Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Для дальнейшего исследования удобно записать уравнение (3) в виде, разрешенном относительно у„, а точнее в виде ~-' — ("— + 2 '! У~ну+У'-~Г + Уюн УСИ 1 ), (6) а' ь' ) а' ьь 1 2 1 2 иия. Она применима не только к уравнению (5), по и к любому линейному разнастному уравнению. Разумеется, в каждом конкретном случае необходимо задать множества Ш'(х) и определить коэффициенты А(х), В(х, я) и правИа часть г(х).
Уравнение (6) определена при хе-:гэ, т. е. только во внутренних точках сетки (). Поэтому к нему требуется добавить еще граничные условия (4). Заметим, однако, что если при хаву считать Ш'(х) пустым множеством, то уравнение (6) принимает вид А(х)у(х)=г(х), хе=(, и представляет собой запись граничных условий у(х) =ц(х) прн хе— : у, причем г" (х) =А(х) р(х). Итак, разностную схему (3), (4) можно записать в виде системы уравнений (6), где х пробегает все множество Ы. Во всех внутренних точках х~а выполняются условия А(х) >О, В(х, $) >О для всех йе-:Ш'(х), (8) Л (х) =,У, В (х, я). ееш'нз В граничных точках хе=т имеем Ш'(х) — пустое множество и А (х) > О.
В следующем параграфе изучаются свойства общей разностной схемы (6) безотносительно к конкретному виду ее коэффициентов, важно лишь, чтобы выпалнялнсь условия, аналогичные (8). Полученные выводы окажется возможным применить пе только к разностнай схеме (3), (4), но и к более широким классам разнастных с..ем. й 2. Принцип максимума для разностных схем.
Основные теоремы 1. Исходные предположения. В предыдущем параграфе на примере уравнения Пуассона была введена каноническая форма записи разностнай схемы А (х) у (х) =,,"~~ В (х, $) у ($) -,'- Г (х), х г= й. (1) Йеш'(х) Поясним теперь, как следует понимать уравнение (1) в общем случае.
Пусть в и-мерном евклидовом пространстве задано конечное множество точек — сетка 12. Каждой точке х~П сопоставим один и только один шаблон Ш(х) — любое подмножество 11, содержащее данную точку х. Окрестностью точки х назовем множество Ш'(х) =Ш(х) ",(х). Заметим, что Ш'(х) может быть и пустым множеством.
Пусть заданы функции А(х), В(х, я), с(х), определенные при любых хе=(1, $е=й и принимающие вещественные значения. Далее, каждой точке хе=(1 соотносится одно и только одно уравнение вида (1), в котором у(х) — искомая сеточная функция. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений с числам уравнений, равным числу неизвестных. Эту систему уравнений и будем называть разностной схемой. Введем понятие связной сетки. Сетку Я будем называть связной сеткой, если для любых двух ее узлов х„х,'таких, что по крайней мере один из узлов имеет непустую окрестность, существует такое множество узлов х;~(), г=1, 2, ...
..., и, что х,енШ'(х,), х,яШ'(хг), ... х ыгШ'(х,), х.'еиШ'(х ), т. е каждый последующий узел принадлежит окрестности предыдущего. Аналогичным образом определяется гонятие связности любого подмножества из (1. Нагла ный смысл т ебования связно- д р сти состоит в том, чтобы от любого уз.па х,~Р. можно было перейти к любому другому узлу х,'--й, пользуясь толь го заданными шаблонами.
На рис. !3 изображен пример сеточной области, не являющейся связ- рис.1З.Нссвязааа сетка ной (шаблон предполагается пятитэчечным, таким, как прн аппроксимации уравнения Пуассона). Определим сеточный оператор Е формулами Еу(х) =А(х) у(х) —,~' В(х, Е) уД) (2) Ц~пг гхг и обозначим Р (х) = А (х) — ~, В (х, с). (3) ЬаШ'гхг Тогда задачу (1) можно записать в виде Еу(х) =В(х), хе— = !г.
Заметим, что выражение Еу(х) можно представить также в виде Еу (х) = Р (х) у (х) + „Я В (х, $) (у (х) — у ($)). К~Ш'гхг Будем говорить, что в точке хенй выполнены условия положительности коэффициентов, если А(х) >О, В(х, $) >О для всех ф~Ш'(х), Р(х) )О. (5) 2. Принцип максимума и его следствия. Сформулируем теперь основную теорему настоящего параграфа (см. 133)). Наряду с сеткой !1 будем рассматривать какое-либо ее подмножество сг и обозначим сг = Ц Ш (х). хмс Для наглядности читатель может представить себе, что П вЂ” эта сетка, введенная в ~ 1 при аппроксимации уравнения Пуассона в прямоугольнике, а ы — множество ее внутренних узлов.
Очевидно, чго прн эгом ог=гг. В общем же случае требуемые свойства множеств гг н ы сформулированы в приведенной ниже теореме. Заметим, что в этой теореме функция у(х) не обязана являться решением задачи (4), используются только свойства оператора г., Теорема 1 (принцип максимума). Пусть сетка гл и еь подмножество ог являются свяэнылш, причем ыс=гл. Пусть в о> выполнены условия по,гожительности коэффициентов (5). Тогда, если функция у(х), заданная на гл, не является постоянной на го и Ьу(х) =0 при всех х':-'ог (б) (либо Уу(х) =»0 при всех хорог), то у(х) не,ножет принимать наибольшего положите.гьного (соответственно наименьшего отрицательного) значения на и среди всех ее значений на в.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть выполнено условие (б) . Будем доказывать теорему от противного. Допустим, что в точке х,с=о> функция у<х) принимает наибольшее положительное значение, т. с. (7) у (х,) = с~ах у (х) > О. «ыи В этой точке выражение Т.д(х,) =О(я,)д(,)+,'К В< „,.)(д(х,) — дД) <В) з~.= гв ч «н пеотрицательно. Действительно, согласно условиям (5) и предположению (7) гимеем В(х,).
-О, у(х,)>0, В(х ° ч)>0 У(х«))У<ь), так что Еу(х,) .= О. С другой стороны, из условия (6) следует, что Ву(х,) =О. Таким образом, если выполнено (7) в точке х,~ог, то Ву(х,)=0. Но тогда, учитывая неотрицательность всех слагаемых правой части выражения (8), получим г)(х„)у(х,)=0, В(х„$) (у(х,) — у($))=0, яенШ'(х,).
Отсюда, в силу предположения у(х«) '- 0 и условия В(х„~) )О следует у(ьь)=у(х„) для всех $енШ'(х,). (9) Далее, поскольку у(х) чисопзг в ог, найдется точка х, енол в которой у(х,) (у(х,). Из предположения о связности сетки ог вытекает существование системы узлов х„х„..., х, принадлежащих ы и удовлетворяющих условиям х,е:-Ш'(х,), х,еиШ'(х,),..., х яШ'(х,), хое= Ш (х ).
Из условия (7) и доказанного свойства (9) получаем у(х,) =у(х,). Следовательно, относительно точки х, можно повторить все предыдущие рассуждения и доказать, что у(с)=у(х,) для всех $енШ'(х,). 296 Аналогично докажем, что у(х,)=у(х,)=...=у(х )=у(х„). Оценим величину 5у (х,„) = Р (х„) у (х„,) +,У, В (х, Ц (у (х ) — у ($)). «мы ~к~Л Из условий (5), равенства у(х ) =у(х,) и предположения (?) по- лучаем строгое неравенство Ву(х„,) ) В(х«и х,) (у(х,) — у (х,)) ) О, которое противоречит условию (6).
Таким образом, допущение (7) неверно. Случай, когда Ьу(х).= О, для всех ханы сводится к рас- смотренному случаю путем замены у на — у. Теорема 1 доказана. 3 а м е ч а н и е. Принцип максимума остается справедливым и в том случае, когда ы=Ы. Предполагается при этом, что ь«= () Ш(х)=(1 В дальнейшем, не оговаривая это особо, будем «ми считать сетку ь1 связной.
Следствие 1. Если при всех хаий а) выполнены условия положительности коэффициентов (5), б) Ьу(х) (0(?у(х) )0), и найдется хотя бы один узел х,,е: — Я, в котором Р(х„) >О, х,е-=(1, (10) то у(х) (0(у(х) )0) для всех хе=0. Доказательство. Если у(х)чисопз( при хы(), то утверждепие следует из принципа максимума. Действительно, предполагая, что у(х) >О хотя бы в одной точке х~(), мы допускаем существование в 11 положительного максимума функции у(х), что противоречит принципу максимума.
Если у(х) =— сопя( при хеньг, то в точке х„для которой Р(х,) >О, имеем Еу (х,) = Р(~,) у (х,) +,~~ ~В (х„3) (у (х,) — у ($)) = Р (х~) у (хв) ~ О, $омч«й откуда получим у(х) =у(х,) ~О. Точку х~() назовем граничной точкой, если Ш'(х) — пустое множество, Ш'(х) =Я. Если сетка ь) содержит хотя бы одну граничную точку х„ то Р(х,)=А(х,) —,Я~ В(х, $) =А(х,)" 0 гам <«н и можно применять следствие 1. Теперь мы уже в состоянии сформулировать достаточные условия однозначной разрешимости задачи (1). Следствие 2. Пусть коэффициенты оператора 5 удовлетворяют условиям (5) при каждом хаий и условию (10). Тогда задача (1) имеет единственное решение. 297 Доказательство.
Ранее отмечалось, что задача (1) пред- ставляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в ко- торой число уравнений равно числу неизвестных. Поэтому доста- точно показать, что однородное уравнение ту(х) =О, х~(), имеет только тривиальное решение у(х) =— О. Поскольку условия Еу(х) = )О и г'.у(х)(0 в данном случае выполнены, из следствия ! за- ключаем, что в каждой гочке хе=!2 одновременно выполняются не- равенства у(х) )0 и у(х) (О. Но это справедливо лишь тогда, когда у(х) =0 на й. Предоставляем читателю возможность самостоятельно убе- диться в том, что разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона (см.
ь" !), удовлетв!оряет всем условиям теоремы 1 и ее следствий и тем самым имеет единствен- ное решение. Для того чтобы доказать непрерывную зависимость решения от правой части и от граничных условий, полученной тео- ремы недостаточно, Докажем еще несколько утверждений, следую- щих из принципа максимума. 3. Теорема сравнения. Устойчивость по граничным условиям. Наряду с задачей (4) рассмотрим задачу ЛУ (х) = 7 (х), х = !1, (1 1) отличающуюся от (4) правой частью. Теорема 2 (теорема ср а в пения). Пусть при всех хе=!! выполнены условия тголожительностгг коэффициентов (5) и выполнено условие (!0). Тогда, если ~ г (х) ) ( Е (х) для всех х ~ 11, то ) у(х) ) < У(х) для всех хай.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для функций о (х) = У(х) +у (х) и иг (х) = =У(х) — у(х) имеем Ео(х) =т" (х)+ т" (х) =»О, У.и(х) =т (х) — Р(х) = О. Согласно следствию 1 имеем о(х) = О, иг(х) ~0, т. е. — У(х) =у(х) ~У(х), что и требовалось. Сформулируем первую краевую задачу для уравнения (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
