Главная » Просмотр файлов » Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы

Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 60

Файл №1078412 Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы) 60 страницаСамарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412) страница 602018-01-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

Если о=0,5, то схема (29) имеет второй порядок точности по т и по И, при остальных о — первый порядок точности по т и второй — по И. Условие (31) становится более наглядным, если сетка ааь— квадратная, т. е. И,=И,=И. Тогда неравенство (31) принимает вид 1 Лг и) — — —. 2 Ва (32) В частности, явная схема (а=О) устойчива при условии 1 Лг 4 которое является еще более жестким, чем в одномерном случае.

222 и в одномерном случае с помощью метода разделения переменных. На самом деле даже нет необходимости повторять проделанные ранее выкладки. Достаточно заметить, что основные результаты об устойчивости схемы (6) не зависелн от конкретного вида оператора А, а использовали только следующие его свойства: 1) существование полной ортонормированной системы собственных функций, 2) положительность всех собственных чисел н знание верхней границы Х,„спектра. При этих условиях было доказано, что схема (6) устойчива по начальным данным, если весовой множитель о удовлетворяет нера- венству 'Неявные схемы с а)0,5 абсолютно устойчивы, однако в отличие от одномерного случая решение неявных двумерных разностных уравнений представляет значительные трудности.

б. Асимптотическая устойчивость. Проведение расчетов на современных быстродействующих ЭВМ предъявляет к разностиым схемам наряду с обычными требованиями аппроксимации, устойчивости и сходимости ряд дополнительных требований. Эти требования сводятся к тому, что разностпая схема должна хорошо моделировать характерныс свойства исходного дифференциального уравнения в условиях, когда шаги сетки остаются конечными.

Так, при решении уравнений параболического типа на больших отрезках времени существенное значение имеет свойство аси мпт ог ической устойчивости разиостной схемы. ГГоясним понятие асимптотической устойчивости на примере разностных схем для уравнения тепло- проводности — — 0(х 1, г)0, д! дх! (33) и(0, !) =и(1, !) =О, ! )О, и(х, О) =ие(х), О ~х(!.

Как известно, решение этой задачи можно записать в виде ряда Ф и (х, !) = ~ / — ~,' сьгйп е ~'~, (34) ! «=-! ! /2 Г л!гх сь = 1 — ! и, (х) яп г(х ! о — коэффициенты Фурье функции и,(х). С ростом ! гармоники -ьь! . яг!х иь = сье з!и ! при й>1 затухают быстрее, чем первая гармоника, так что при больших значениях ! имеем и(х, !) =с, — е- з!п —.

!' 2 !!. пх Для среднеквадратичной нормы решения задачи (33) (35) нз (34) следует оценка «и(!))(«=е '"!))и(0))), )г= —" (36) я!я! где Хь = — — собственные значения оператора второй произ- !3 водной и у",=у" =О, у',.=и,(х;), аппроксимирующее задачу (ЗЗ). Потребуем, чтобы для решения разностной задачи (37) выполнялась оценка )М!«е™!!М, (38) н-1 где 1„=пт, )у~= '~~й(у,") и 6=6(т, Ь)-+Х, при т — «О, и — О.

(=-1 Свойство, выраженное неравенством (38), будем называть асимптотической устойчивостью разностной схемы. Заметим, что устойчивость в обычном смысле определяется как выполнение оценки (38) с 6=0. Получим условия асимптотической устойчивости схемы с весами (37). Как было показано ранее, из представления (14) для решения задачи (37) следует оценка (1У""((«тах (де!1У" !1, (39) (сын-( где Л(м ()а=1 —, й=1, 2, ..., М вЂ” 1 ! + атЛ(м (40) н Аь — собственные значения оператора второй разностной произь! водной, 0 <Л(м<Х((! « ...

Х("),. (41) Устойчивость по начальным данным в обычном смысле обеспечивается условием (()н-~ ( «1 (42) которое можно записать в виде ! ! о- 2 тЛн(Ы, (43) Исследование асимптотической устойчивости схемы с весами (37) основано на следующей лемме. Л е м м а 1. Пусть величины д, определены согласно (40), (41) и параметр о удовлетворяет условию 1 + атХй' ( ) О. (44) Если выполнено неравенство д,+д.,>0, (45) 329. Далеко не всякая разностная схема, устойчивая и аппроксимирующая задачу (ЗЗ), обладает свойствами, аналогичными (35), (36). Рассмотрим семейство схем с весами ул оуьм +(1 о)у" ( — 1 2 й! 1 п — 1 2 тк,( хм( (37) то д,~(0, 1) и !д»! <д„я=2, 3,, У вЂ” 1.

Доказательство. Из (41), (44) следует, что >м> М'1 (46) т. е. 1 + отХ» > ) О, я = 1, 2, ..., У вЂ” 1. Неравенство (46) эквивалентно выполнению двух неравенств." д,— д,>0 и д,+д„>0. Согласно (40) имеем т (>.>»> — Х1»>) д» вЂ” д»= . » и )ОФ А=2, 3, ..., Л> — 1. (1+ отя>»'! (1+ ат»1»~>! следовательно, д,+д,>0, я=1, 2,..., Ф вЂ” 1. Тем самым неравенство (46) выполнено. Из него следует, что д,>0. Неравенство д,<1 следует нз (40), (41), (44).

Лемма 1 доказана. Заметим, что для неотрицательных о условия (44) всегда выполнены. Следствие !. Если выполнены условия леммел 1, то для решения разностной задачи (37) справедлива оценка ((у" (! ~р ((у'1~, (47) где 1 (1 е! б,(»> Р=д»= 1+ етЛ1> 1»> (48) Доказательство следует немедленно нз оценок (39), (45). Следствие 2. Если выполнены условия леммы 1 и параметр о не зависит от т и !>, то схема с весими (37) асимптотически устойчива. Доказательство. Согласно (38) достаточно показать, что р" =е (49) где б=б(Ь, т) — «и'/!' при т-«0, !>-«О.

Переписывая равенство (49) в виде 6= — !п —, 1 ! (50) т р аза Далее, д,+д,=(д,+д„-,)+(д,— д,,), откуда, учитывая условие (45), получим т (Хф>, — Х»1~>! д»+ д» «д» дн-> (1+ >>»>) ( + ~<»> ) получим из (48), что Л(а) 6 = ' ,„, + 0 (т) 1+ отх( ) и 1нп 6(г(, т) =л'/Р, что и требовалось. т,а-еа Не представляет труда более подробно выписать асимптотику величины б()), т) при т — ао. Имеем ! ! т ()„(а))а 1 тт р„((е)а 1 б (и, т) = — !п — = Л( ) — (оа — (1 — а)т) + (аа+ (! — а)а) —— р 2 3 т' Р.(м!' та (Л(а))а (оа (! о)4) ' ! (оа ! (! а)а! ! () ! а) 4 б откуда видно, в частности, что б(а, т)= Л1 )+0(т') прн а О,б. Таким образом, неравенство (45) представляет собой условие асимптотической устойчивости схемы с весами (37). Его можно переписать в виде неравенства тл(а) тЛ(а) + ))-( (2 1+ атл(а) 1+ ата(а), (52) ГдЕ Ха = — З(П вЂ”, Ла)-.= — СОЗ' —.

(а) 4 . а лл оо 4 ла аа 2! аа 2! Заметим, что из (52) и (44) следует неравенство тли (а) 1+ отЛЛ-( <2, совпадающее с (17) и обеспечивающее устойчивость схемы (37) в обычном смысле. Из (52) получаем, что явная схема (0=0) асимптотически устойчива при условии т(0,5й'. Чисто неявная схема (а=1) асимптотически устойчива при любых т и й. Симметричная схема (а=0,5) асимптотически устойчива при условии т ( 2ф' Л(," Л('", = й!Ул. (53) ЗЗВ 6 = — 1п „вЂ” ( ~' + 0 ()(() ), (51) т тх(а) т ( 1+ар, !— 1+ отЛ(') 1 где )(,= тл( . Заметим, что (а) (а) 4 . аль ла л) = — 5!п ))а 2! !а при Ь-+-0 и тЛо~-+-0 при т-~О, Ь- О.

Поэтому из (51) получвм Таким образом, симметричная схема, будучи абсолютно устойчивой в обычном смысле, является условно асимптотически устойчивой при условии (53). Асимптотическая устойчивость разностной схемы тесно связана с ее точностью. Нарушение асимптотической устойчивости приводит к потере точности схемы на больших временах. Так, в (321 показано, что если положить то при больших ! решение у(1„, х,) симметричной разностной схе- мы имеет асимптотику у(1„, хт)=ел,е *" ( — 1) яп— — х ! /с4п$ч ! — 1 ' их! Сопоставляя с асимптотикой (35) решения исходной задачи, видим, что решение полностью искажается.

Отметим, что в (32] предложена разностная схема для уравнения теплопроводности, обладающая безусловной асимптотической устойчивостью и имеющая второй порядок точности, однако данная схема не принадлежит семейству схем с весами (3?). $4. Решение разностного уравнения второго порядка методом Фурье Рассмотрим разностную схему у-,= — ?ь 1=1,2, ..., Ж вЂ” 1, хх,! уз = ум = О (1) Оператор (2) подробно изучался в $ 1, где было показано, что он имеет полную ортонормированную систему собственных функций /2 . пах! ць(х!)= У вЂ” з(п — ', й=1, 2, ..., М вЂ” 1, !=1, 2...,, Л! — 1. Соответствующие собственные числа оператора А имеют вид 4 . злаь Ц = — з(п* Ь~ 2! Поэтому можно искать решение задачи (1) в виде !г-! у!=у(х!) = '~1', сзрь(к!), /=1, 2, ..., У вЂ” 1, (3) где с„— неизвестные пока коэффициенты. 332 и построим ее решение в виде разложения по базису собственных функций оператора (Ау)!= — у-„! !=1,2..

М вЂ” 1, йУ=1, у =ун=0. (2) Разложим правую часть уравнения (1) в сумму Фурье, т. е. представим ее в виде и-1 ~;= '~~ ~мха(х;), А=1 где и-1 6=(!. !м)= ч~, '!дха(х!)Й, Й=1, 2,, У вЂ” 1. (4) /=1 Подставляя разложения (3), (4) в уравнение (1) при 1=1', получим и-1 и-~ ~ сз (!м (х))-„, = — ~ч' ял~ (х~), откуда, учитывая соотношение (рз(х))„-„= — Х~рз(х;) и линейную независимость функций 1х,(х), приходим к уравнениям схЛь= 1м Й=1, 2, ..., У вЂ” 1. Отсюда находим значения коэффициентов Фурье функции у(х,): са=(х/Хм Й = 1, 2,, У вЂ” 1.

(5) Таким образом, приходим к следующему алгоритму решения разностной краевой задачи (1). Сначала по заданной правой части ~, и известным собственным функциям р,(х,) вычисляем по форму- лам (4) коэффициенты Фурье правой части. Затем по формулам (5), пользуясь тем, что собственные числа известны в явном виде, находим коэффициенты Фурье с, искомого решения у(х,). И, нако- нец, вычисляя суммы (3), находим решение у(х).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6420
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее