениях к конкретным разнастным схемам пространство Н, состоит из функций, заданных на пространственной сетке»ь„характеризующейся шагом Й. На отрезке (О, Т) введем сетку по времени ы,=(1„=пт, п=О, 1,..., К, Кт=Т) с шагом т>0 и будем рассматривать функции у(Г„) енН» дискретного аргумента 1„е=ы, со значениями из пространства Н,.
функции у(1„)е=Н, могут зависеть параметрически ат Ь н т, у(г„)=у»,(1 ). В дальнейшем будем обозначать у„=у,,(1„). Пусть заданы линейные операторы „„действующие в Н„ и функция»р„енН». Двуслойной разностной схемой называется семейство аператарно-разностных уравнений первого порядка В,у„,,+В,у„=гр„, п=О, 1,..., К вЂ” 1, у»с=Н, задан. (1) Учитывая тождество У»» У» у»»»=у»+ т (2) т получаем, чта любую двуслойную разностную схему можно запи- сать на сетке ь», в виде В "" " +Ау„=<р„, п=О, 1,, К вЂ” 1, У,Е=Н» задан, (3) где А и  — линейные операторы, А=В,+В„В=тВ,. Каноническим видом (или каноническои формой) двуслойной разносткой схемы называется ее запись в виде (3), Поскольку одну и ту же разностную схему можно записать многими способами, введение единообразной канонической формы записи облегчаег анализ и сравнение различных схем.
По форме записи схема (3) напоминает абстрактную задачу Коши для 949 дифференциальных уравнений + Аи Я = 1 Я, 1) О, и (О) = и,. вг В случае конкретных разностных схем оператор А обычно представляет собой аппроксимацию пространственного дифференциального оператора .Ф, а оператор В задает ту или иную разностную схему. Поэтому запись схемы в виде (3) часто упрощает проверку аппроксимации. В дальнейшем мы убедимся в том, что условия устойчивости двуслойной разностной схемы удобно формулировать в терминах свойств операторов А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
