Главная » Просмотр файлов » Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы

Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 54

Файл №1078412 Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы) 54 страницаСамарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412) страница 542018-01-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Для дальнейшего исследования удобно записать уравнение (3) в виде, разрешенном относительно у„, а точнее в виде ~-' — ("— + 2 '! У~ну+У'-~Г + Уюн УСИ 1 ), (6) а' ь' ) а' ьь 1 2 1 2 иия. Она применима не только к уравнению (5), по и к любому линейному разнастному уравнению. Разумеется, в каждом конкретном случае необходимо задать множества Ш'(х) и определить коэффициенты А(х), В(х, я) и правИа часть г(х).

Уравнение (6) определена при хе-:гэ, т. е. только во внутренних точках сетки (). Поэтому к нему требуется добавить еще граничные условия (4). Заметим, однако, что если при хаву считать Ш'(х) пустым множеством, то уравнение (6) принимает вид А(х)у(х)=г(х), хе=(, и представляет собой запись граничных условий у(х) =ц(х) прн хе— : у, причем г" (х) =А(х) р(х). Итак, разностную схему (3), (4) можно записать в виде системы уравнений (6), где х пробегает все множество Ы. Во всех внутренних точках х~а выполняются условия А(х) >О, В(х, $) >О для всех йе-:Ш'(х), (8) Л (х) =,У, В (х, я). ееш'нз В граничных точках хе=т имеем Ш'(х) — пустое множество и А (х) > О.

В следующем параграфе изучаются свойства общей разностной схемы (6) безотносительно к конкретному виду ее коэффициентов, важно лишь, чтобы выпалнялнсь условия, аналогичные (8). Полученные выводы окажется возможным применить пе только к разностнай схеме (3), (4), но и к более широким классам разнастных с..ем. й 2. Принцип максимума для разностных схем.

Основные теоремы 1. Исходные предположения. В предыдущем параграфе на примере уравнения Пуассона была введена каноническая форма записи разностнай схемы А (х) у (х) =,,"~~ В (х, $) у ($) -,'- Г (х), х г= й. (1) Йеш'(х) Поясним теперь, как следует понимать уравнение (1) в общем случае.

Пусть в и-мерном евклидовом пространстве задано конечное множество точек — сетка 12. Каждой точке х~П сопоставим один и только один шаблон Ш(х) — любое подмножество 11, содержащее данную точку х. Окрестностью точки х назовем множество Ш'(х) =Ш(х) ",(х). Заметим, что Ш'(х) может быть и пустым множеством.

Пусть заданы функции А(х), В(х, я), с(х), определенные при любых хе=(1, $е=й и принимающие вещественные значения. Далее, каждой точке хе=(1 соотносится одно и только одно уравнение вида (1), в котором у(х) — искомая сеточная функция. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений с числам уравнений, равным числу неизвестных. Эту систему уравнений и будем называть разностной схемой. Введем понятие связной сетки. Сетку Я будем называть связной сеткой, если для любых двух ее узлов х„х,'таких, что по крайней мере один из узлов имеет непустую окрестность, существует такое множество узлов х;~(), г=1, 2, ...

..., и, что х,енШ'(х,), х,яШ'(хг), ... х ыгШ'(х,), х.'еиШ'(х ), т. е каждый последующий узел принадлежит окрестности предыдущего. Аналогичным образом определяется гонятие связности любого подмножества из (1. Нагла ный смысл т ебования связно- д р сти состоит в том, чтобы от любого уз.па х,~Р. можно было перейти к любому другому узлу х,'--й, пользуясь толь го заданными шаблонами.

На рис. !3 изображен пример сеточной области, не являющейся связ- рис.1З.Нссвязааа сетка ной (шаблон предполагается пятитэчечным, таким, как прн аппроксимации уравнения Пуассона). Определим сеточный оператор Е формулами Еу(х) =А(х) у(х) —,~' В(х, Е) уД) (2) Ц~пг гхг и обозначим Р (х) = А (х) — ~, В (х, с). (3) ЬаШ'гхг Тогда задачу (1) можно записать в виде Еу(х) =В(х), хе— = !г.

Заметим, что выражение Еу(х) можно представить также в виде Еу (х) = Р (х) у (х) + „Я В (х, $) (у (х) — у ($)). К~Ш'гхг Будем говорить, что в точке хенй выполнены условия положительности коэффициентов, если А(х) >О, В(х, $) >О для всех ф~Ш'(х), Р(х) )О. (5) 2. Принцип максимума и его следствия. Сформулируем теперь основную теорему настоящего параграфа (см. 133)). Наряду с сеткой !1 будем рассматривать какое-либо ее подмножество сг и обозначим сг = Ц Ш (х). хмс Для наглядности читатель может представить себе, что П вЂ” эта сетка, введенная в ~ 1 при аппроксимации уравнения Пуассона в прямоугольнике, а ы — множество ее внутренних узлов.

Очевидно, чго прн эгом ог=гг. В общем же случае требуемые свойства множеств гг н ы сформулированы в приведенной ниже теореме. Заметим, что в этой теореме функция у(х) не обязана являться решением задачи (4), используются только свойства оператора г., Теорема 1 (принцип максимума). Пусть сетка гл и еь подмножество ог являются свяэнылш, причем ыс=гл. Пусть в о> выполнены условия по,гожительности коэффициентов (5). Тогда, если функция у(х), заданная на гл, не является постоянной на го и Ьу(х) =0 при всех х':-'ог (б) (либо Уу(х) =»0 при всех хорог), то у(х) не,ножет принимать наибольшего положите.гьного (соответственно наименьшего отрицательного) значения на и среди всех ее значений на в.

Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть выполнено условие (б) . Будем доказывать теорему от противного. Допустим, что в точке х,с=о> функция у<х) принимает наибольшее положительное значение, т. с. (7) у (х,) = с~ах у (х) > О. «ыи В этой точке выражение Т.д(х,) =О(я,)д(,)+,'К В< „,.)(д(х,) — дД) <В) з~.= гв ч «н пеотрицательно. Действительно, согласно условиям (5) и предположению (7) гимеем В(х,).

-О, у(х,)>0, В(х ° ч)>0 У(х«))У<ь), так что Еу(х,) .= О. С другой стороны, из условия (6) следует, что Ву(х,) =О. Таким образом, если выполнено (7) в точке х,~ог, то Ву(х,)=0. Но тогда, учитывая неотрицательность всех слагаемых правой части выражения (8), получим г)(х„)у(х,)=0, В(х„$) (у(х,) — у($))=0, яенШ'(х,).

Отсюда, в силу предположения у(х«) '- 0 и условия В(х„~) )О следует у(ьь)=у(х„) для всех $енШ'(х,). (9) Далее, поскольку у(х) чисопзг в ог, найдется точка х, енол в которой у(х,) (у(х,). Из предположения о связности сетки ог вытекает существование системы узлов х„х„..., х, принадлежащих ы и удовлетворяющих условиям х,е:-Ш'(х,), х,еиШ'(х,),..., х яШ'(х,), хое= Ш (х ).

Из условия (7) и доказанного свойства (9) получаем у(х,) =у(х,). Следовательно, относительно точки х, можно повторить все предыдущие рассуждения и доказать, что у(с)=у(х,) для всех $енШ'(х,). 296 Аналогично докажем, что у(х,)=у(х,)=...=у(х )=у(х„). Оценим величину 5у (х,„) = Р (х„) у (х„,) +,У, В (х, Ц (у (х ) — у ($)). «мы ~к~Л Из условий (5), равенства у(х ) =у(х,) и предположения (?) по- лучаем строгое неравенство Ву(х„,) ) В(х«и х,) (у(х,) — у (х,)) ) О, которое противоречит условию (6).

Таким образом, допущение (7) неверно. Случай, когда Ьу(х).= О, для всех ханы сводится к рас- смотренному случаю путем замены у на — у. Теорема 1 доказана. 3 а м е ч а н и е. Принцип максимума остается справедливым и в том случае, когда ы=Ы. Предполагается при этом, что ь«= () Ш(х)=(1 В дальнейшем, не оговаривая это особо, будем «ми считать сетку ь1 связной.

Следствие 1. Если при всех хаий а) выполнены условия положительности коэффициентов (5), б) Ьу(х) (0(?у(х) )0), и найдется хотя бы один узел х,,е: — Я, в котором Р(х„) >О, х,е-=(1, (10) то у(х) (0(у(х) )0) для всех хе=0. Доказательство. Если у(х)чисопз( при хы(), то утверждепие следует из принципа максимума. Действительно, предполагая, что у(х) >О хотя бы в одной точке х~(), мы допускаем существование в 11 положительного максимума функции у(х), что противоречит принципу максимума.

Если у(х) =— сопя( при хеньг, то в точке х„для которой Р(х,) >О, имеем Еу (х,) = Р(~,) у (х,) +,~~ ~В (х„3) (у (х,) — у ($)) = Р (х~) у (хв) ~ О, $омч«й откуда получим у(х) =у(х,) ~О. Точку х~() назовем граничной точкой, если Ш'(х) — пустое множество, Ш'(х) =Я. Если сетка ь) содержит хотя бы одну граничную точку х„ то Р(х,)=А(х,) —,Я~ В(х, $) =А(х,)" 0 гам <«н и можно применять следствие 1. Теперь мы уже в состоянии сформулировать достаточные условия однозначной разрешимости задачи (1). Следствие 2. Пусть коэффициенты оператора 5 удовлетворяют условиям (5) при каждом хаий и условию (10). Тогда задача (1) имеет единственное решение. 297 Доказательство.

Ранее отмечалось, что задача (1) пред- ставляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в ко- торой число уравнений равно числу неизвестных. Поэтому доста- точно показать, что однородное уравнение ту(х) =О, х~(), имеет только тривиальное решение у(х) =— О. Поскольку условия Еу(х) = )О и г'.у(х)(0 в данном случае выполнены, из следствия ! за- ключаем, что в каждой гочке хе=!2 одновременно выполняются не- равенства у(х) )0 и у(х) (О. Но это справедливо лишь тогда, когда у(х) =0 на й. Предоставляем читателю возможность самостоятельно убе- диться в том, что разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона (см.

ь" !), удовлетв!оряет всем условиям теоремы 1 и ее следствий и тем самым имеет единствен- ное решение. Для того чтобы доказать непрерывную зависимость решения от правой части и от граничных условий, полученной тео- ремы недостаточно, Докажем еще несколько утверждений, следую- щих из принципа максимума. 3. Теорема сравнения. Устойчивость по граничным условиям. Наряду с задачей (4) рассмотрим задачу ЛУ (х) = 7 (х), х = !1, (1 1) отличающуюся от (4) правой частью. Теорема 2 (теорема ср а в пения). Пусть при всех хе=!! выполнены условия тголожительностгг коэффициентов (5) и выполнено условие (!0). Тогда, если ~ г (х) ) ( Е (х) для всех х ~ 11, то ) у(х) ) < У(х) для всех хай.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для функций о (х) = У(х) +у (х) и иг (х) = =У(х) — у(х) имеем Ео(х) =т" (х)+ т" (х) =»О, У.и(х) =т (х) — Р(х) = О. Согласно следствию 1 имеем о(х) = О, иг(х) ~0, т. е. — У(х) =у(х) ~У(х), что и требовалось. Сформулируем первую краевую задачу для уравнения (1).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,53 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее