Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Если о=0,5, то схема (29) имеет второй порядок точности по т и по И, при остальных о — первый порядок точности по т и второй — по И. Условие (31) становится более наглядным, если сетка ааь— квадратная, т. е. И,=И,=И. Тогда неравенство (31) принимает вид 1 Лг и) — — —. 2 Ва (32) В частности, явная схема (а=О) устойчива при условии 1 Лг 4 которое является еще более жестким, чем в одномерном случае.
222 и в одномерном случае с помощью метода разделения переменных. На самом деле даже нет необходимости повторять проделанные ранее выкладки. Достаточно заметить, что основные результаты об устойчивости схемы (6) не зависелн от конкретного вида оператора А, а использовали только следующие его свойства: 1) существование полной ортонормированной системы собственных функций, 2) положительность всех собственных чисел н знание верхней границы Х,„спектра. При этих условиях было доказано, что схема (6) устойчива по начальным данным, если весовой множитель о удовлетворяет нера- венству 'Неявные схемы с а)0,5 абсолютно устойчивы, однако в отличие от одномерного случая решение неявных двумерных разностных уравнений представляет значительные трудности.
б. Асимптотическая устойчивость. Проведение расчетов на современных быстродействующих ЭВМ предъявляет к разностиым схемам наряду с обычными требованиями аппроксимации, устойчивости и сходимости ряд дополнительных требований. Эти требования сводятся к тому, что разностпая схема должна хорошо моделировать характерныс свойства исходного дифференциального уравнения в условиях, когда шаги сетки остаются конечными.
Так, при решении уравнений параболического типа на больших отрезках времени существенное значение имеет свойство аси мпт ог ической устойчивости разиостной схемы. ГГоясним понятие асимптотической устойчивости на примере разностных схем для уравнения тепло- проводности — — 0(х 1, г)0, д! дх! (33) и(0, !) =и(1, !) =О, ! )О, и(х, О) =ие(х), О ~х(!.
Как известно, решение этой задачи можно записать в виде ряда Ф и (х, !) = ~ / — ~,' сьгйп е ~'~, (34) ! «=-! ! /2 Г л!гх сь = 1 — ! и, (х) яп г(х ! о — коэффициенты Фурье функции и,(х). С ростом ! гармоники -ьь! . яг!х иь = сье з!и ! при й>1 затухают быстрее, чем первая гармоника, так что при больших значениях ! имеем и(х, !) =с, — е- з!п —.
!' 2 !!. пх Для среднеквадратичной нормы решения задачи (33) (35) нз (34) следует оценка «и(!))(«=е '"!))и(0))), )г= —" (36) я!я! где Хь = — — собственные значения оператора второй произ- !3 водной и у",=у" =О, у',.=и,(х;), аппроксимирующее задачу (ЗЗ). Потребуем, чтобы для решения разностной задачи (37) выполнялась оценка )М!«е™!!М, (38) н-1 где 1„=пт, )у~= '~~й(у,") и 6=6(т, Ь)-+Х, при т — «О, и — О.
(=-1 Свойство, выраженное неравенством (38), будем называть асимптотической устойчивостью разностной схемы. Заметим, что устойчивость в обычном смысле определяется как выполнение оценки (38) с 6=0. Получим условия асимптотической устойчивости схемы с весами (37). Как было показано ранее, из представления (14) для решения задачи (37) следует оценка (1У""((«тах (де!1У" !1, (39) (сын-( где Л(м ()а=1 —, й=1, 2, ..., М вЂ” 1 ! + атЛ(м (40) н Аь — собственные значения оператора второй разностной произь! водной, 0 <Л(м<Х((! « ...
Х("),. (41) Устойчивость по начальным данным в обычном смысле обеспечивается условием (()н-~ ( «1 (42) которое можно записать в виде ! ! о- 2 тЛн(Ы, (43) Исследование асимптотической устойчивости схемы с весами (37) основано на следующей лемме. Л е м м а 1. Пусть величины д, определены согласно (40), (41) и параметр о удовлетворяет условию 1 + атХй' ( ) О. (44) Если выполнено неравенство д,+д.,>0, (45) 329. Далеко не всякая разностная схема, устойчивая и аппроксимирующая задачу (ЗЗ), обладает свойствами, аналогичными (35), (36). Рассмотрим семейство схем с весами ул оуьм +(1 о)у" ( — 1 2 й! 1 п — 1 2 тк,( хм( (37) то д,~(0, 1) и !д»! <д„я=2, 3,, У вЂ” 1.
Доказательство. Из (41), (44) следует, что >м> М'1 (46) т. е. 1 + отХ» > ) О, я = 1, 2, ..., У вЂ” 1. Неравенство (46) эквивалентно выполнению двух неравенств." д,— д,>0 и д,+д„>0. Согласно (40) имеем т (>.>»> — Х1»>) д» вЂ” д»= . » и )ОФ А=2, 3, ..., Л> — 1. (1+ отя>»'! (1+ ат»1»~>! следовательно, д,+д,>0, я=1, 2,..., Ф вЂ” 1. Тем самым неравенство (46) выполнено. Из него следует, что д,>0. Неравенство д,<1 следует нз (40), (41), (44).
Лемма 1 доказана. Заметим, что для неотрицательных о условия (44) всегда выполнены. Следствие !. Если выполнены условия леммел 1, то для решения разностной задачи (37) справедлива оценка ((у" (! ~р ((у'1~, (47) где 1 (1 е! б,(»> Р=д»= 1+ етЛ1> 1»> (48) Доказательство следует немедленно нз оценок (39), (45). Следствие 2. Если выполнены условия леммы 1 и параметр о не зависит от т и !>, то схема с весими (37) асимптотически устойчива. Доказательство. Согласно (38) достаточно показать, что р" =е (49) где б=б(Ь, т) — «и'/!' при т-«0, !>-«О.
Переписывая равенство (49) в виде 6= — !п —, 1 ! (50) т р аза Далее, д,+д,=(д,+д„-,)+(д,— д,,), откуда, учитывая условие (45), получим т (Хф>, — Х»1~>! д»+ д» «д» дн-> (1+ >>»>) ( + ~<»> ) получим из (48), что Л(а) 6 = ' ,„, + 0 (т) 1+ отх( ) и 1нп 6(г(, т) =л'/Р, что и требовалось. т,а-еа Не представляет труда более подробно выписать асимптотику величины б()), т) при т — ао. Имеем ! ! т ()„(а))а 1 тт р„((е)а 1 б (и, т) = — !п — = Л( ) — (оа — (1 — а)т) + (аа+ (! — а)а) —— р 2 3 т' Р.(м!' та (Л(а))а (оа (! о)4) ' ! (оа ! (! а)а! ! () ! а) 4 б откуда видно, в частности, что б(а, т)= Л1 )+0(т') прн а О,б. Таким образом, неравенство (45) представляет собой условие асимптотической устойчивости схемы с весами (37). Его можно переписать в виде неравенства тл(а) тЛ(а) + ))-( (2 1+ атл(а) 1+ ата(а), (52) ГдЕ Ха = — З(П вЂ”, Ла)-.= — СОЗ' —.
(а) 4 . а лл оо 4 ла аа 2! аа 2! Заметим, что из (52) и (44) следует неравенство тли (а) 1+ отЛЛ-( <2, совпадающее с (17) и обеспечивающее устойчивость схемы (37) в обычном смысле. Из (52) получаем, что явная схема (0=0) асимптотически устойчива при условии т(0,5й'. Чисто неявная схема (а=1) асимптотически устойчива при любых т и й. Симметричная схема (а=0,5) асимптотически устойчива при условии т ( 2ф' Л(," Л('", = й!Ул. (53) ЗЗВ 6 = — 1п „вЂ” ( ~' + 0 ()(() ), (51) т тх(а) т ( 1+ар, !— 1+ отЛ(') 1 где )(,= тл( . Заметим, что (а) (а) 4 . аль ла л) = — 5!п ))а 2! !а при Ь-+-0 и тЛо~-+-0 при т-~О, Ь- О.
Поэтому из (51) получвм Таким образом, симметричная схема, будучи абсолютно устойчивой в обычном смысле, является условно асимптотически устойчивой при условии (53). Асимптотическая устойчивость разностной схемы тесно связана с ее точностью. Нарушение асимптотической устойчивости приводит к потере точности схемы на больших временах. Так, в (321 показано, что если положить то при больших ! решение у(1„, х,) симметричной разностной схе- мы имеет асимптотику у(1„, хт)=ел,е *" ( — 1) яп— — х ! /с4п$ч ! — 1 ' их! Сопоставляя с асимптотикой (35) решения исходной задачи, видим, что решение полностью искажается.
Отметим, что в (32] предложена разностная схема для уравнения теплопроводности, обладающая безусловной асимптотической устойчивостью и имеющая второй порядок точности, однако данная схема не принадлежит семейству схем с весами (3?). $4. Решение разностного уравнения второго порядка методом Фурье Рассмотрим разностную схему у-,= — ?ь 1=1,2, ..., Ж вЂ” 1, хх,! уз = ум = О (1) Оператор (2) подробно изучался в $ 1, где было показано, что он имеет полную ортонормированную систему собственных функций /2 . пах! ць(х!)= У вЂ” з(п — ', й=1, 2, ..., М вЂ” 1, !=1, 2...,, Л! — 1. Соответствующие собственные числа оператора А имеют вид 4 . злаь Ц = — з(п* Ь~ 2! Поэтому можно искать решение задачи (1) в виде !г-! у!=у(х!) = '~1', сзрь(к!), /=1, 2, ..., У вЂ” 1, (3) где с„— неизвестные пока коэффициенты. 332 и построим ее решение в виде разложения по базису собственных функций оператора (Ау)!= — у-„! !=1,2..
М вЂ” 1, йУ=1, у =ун=0. (2) Разложим правую часть уравнения (1) в сумму Фурье, т. е. представим ее в виде и-1 ~;= '~~ ~мха(х;), А=1 где и-1 6=(!. !м)= ч~, '!дха(х!)Й, Й=1, 2,, У вЂ” 1. (4) /=1 Подставляя разложения (3), (4) в уравнение (1) при 1=1', получим и-1 и-~ ~ сз (!м (х))-„, = — ~ч' ял~ (х~), откуда, учитывая соотношение (рз(х))„-„= — Х~рз(х;) и линейную независимость функций 1х,(х), приходим к уравнениям схЛь= 1м Й=1, 2, ..., У вЂ” 1. Отсюда находим значения коэффициентов Фурье функции у(х,): са=(х/Хм Й = 1, 2,, У вЂ” 1.
(5) Таким образом, приходим к следующему алгоритму решения разностной краевой задачи (1). Сначала по заданной правой части ~, и известным собственным функциям р,(х,) вычисляем по форму- лам (4) коэффициенты Фурье правой части. Затем по формулам (5), пользуясь тем, что собственные числа известны в явном виде, находим коэффициенты Фурье с, искомого решения у(х,). И, нако- нец, вычисляя суммы (3), находим решение у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
