Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 57
Текст из файла (страница 57)
+ г, (х!) у,",'; + г (х!) у;"',, (7) где н, определяется согласно (5). Схема (7) имеет аппроксимацию О( г+ Л'). ГЛАВА 3 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 3(0 Метод разделения переменных успешно применяется для построения решений разностных схем, главным образом с постоянными коэффициентами, и для исследования сходнмости. В основе метода лежит разложение решения разностной задачи по системе ее собственных функций.
Требование полноты системы собственных функций сильно сужает класс рассматриваемых задач, и мы ограничиваемся в этой главе лишь задачами с самосопряжениыми операторами типа разностного оператора Лапласа. В 3 1, 2 изучаются спектральные свойства разностных операторов, далее в й 3 методом разделения переменных проводится исследование устойчивости и сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности. В остальных параграфах рассматриваются экономичные методы нахождения решений разностных краевых задач с постоянными коэффициентами, основанные на методе разделения переменных.
й 1. Разностная задача на собственные значения ы,= (х;=1й, 1=0, 1, ..., )Ч, Я)4=1). (2) Исключая нз системы уравнений (1) с помощью граничных условий значения у„=п, и уи= р„ придем к эквивалентной системе уравнений 1=2,3, ..., Ф вЂ” 2, lе 2у~ — у~ ~- у ч-и + зуу-1 аа ы ах У-1 (3) где У",=1,+Р,!Ь', ~э,='1и,+Р,(Р. Рассмотрим множество векторов у= (у„у„..., у,)' у,=у(х,), х;сны, и определим на этом множестве оператор А формулами (4) Тогда систему (3) можно записать в виде операторного уравнения АУ=1', (6) где 1= (г, )ь ..., )и „ г' ,)'.
Отметим, что уравнение (5) учитывает как правую часть разностной схемы (1), так и ее граничные условия. Итак, разиостная задача (1) порождает разностный оператор (4). Оператор (4) определен на множестве функций, заданных только во внутренних точках сетки ьь„ т. е.
нри 1= 1, 2, ..., )т' — 1. Удобнее, однако, считать, что оператор А определен на подпространстве Н функций, заданных на всей сетке ы, и обращающихся в нуль на границе: у,=у =-О. При этом оператор А задается единообразными формулами (Ау);= — у„-... 1=1, 2, ..., М вЂ” 1, у,=ум =0 (6) во всей области определения. Оператор А, определенный согласно (6), будем называть оператором второй разностной производной.
Изучим свойства этого оператора. зы 1. Оператор второй разностной производной. Каждую разностную краевую задачу можно рассматривать как операторное уран. пение с операторами, действующими в некотором линейном конечномерном пространстве (пространстве сеточных функций). Рассмотрим, например, разностное уравнение у~~и= — Л, ~=1~ 2,, й' — 1. уо=рм уи =Рэ (1) на сетке 2. Задача на собственные значения. Задача на собственные значения для оператора А состоит в том, чтобы найти числа Л (собстеенньсе числа или собственные значения) такие, для которых урав- нение !7) Ау=Лу имеет нетривиальные решения (собстыенньсе функции), и найти собственные функции.
Заметим, что по существу уравнение (7) для оператора (6) представляет собой алгебраическую задачу па собственные значения для матрицы 2 — ! О О . †! 2 †! О . Π†! и †! 0 О О о о о О О О А=— ! ОООО...— !2 — ! О О О О... Π— ! 2 или подробнее у„,+у,,= (2 — й"Л)!Л, 1=1, 2, ..., Л! — 1, уо=у.=О (9) Разностная задача (8) представляет собой аппроксимацию дифференциальной задачи — и" (х) =Ли(х), 0<х<Е, и(0) =и(1) =О, (10) решением которой являются собственные числа Л~=( — ), у=1,2, ( ) и отвечающие им собственные функции иь (х) = з!п —, й = 1, 2, ... пях Попытаемся поэтому искать собственные функции задачи (8) в виде пах; уь(х!)=а)п — ', х!=й, у=1,2, ...
(1 1) ! Зта которая называется матрицей разностпого оператора (6). Матрица А является трехдиагональной симметричной матрицей порядка Ле — !. Известно, что у такой матрицы существуют Л' — 1 действительных собственных чисел и столько м'е линейно независимых собственных функций. В случае оператора (6) можно выписать все собственные числа и отвечающие им собственные функции в явном виде. Эти вопросы уже рассматривались в й 4 ч.!. Напомним полученные там результаты. Запишем уравнение (7) в виде — у;„,=Луп Е=-!,2, ..., ЛŠ— 1, у — — ун=О, Е!Л!=Е, (8) Граничные условия п,=ух=О при этом выполнены.
Подставляя (11) в уравнение (9), получим уравнение Ы(хг+а) пх(х; — (г) и!гхг э)п + э)гг =- (2 -- й'!.) э)ив ! ! или гггга г, гг(гхг 2 гйп — соа — = (2 — !гЧ.) гйп — ' ! ! Отсюда видно, что функция (11) является собственной функцией оператора (б), если пва 2соз — =2 — !Ж, 4 . и(га Х = Х» = — з!и' гр 2! При !!=1, 2, ..., )г! — 1 получаем ггг — ! разлигппах действительных собственных чисел ).„и отвечающих им собственных функций. Итак, решение задачи (8) имеет вид 4 .
япгг(г пхх, ) х = — Бг!1 —, йх (х,) = 5!п— (гг 2! хг=!й, г=О, 1, ..., й(, й=!, 2, ..., Л' — 1, йМ=!. (12) 3. Свойства собственных значений и собственных функций. Справедливы неравенства 0<)г<)ч( ... < )х<)г « ... гл- < —; Для минимального собственного числа )., в п. 5 б 4 ч. ! была получена оценка снизу ).,)б,>0 константой бг=-9/!', не зависящей от !к Переходя к изучению свойств собственных функций, введем в пространстве Н (напомним, что Н вЂ” линейное пространство функций, заданных ца ы, и удовлетворяющих условию рг=ух=О) скалярное произведение (у, и) = 'Я !!го!)г г=г и норму Оператор А второй разностиой производной (б) является самосопряжепным в Н оператором, т.
е. (Ау, и) =(у, Ап) для всех у, сге:-Н. Это сразу следует из тождеств, называемых разностпыми формулами Грина (см. также (15) из 9 3 гл. 1). Имеем по 313 определению Ф-т зг-т И-т (Ау, о) = — '~~ у„-„ргй = — 'Я ухло;+ ~ у;дог= 1=1 1=1 ( — — т У-т зг У =~ У- о —,'!'„Ух.п1-т=Х У-,1гп;,уз. Последнее равенство получено с учетом условия оэ=п =О. Меняя у и и местами, получим (Ап, У) = '~~~ о;,.У„-,.Ь = (о, Ау). (! 3) 4=1 Следствием самосопряженностн оператора (6) является ортогональность его собстиеняых функций, отвечающих различным собственным числам. Действительно, пусть ЛУ,=).,Ую АУ =й„Ую ),„~Х„,. Тогда (АУ„У ) =Х,(У„У ), (АУ„„У,) =)...(У, У,) и в силу самосопряжеппости имеем О= (ЛУ„, У„,) — (АУ„„У,) = (Х„--Х.) (Уьч У„). Отсюда и получим, что (учч у,) =О, если )м~1.„,.
Таким образом, система собственных функций (12) образует ортогональный базис в пространстве Н. 3 а м е ч а н и е. Поскольку все собственные числа различны, то условие ХЭЧВХ,э ЭКВНВапситпО УСЛОВИЮ а~т. Танин ОбРаЗОМ ДОКаЗаНО, Чтп СУММа пах, птхг ~„з1п — з!п — а, ЬМ = 1, 1 обрапгается в нуль при йФлг. Это замечание потребуется в $2 при изучении собственных функций пятпточечнаго разностного оператора Лапласа. Вычислим квадрат нормы собственной функции уь(х). В случае дифференциальной зздачн (!О) имеем г 3 пах 1и)т= ~яп' — г(х= —. 2 э Покажем, что и в разпостном случае собствеш1ая функция уь(х) имеет ту же самую норму У1!2. По определению имеем пйхг ' яйхг !у!!а='я йз!пз — -г= э Ьз!па — '. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы пах; ! 1 2пйхг ~ яп' — ' = — ! ! — соз — ~, 1 2 1 314 и учтем тождество 2лгг (хг+ 0,511) 2лл (х,, + 0,5л) лЬ1 2лггх, 5!П вЂ” згн =2яп — соз — ' ! Тогда получим аЛГ ! ( .
2ле(хам+0„5а) дц, ' ! Ы'=-.—— ! яп — яп — 1=— 2 4 ап (лая(О ( 2 Таким образом, система собственных функций з/2 . ллх р1(х) = )~~ — яп —, й = 1, 2,, (1( — 1, х=хь 1=1, 2, ..., 11г — 1, йй(=1, (14) образует ортонормированный базис в пространстве П. 4. Операторные неравенства.
Любой элемент у~О можно разложить по базису, т. е. единственным образом представить в виде суммы у(х) =~" с1111(х), х~ ыы (15) 4=1 Используя разложение (15), получим Л1-1 У-1 Ау(х) ='~~ сьА!м(х) ='~"„с111411 (у) Ь -1 Л вЂ” 1 (Ау, у) = ~ с'„2, (16) Из тождества (16) следуют важные неравенства Х1~1у~!'=- (Ау, у) -=Х~,!1у~,', (17) справедливые для любого уев((. Учитывая доказанные выше оценки для собственных чисел, получим из (!7) неравенстна 6(!у!1 ~(Лу, у) «= —,//у!)", 6= —,.
Из (!6) следует в частности, что (Ау, у) >О для всех у~Н, уФО. Операторы, обладающие этим свойством, называются ггологхнтельными операторами. Неравенство А>О будет озпзчагь, что Л вЂ” положительный оператор. В дальнейшем мы будем часто нспользо- 3!5 где с,= (у, !11) — коэффициенты Фурье. Из (15) н ортонормнрованностн системы (р1) следует тождество М-1 )(у)1 (у у) ~1 с1 вать и другие операторные неравенства.
Неравенство Агб означает, что (Ау, у)~0 для всех У~Н. Для двух операторов А и В неравенство А)В означает, что А — В)0. В этих обозначениях свойство (18) можно записать в виде операторных неравенств ЬЕ<Л< — Е, гн где 0<с,<аг<сь Покажем, что Л вЂ” самосопряженный и по1ожительный в Н оператор и получим оценки, аналогичные (18). Для любых у, ве: — Н имеем й-~ гг-~ гт — 1 (Лу в) = ~~' (пу )к,г огГг —,~~' гг нух,гкп 4 Я игу„гв г=1 г=1 г=-1 ггвв л гг а,д; гвг — ~~ ~и,у-„,.о,, = ~ агу-,.с„-,.)г. =Х Отсюда видно, что (Лу, и) = (у, Лп) н (Лу, у) = ~~ агу-',,В.
.1 (20) Из тождества (20) получаем неравенства с, ~ч; у„-',.Гг<(ЛУ, У)<с,'Я у-',гГг. Согласно (13) имеем гг (Лу, у) = ~Р д*-„,.й, г=1 где Л вЂ” оператор, определенный согласно (6). Поэтому последние неравенства можно переписать в виде с,(ЛУ, д) <(Лу, у) <с,(АУ, у) илн в виде операторных неравенств с,А <Л<с,Л. (21) Два оператора, А и Л, называются энереетичсски эквивалентными операторами, если выполнены неравенства вида (21) с положительными постоянными с„с,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
