Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Название объясняется тем, что в приложениях выражение (Ау, у) представляет собой энергию само- сопряженного положительного оператора А. Каггстанты с„с,, на- 316 где Š— единичный оператор, Рассмотрим теперь разностный оператор Л с переменными коэффициентами, определяемый формулами (Лу);= — (ау„-),г. 1=1,2...., Лà — 1, у,=угг=0, (19) зываются константами эквивалентности операторов А и Л. Норма 'ауз„= г'(Ау, у) называется энергетической нормой, порожденной оператором А.
Из (21) и (18) получаем неравенства с,ЬЕ<Л < — 'Е, 6=— л' нз которых следует, что спектр оператора (19) принадлежит отрезку (с,б, 4с,(й']. Свойства матричных неравенств, доказанные в п. 3 $ 4 гл. 2 ч. П, остаются справедливыми и для операторных неравенств в канечномерном пространстве Н со скалярным произведением, если только заменить в соответствующих неравенствах трапспоннраванные матрицы А', В' на сопряженные операторы А*, В*. В частности, если А'=А>0, то существует квадратный корень Ав из оператора А, который является самосапряженным положительным оператором.
Если Š— обратимый оператор, то операторные неравенства А~~В, ГА1 =- ГВ1. эквивалентны. Если С*=С>0 н и, Л вЂ” любые вещественные числа, то эквивалентны неравенства яС>рЕ, яЕ>рС '. й 2. Задача на собственные значения для пятиточечного разностного оператора Лапласа 1. Самосопряженность. В э 1 гл. 2 изучалась разцостная задача Дирнхле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Эта задача порождает оператор, который называется пятитачечным разностным оператором Лапласа и определяется следующим образом: (Ау): = —;— (1) 1=1, 2,... „Х,— 1, 1=1, 2, ..., Мг — 1, Л,Л~=1ь йгйи=(ь у(х„) =О, если х~ е-=1. Прямоугольная сетка Я=аЦт с шагами й, н й, состоит пз узлов хи = (х"', хгп), хсн =-. 1й, х(П = 1й, 1 з 1 1~ 3 и 1=0, 1, ..., Лг„1'=О, 1, ..., Л'„й Л' =1„, я=1, 2, ы — множество внутренних узлов сетки Й и у — граница Й. Предположение о том, что у„=О на (, не является дополнигельным ограничением в случае задачи Дирихле, поскольку можно считать, что неоднородные граничные услоиия учтены правой частью операторного уравнения Ау=1.
Введем линейное пространство Н функций, определенных на сетке 11 и обращающихся в нуль на (. Это конечномсрное пространство размерности (Л',— 1) (У,— 1). Определим в Н скалярное з1т произведение и норму Л',-1 Кя-1 (у, с) = '~~~ й, '~' /г,уг/и,/, /, ,'у ~ = )/ (~~, у). Я вЂ” — 1 Я=1 и при каждом г=1, 2, ..., й/,— 1 — тождество ЛЯя-1 — ~1/ у- ' =Х йу- '-,, з х я.г/ г! ~! 1 я„о к„:!' !'=1 ! —.1 (3) где -/х ! (Уг/ !г 1 /)/ 1 Ух ! (»!У У! / 1)' м Из (2) н (3) получим Ля-1 Л,-1 — '~~ йг '~~ /ггу„-„пгггг ЛЯ,-1 Л,-я — 'Я /г, '>' й,у;„оог/= Я =1 !:-1 Л.-1 Л, Лгя-1 М, = ~р й,~'й,у„-,+ '~ й, ~ й,у-„г,п.—,./, 1=.1 1=1 ! -.1 Я=1 1=1 г=г и, Л,-г (Ау, и) =~ /г, '~~ йгу- Пгя- у+ '~ й,'~' йгу- г/гл;, (4) 1=-1 ! — 1 Я '=1 Поскольку функции у и и входят в правую часть тождества (4) равноправно, получаем, что (Ау, с) =(у, Ап) для любых у, оенН. Итак, оператор А — самосопряженный.
2. Оценка собственных чисел. Положительность оператора. Рассмотрим теперь для этого оператора задачу на собственные значения АУ=ЛУ или, более подробно, укм„г!+ У;,„,д! + лу ! = 0 х;/~= ы, у, =О, х!ге=т. Так как А — самосопряженный в Н оператор, существуют (йг,— 1) Х Х (/т',— !) действительных собственных чисел, а система собствен- ных функций образует в П ортогональный базис. 318 Будем считать, что оператор А действует в пространстве Н. Покажем, что оператор А, определенный согласно (1), является самосопряженным и положительным в Н оператором. Пусть 1/, оеиН.
Так же как и в 8 1, можно доказать, что при каждом /'= =1, 2, ..., й/,— 1 справедливо тождество ЛЯ;1 Ля я (2) Выпишем в явном виде решение задачи (5). Рассмотрим два набора чисел Л», = — 5!п 4 . а н»»а» )г»= 1, 2, ..., 111» — 1, 1» 21» » Л»,= — 5!и» "", А =1,2, „й㻠— 1, 4 . к»»Ь» а» 21» » и образуем всевозможные суммы нида Л»,„»=Л,,+Л»„А =1, 2, ..., Л»„— 1, с»=1, 2. (6) Далее, рассмотрим системы функций лгг»»»»~ !»», (Х»н) = ~» — 51п 1, и» = 1, 2, , 111» — 1, х»з — !1», Š— О, 1,, М», й М =1 г л/г,г'» р»,(х»!') =)»» — 5!и ', !»»=1, 2...,, Ф, — 1, х»»з =11»» ! = О 1, ... Лм !»»йга=!» и образуем всевозможные произведения вида !и (хп) = !»», (х»п) !»», (х»1>), ь=(ь» ьг)» ь»=! 2 ° °, й»» 1, ь»=1, 2, ° ° °, й»» 1, Х»1 — (Х»»> Х»11) Е= 51 (7) Л» = Л»,», = — 5!и — + — 5!ив 4 .
к»»а» 4 ., н»»д» 21»»' 21» (8) является собственным числом пятиточечного разностного оператора Лапласа (1), которому отвечает собственная функция н»»х»»»1, Ы»х»»1» !»» (х»») =!»»,» (хп) ==5!п 5!и (9) У1»1» 1 Индексы л=(к», /г,) и гн=. (ть»п,) назовем совпадающими, и обозначим л=т, если /г,=ть /г»=п», и несовпадающими (йФт) — в противном случае. Покажем, что при й~»п функции р„и р„являются ортогональными, т. е. (р„р ) =.О при ггчьгп. По 319 Учитывая результаты й 1, относящиеся к одномерной задаче на собственные значения, можно простой подстановкой чисел (6) и функций (7) в уравнение (5) убедиться в том, что при каждом й= (л„й») число определению имеем Я вЂ” г №-1 (гм, и. 1 = 'Я 1гг 'Я 1гг1ггь (хг") рн (х!') р,„, (х",г) 1ггч (хггг) = г'=-г /х -г ~ Гл,-г ,'У, 1г р, (хг') и., (хг'г) ) ~ ч„1г и (хггг) р (х'Ч г=г l .г= Согласно замечанию на стр.
314 в 9 1, по крайней мере одна из сумм, стоящих в круглых скобках, равна пулю при йФгн. Аналогично доказывается, что норма функции (0) равна единице, Таким образом, система функций (1гнм(хц))г„',~и='~, ' образует ортонормироваиный базис в пространстве Н и числа Хн,л определенггые согласно (8), составляют при й,= 1, 2, ..., Л', — 1, йг= 1, 2, ..., Лгг — 1 весь спектр оператора А.
Пользуясь результатами 3 1, относящимися к оценкам собственных чисел одномерной задачи, получаем, что все собственные числа (8) удовлетворяют неравенствам — + — =Хг,( — + — . 9 9 4 4 (10) Наименьшее и наибольшее собственные числа й ы= — з(гг — "+ — з!п "- ), „= — соз — + — соз — ''-. (11) 4 .глггг 4 .злги 4 злаг 4 зла гд 2!г аг 20 ' ггг 21г аг 21г 'г г 1 г Так хе, как и в 9 1, получаем оценки для энергии оператора Х „,11гг!р((Ау, у) (2..„Ду11-".
Заметим, что согласно (4), № №-г и;г № (Агб У) = ~ 1г, 'Я 1г, (У; ц)' + 'Я й, 'Я 6, (У-, г )т. $3. Исследование устойчивости и сходимостн схемы с весами для уравнения теплопроводности 1. Исходная задача и разностная схема. Схема с весами для уравнения тсплонроводности рассматривалась в $ 4 гл.
1, где была исследована ее погрешность аппроксимации и найдены необходимые условия устойчивости. В настоящем параграфе дано полное исследование устойчивости н сходимости схемы с весами и получены оценки погрешности. Будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения теплопроводности — = — + ) (х, 1), О ~ х ( 1, О ( 1 ( Т, дг дхг и (О, 1) = и (1, 1) = 0„0 С 1 «= Т, (1) и(х, 0) =и,(х), 0 ~~х(1. 320 Введем сетку ыо,— — ыкХа„где сел=(х;= (й, 1=0, 1, ..., Ф, йУ=1), сл,=((„=пт, и =О, 1, ..., К, Кт=Т), и обозначим у,". =у(хь 1„), ао Дифференциальную задачу (1) заменим на сетке ык, разностной задачей у~"; = ау-„„', + (! — а) у„-",, + ср";, (2) с=1,2,...,М вЂ” 1, п=0,1,...,К вЂ” 1, где а — число н ср",.
— сеточная функция, заменяющая функцию 1(х, 1), К уравнениям (2) следует добавить разностные начальные и граничные условия у,"=ул =О, п=1, 2, ..., К вЂ” 1, (3) у,'.=и (хо), 1=0, 1, ..., Ж. Разностная задача (2), (3) называется схемой с весами длл уравнения теплопроводности. Точность этой разностной схемы хаРактеРизУстса погРешностью г,"=У,л — и(хь 1„).
ДлЯ погРешности получаем задачу гс; = аг„-„ о + (1 — а) г-„ .; + с)ч, (4) 1=1,2,...,Ф вЂ” 1, п=0,1,...,К вЂ” 1, гл гл 0 го 0 ! 0 о в где ор"; = — исх + аи„"-„", + (1 — а) и-"„, + ср," — погрешность аппроксимации схемы (2), (3) на решении задачи (1). В ~ 4 гл. 1 было показано, что при надлежащем выборе ср,". справедливы соотношения йи ф,"=О(т'+й') при а=а,= — —— 2 !2т ойо =О(то+ й') при а=0,5, чн"=О(т+й') при а~а„, а~0,5, В настоящем параграфе мы получим оценки решения разност- ной задачи (2), (3) через начальные данные У;' и правую чань <р,", выражающие устойчивость схемы но начальным данным н по пра- вой части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
