Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Приведем несколько примеров. П р и м е р 1. Рассмотрим схему с весами для одномерного уравнения теплопроводности (см. 3 4 гл. 1) л+1 л =ау„-,,+ (1 — о) у;,, (4) Обозначим через у„е=- Нй, вектор ул =(у,", у,", ..., Уй-,), где у",. =У(х„ 1„). Тогда разностную схему (4) можно записать в операторном виде л+11 Кл + (6) который еще не является се каноническим видом. Для того чтобы перейти к каноническому виду (3), достаточно воспользоваться тождеством (2), откуда получим, что В =Е+отА. Таким образом, раэностная схема (4) записывается в каноническом виде (3), где гр„=О, оператор А определен согласно (5) и В = Е+отА. П р и м е р 2.
На той же сетке, что и в примере 1, задана разностная схема уэ" = 0,5 (у";„+ у.",), 1=1,2, ..., У вЂ” 1, п=0,1, ..., К вЂ” 1, (7) у,'.=и,(х,). звв 1=1,2,...,йг — 1, п=0,1,...,К вЂ” 1, л +! о Ул =ум =О, у, =и,(х). Приведем схему (4) к каноническому виду (1). В качестве про- странства Н, возьмем множество Нф, действительных функций, заданных на сетке йл= (х,=(й,(=0„1,..., й', йН=1) и обращающихся в нуль при 1=0, 1=5Г (операции сложения н ум- ножения на число эадаются обычным образом, т.
е. покоордниат- но). Определим оператор А (оператор второй раэностной производ- ной) формулами (Ау)'= улл 1=1* 2 . У 1 уо =ум =О. (5) Приведем схему (7) к каноническому виду (3). Прежде всего перепишем ее в виде уб"=0,5(уе — 2уб+уу )+у" Поделив последнее уравнение на 0,58', убеждаемся в том, что схе- ма (7) представляет собой частный случай схемы с весами (4), когда о=1, т=0,5Ь'.
Следовательно, схема (7) имеет канонический вид (3), где оператор А определен согласно (5), В=В н т=0,56'. 3 а м е ч а н н е !. Операторы А, В в схеме (3) могут зависеть от т, й н 1„, так что А=Аз,,(1 ), В=Вь,,(1 ). Функция к„завнснт, вообше говоря, от т н Ь, ср„=ел,(1„) 3 а м е ч а н н е 2 Если сетка ы, неравномерная, со,= (1, п=о, 1, ..., К, 1з=0„1к=т) с шагамн т,ь~=1 з,— 1„, н=о, 1, ..., К вЂ” 1, то в качестве каноннческой формы двуслойной схемы можно взять уравнение рз+з рл В ' +Айа=~р„л=о, 1, ..., К вЂ” 1. гз;з 3 а и е ч а н н е 3. Канонический внд двуслойной ревностной схемы по форме запяси аналогичен одношаговому итерационному методу решения спстемы лянейных алгебраических уравнений А р = сг (8) (см.
$1 гл. 2 ч. П). Такая аналогия не является формальной, поскольку переход от уравнения (8) к нтерацнонному методу ав т ян можно трактовать как замену стационарного уравнения (8) нестацнонарным уравнением (9). Отличие нтерзцнонного метода (9) от разностной схемы (3) со. стоит в том, что в уравнении (9) а) А н к не зависят от л, б) нтерапвонный параметр т не обязан стремиться к нулю.
2. Устойчивость разностных схем. Как и в случае стационарных задач, разностная схема (3) называется корректной, если ее решение у„=уьл(1„): а) существует, б) единственно, в) непрерывно (причем равномерно относительно т и В) зависит от входных данных <р(1„) и ум В дальнейшем всегда буде~ предполагаться, что оператор В-' существует (если В=В,А(1„), то предполагается существование В-' при всех допустимых значениях й, т, 1„). Тем самым гарантируется существование и единстнснность решения задачи (3). Дадим строгие определения устойчивости. Будем считать, что в Н„заданы две нормы: !) ()гь, в которой измеряется решение у(1„) ~ енНь и ~ !)хз, в которой измеряется правая часть ср(1„). 0 п р е д е л е н и е 1.
Разностная схема (3) называется устойчивой, если существуют постоянные М,)0, Мз)0, не зависящие от Ь, т, и и такие, что при любых правых частях !р,,((„) епН, и любых начальных данных д„енНь для регпения уравнения (3) выполняется 33! оценка )у,!!ть(~И,)(у,!(ть+.И, шах !!ср;!!,„. (10) о</ап-~ Устойчивость, выраженную оценкой (10), называют устойчивостью по начальным данным и по правой части. Используются также понятия устойчивости по начальным данным и устойчивости по правой части. Рассмотрим однородное уравнение В "" "+Ау„=о, п=о, 1, ..., К вЂ” 1, у,т=Нь задан.
(11) О п р е д е л е н и е 2. Разностная схема (3) называется устойчивой по начальным данным, если существует постоянная М,~О, не зависящая от и, т, и и такая, что при любых у,еиН, для решения однородного уравнения (11) справедлива оценка !!у ((~ <М~(!уь(!ть и=о 1 . ° К. (12) Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3) с нулевыми начальными данными В "" "+Ау„=~р„, п=о, 1...,, К вЂ” 1, У,=О. (13) Определение 3. Разностная схема (3) называется устойчивой по правой части, если существует постоянная М,)0, не зависящая от и, т, и и такая, что прн любых ~тм,(т„)еиН, для решения уравнения (13) справедлива оценка ~)у„!(т„» .И, шах ~ чт!!,ы (14) ' Оа/~.—, Заметим, что в силу линейности разностной схемы из одновременной устойчивости по начальным данным и по правой части следует устойчивость в смысле определения 1.
Более того, покажем, что устойчивость по правой части является в определенном смысле следствием устойчивости по начальным данным. Определение 4. Разностная схема (3) называется равномерно устойчивой по начальным данным, если существуют постоянная р)0 и постоянная М„не зависящая от и, т, п, такие, что при любых п=о, 1, ..., К вЂ” 1, К)1, и прн всех у.енН, для решения у„, однородного уравнения (11) справедлива оценка !! Улм !!и, ~ Р !! Ун (1ц,, (1о) причем р" ( М,. В теории разностных схем в качестве константы р выбирается обычно одна из величин р= ), р=1+с,т илн р= е"', где с,)0 не за- ВИСИТ От й, т, П.
ЕСЛИ, НаПРИМЕР, Р= Е", тО Р"=Енм'=Е"и" (Ент, т. е. М = е'е где Т= Кт. т Перепишем однородное уравнение (11) в виде У„„,=ВУ„, п=о, 1, ..., К вЂ” 1, (16) 352 где оператор (17) 5=Š— тВ-'А называется оператором перехода схемы (3). Нетрудно видеть, что в силу произвольности У„~Н, требование (15) равномерной устойчивости по начальным данным эквивалентно ограниченности нормы оператора 5 константой р: !!Я(р. (18) Отметим, что оператор 5 может зависеть от и. В дальнейшем допустимыми значениями п будем называть числа и=1, 2,..., К вЂ” 1 такие, что Кт=Т, где Т>0 — заданное число. Необходимо отметить, что К«-ьь при т -О.
Теорем а 1. Пусть схема (3) равномерно устойчива по начальнь«м данным в ноРме )) 1,ь. Тогда схема (3) Устойчива и по пРавой части, причем для ее решения выполнена оценка (10), где 1«Р! "1ьь— =~~В-,'«Р,.~, и М,=М,Т. Доказательство. Перепишем уравнение (3) прн п=1 в виде 1 У«+« = 5«ч У! + тВ! 'Р! и применим неравенство треугольника: )у, Ь ~«,5«. ~А~У«))«ь+- М Ч'«Ьь Из требования равномерной устойчивости по начальным данным в силу оценки (18) получаем неравенство 1~ У! ~ 1«ь ~» р «~ У! 1«ь + т 1~ В««Р! Ь м которое поиводит к оценке ~(у„~«() „р" «~~у 1«, + ~~~~ тр'-«1«В; «Р!'1«ь, (19) г=а Согласно условию равномерной устойчивости по начальным данным имеем, что р" (М, для всех допустимых и, в частности р"+'( М„р"-"~М,.
Поэтому из оценки (19) получим л )у.. !ть Р(«,!уь!!«ь+,'К тР! ВЬ /=о Для завершения доказательства теоремы 1 остается заметить, что л 'Я т~(В ««Р!«)«„= 1„«., «пах «~1В«л«РЯ«ь: Т шах '1В!'«Р«1«ь. Оа1~ь оС«аь /=-ь Имея в виду теорему 1, можно ограничиться изучением равномерной устойчивости по начальным данным. Мы будем рассматривать лишь случай, когда выполняется оценка (15) с константой р=1. 12 А. А. Сьчьрскна, А. в. гулив 363 3. Теоремы об устойчивости по начальным данным. Предположим, что в Н„введены скалярное произведение (д, о), и норма )1у~1ь=у(у, у)ь Для упрощения записи индекс и у скалярного произнедения и нормы будем в дальнейшем опускать.
Оператор Р, действующий в Н„называется положительным оператором, если (Ру, у) >О для всех уе=.Нь Если Р— самосопряженный положительный оператор, то можно ввести норму зуз,= =Т(Ру, у), называемую энергетической нормой, порожденной оператором Р.
В дальнейшем неравенство Р)0 (Р)0) означает, что Р— положительный (неотрнцательный, т. е. (Ру, у) )О для всех уенН,) оператор. Будем считать сейчас, что Нь — вещественное пространство. Имеет место Т е о р е м а 2. Пусть в схеме (3) оператор А является самосопряженным положигельныи оператором и не зависит от и.
Если вьо полнено операгорное неравенство В)0,5тА, (20) то схема (3) равно.керна устойчива по начальным данныль причем для решения однородного уравнения (11) справедлива оценка 1!д.+ ~! (1~у.!1, п=0,1,... К вЂ” 1. (21) Д о к а з а т е л ь с т в о, Обозначим у, = (у.,— у„)/т, у = у„и у множим уравнение (1!) скалярно на у,. Тогда получим тождество (Ву„у,) + (Ау, у,) = О, которое после очевидных преобразований можно записать в виде (( — 0,5тА)уь у,)+(0,5тАу,+Ау, у,) =О.
(22) Замечая, что 0,5тАу,+Ад=-О,бА (у„+у„„), перепишем (22) в виде (( — ОбтА)у„у,)+05 '(А(у„,+у.), у„„— д.) =О. (23) Далее, используя условие самосопряженности оператора А, а также его независимость от и и положительность, получим (А (у„„+ у„), у„„— у„) = (Ау„„„у„„) — (Ау,.„у„) + + (Ауп, уьи) — (Адл, дп) = (Адан, дл и) — (Адл, дп) = = т (Ау„, у )~ = т (! у„)~л)ь Отсюда и из (23) приходим к следующему тождеству: (( — О,бтА) уь дд + т (! у„!!л)~ = О. (24) Из условия (20) получаем, что ( ( — О 5тА) у„у,) ) О, поэтому в силу (24) для решения уравнения (1!) справедливо 354 неравенство т () ул ((4)! ~~ О, которое совпадает с неравенством (21). Теорема 2 доказана.
3 а меча н ие 1. В теореме 2 оператор В мажет быть несамосопряженным оператором н может как угодно зависеть от л. 3 а и е ч а н не 2. Если А — сачосопраженный положительный оператор, то условие (20! является и необходимым условием выполнения оценки (21). г(ействительно, нз (2!) н (24! получаем неравенства (( — 0,5 гА)уо у~) О. (25) Согласно (!1) имеем у,=-. В-'Ау„, следовательно, в салу произвольности у н обратимости оператора А неравенство (25) эквивалентно операторному неравенству (20). Если Нь — комплексное пространство, то справедлива Теорем а 3. При тех же условиях ни онеритор А, что и а теорене 2, иа неравенства В» ЬВ)тА (о5) следует оценка (21) для решенил уравнения (!1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
