Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Пример метода переменных направлений. Рассмотрим по- дробно одну из разностных схем метода переменных направлений для уравнения (1), называемую продольно-поперечной разностной схемой или схемой Писмепа — Рэчфорда. В этой схеме переход от слоя и к слою п+1 осуществляется в два этапа. На первом этапе определяют промежуточные значения у".и из системы уравнений ц эл'" — ". эц уц л<",, П = Л,уц ' + Л,у,г, хц г-и ыг„ О,зт а на втором этапе, пользуясь найденными значениями угг л, на- ходят у„" из системы уравнений яц эгг ' =Л у"."н + Л у".."г, х,.
е= ыь. (13) О,зт Здесь разностные отношения Л,п, Л,п определены согласно (3!. Уравнение (12) является неявным только по переменному х,. Поэтому уравнения (12), (13) можно решить последовательным применением одномерных прогонок, сначала по направлению х„а затем по направлению хм Этим обстоятельством и объясняется название метода. Остановимся подробнее на алгоритме решения уравнений (12), (!3). Перепишем уравнение (12) в виде (14) где т, = — т!Ь',, Р',.'; = уч+ 0,5тЛ уу. Уравнение (14) решается прн каждом фиксированном 1=1, 2,...,йгз — 1 методом прогонки по переменному ! (см, п. 7 4 4 ч.
!). Чтобы применить прогонку, вадо знать граничные значения ула; Ч улэ(Н, 1=1, 2,, % — 1. На постановке граничных условай для вспомогательной функ. пни у! 4 мы остановимся ниже (см, н. 3). При каждом фиксированном 1 про. гонка по направленяю х, выполняется за 0()У~) арифметических действий. Следовательно, нахождение всех ф,+Л требует 0(йг,йгт) арифметических действий. После того как все ус!ей найдены, решается уравнение (13). Переписывая зто уравнение подробнее: (15) видим, что прн каи(дом фиксированном 1=1, 2,..., Л',--! его можно решить с помощью одномерной прогонки по переменному !. 1раннчные условия задаются в соответствии с задачей (1); Нахождение всех д!! ' из системы (15) требует 0(М,!ут) арифметических действий. Таким образом, при )гй =53=!! нахождение у',"Ут по известным значениям с помощью метода переменных направлений требует 0(У') арифметических действии Для сравнения отметим, что решение двумерной неявной схемы (например схемы (10)) с помощью стандартного метода Гаусса потребовало бы О(№) действий, поскольку число неизвестных О(№).
Нахождение решения и,",ы неявной схемы с помощью быстрого дпскретяого преобразования фурье осуществляется за 0 (№ !ой~ У) действий (см. й 6 гл, 3). 3. Абсолютная устойчивость продольно-поперечной схемы. Чтобы исследовать устойчивость продольно-поперечной схемы, исключим сначала из системы (12), (13) промежугочпые значения у",, И и получим эквивалентную разностную схему, связывающую значения неизвестных только на целых слоях п и и+1.
Затем применим к полученной схеме теорему 2 из 3 2 и убедимся в ее абсолютной устойчивости. 373 Вычтем уравнение (12) нз уравнения (13). Тогда придем к уравнению и~11 и И+', Л Д, — 2Д; ' +Д11 О,зт = Л, (у"." .— у"..), х» = ыгл 1/ » из которого получим которое после очевидных упрошений приводится к виду Л+1 Л " = — Л (у".." + уи) — — Л,Л, (у".' — у"..). (17) т 2 " " 4 Строго говоря, указанная подстановка возможна не во всех точках сетки гам Например, при 1=1 уравнение (13) имеет вид о,зт ~ и - 11' 1', и содержит значения уи„".4, пока никак не заданные (подчеркнем, что уравнение (16) определяет у,",Хи лишь при 1= 1, 2, ..., № — 1).
Аналогичная ситуации имеет место и при (=- № — 1, а именно, уравнение (16) при 1= — № — 1 содержит значения у"",К, не определенные формулой (16). Из вывода уравнения (17) видно, что оно будет спРаведливым пРи всех хлен1аи, если доопРеделить гРаничные значения у,",ги, у",'н в соответствии с формулами (16), т.
е. положить Л11 Л ~л» ил1 тЛ ( л+1 и) 2 хР Р 4 " 01 л! ли, л 1=1,2, ...,№ — 1. л+И даг ил1И ум» Эти граничные значения можно использовать при решении уравнений (14) методом прогонки. Итак, в результате исключения промежуточных значений у"„+.Н пришли к разностной схеме (17). Исследуем устойчивость схемы (17) по начальным значениям, предполагая, что Гг(х, 1) =О.
В э|ом 374 Подставляя найденное выражение для д",гн в уравнение (13), получаем уравнение ул"' — О 5 (ул+" + уч) + — Л (д"" — у"..) ~ '(О бт) = =О,"Л (у7' +у"") — — Л Л (у,";" — у";)+Л.у","', случае схему (17) можно переписать в виде ю-1 я 5+1 я 1=1, 2,, Х,— 1, 1=-1„2, ..., М,— 1, п=О, 1, ..., К вЂ” 1, у,",.=О, если х«Е=ул, п=О,!, ..., К, (18) уз =и,(х~', х',и), если хне=аз.
Введем пространство Н,",~ функций, заданных на ()„и равных нулю на Т.. и определим операторы А„А„А согласно (4). Тогда схему (18) можно записать в операторном виде н=О, 1,, К вЂ” 1, у, задан, где у„=у(1„)~Н~'. Схема (19) имеет канонический вид (7), где В = Е+ 0,5тА+ — А,А, = (Е + 0,5тА,) (Е+ 0,5тАз). 4 Покажем, что оператор А,А, положителен. По определению имеем (А,А,У)п — — У-„„„-„н, 1=1,2, ..., Ж,— 1, 1=1,2, ..., М,— 1, так что л' ~ л';~ (ААУ* У) = Х Ья,", «~Уха.— к ИУП.
(20) /-..:1 ю 1 Учитывая, что ул= угп! =О, преобразуем внутреннюю сумму в (20) по формуле (см. (!4) из ф 3 гл. 1) л,-~ и, Х -"-..-„, -" — Х и запишем (20) в виде я, л;г (Ать,У) = —;!', 1,'Я~ "зУУхк пУУ и. «=я Затем, снова применяя формулу (14) из 3 3 гл.
1 и учитывая, что Уь=У,„,=О, получим Л',-ь Л'~ так что окончательно будем иметь Л, М, (А,А у, у) =~~~~ !В~ !т,(у„--, «), 1 †/=1 375 откуда и следует положительность оператора А,А,. При э>ом В = Е + 0,5тА + — ' А,А, ) 0,5тА, и, следовательно, условие устойчивосги (8) выполнено при любых т, й„ й„ т. е. продольно-поперечная схема абсолютно устойчива.
4. Понятие суммарной аппроксимации. В предыдущем пункте мы исследовали устойчивость продольно-поперечной схемы путем исключения промежуточных значений у"+"* н замены исходной схе- 4 мы переменных направлений эквивалентной ей неявной многомерной схемой (19). Не представляет груда доказать, что при достаточной гладкости решения и(х, г) задачи (1) разностная схема (19) имеет погрешность аппроксимации 0(т'-г-й') н сходится в сеточной Ь,-норьге со вторым порядком по т и по й.
Поэтому справедливо утверждение и о том, что решение у",,"' продольно-поперечной схемы (12), (!3) сходится к решению и(х, ?) задачи (1) со вторым порядком, т. е. !~укм — и(?„,)!~ Чг(т'+йг+ ?г>), п=0, 1, ..., К вЂ” 1, где !~у„„, — и (?„,г)(~=,з, (у"," .— и(хи, ?„гг)) lгг?>,) )це. ь и М,— постоянная, не зависящая от т, й„й,. Исключе>гие проме>куточньгх значений упрощает процедуру исследования разностной схемы, однако вносит некоторые неойравданные ограничения. Например, для эквивалентности схемы (!2), (13) схеме (19) существенным является предположение о том, что область 6 — прямоугольник, кроме того, необходимо специальным образом задавать граничные условия для вспомогательной функции у';"" . Оказывается, что схемы переменных направлений можно исследовать непосредственно, не исключая промежуточных значений у",."".
Для этого надо ввести понятие суммарной аппроксимации, которос мы поясним на примере схемы (12), (13). Пусть и(х„х,,?)— точное решение задачи (1). Представим решение разностпой задачи (12), (13) в виде ул их+ зл л 0 1 К у ~!' ~г' где и," =и (хо>„х!г>, 1„), и,"г"н = и(хь1, х'г>, ?„+ 0,5т), Подставляя указанные выражения для у,", уи"и в уравнения (12), (13), получим уравнения, которым удовлетворяет погрешность 3?6 метода л<-'/~ л !! И ль",, в л 0,5т =Л г„'*+Ляг„+ ф,ц, хи=шм (21) ЛЕ1 ЛЬУ, аг, — ги ' лг! л 0,5т =Л,г„' + Л,гц + ф, „, хц л= ш;„ где лтм л л и!! м1! зйм!! = — +Л,и„' ' + Л,исп 0,5т (22) л1 лги ви — и;! лтт тра !! = — + Л,и,!.
' + Л,и и . 0,51 (23) Сеточные функции, определенные согласно (22), (23), называются погрешностями аппроксимации уравнений (12), (!3) соответственно на решении исходной задачи (1). Разлагая функции, входящие в выражения для г[;о згм по формуле Тейлора в точке (х!!1, х!!1, 1„), получим д П (»1! (л) т дп (» ! !л) ьл 0' " [ г и' " 1 О( в ! йт) 4 дм 2 д! 1!! 4' д!а 2 ' д! '' д! где К.,и=д'и/дх'„, се=!, 2, Таким образом, каждое из уравнений (12), (13) аппрокснмирует исходное уравнение (1) с первым порядком по т и вторым — по й, Вместе с тем сумма погрешностей аппроксимации зр"„. 1[1,"и 1 зр,"и имеет второй порядок по т и по й.
Действите,пьно, д'в(»гы !л) дп(»ц, тл) Ф! —, + (~ +Г,) +О( +й), и в силу дифференциального уравнения (1) имеем (й1+ йе) г ди д! так что ф!! =0(тз+йз). Г!оэтому говорят, что схема (!2), (13) обладает сул!»!арно!! аппроксид!ацией второго порядка по т и по й. 377 Можно получить оценку решения задачи для погрешности (21) через норму функцнн ф=ф<4-фл нз которой будет следовать второй порядок то!ности схемы (12), (13) (см.
[32!). Приведем другие примеры схем переменных направлений для уравнения (1), обладающих суммарной аппроксимацией. Локально-одномернвл схема состоит а последовательном решении уравнений рчьи '" =Л„р"."', г ЕЕ' хн Е ы„, (24) иы лги 1Р, = — + Лчи,",У~ = 0,5 + Ези (хи, Е„) + 0 (т+ Ы) = 0 (1) и ф+грз=0(тц йт).
В качестве упражнения читателю предлагается рассмотреть схему =Л """+Л т = лгун ° адн, (25) и+г ч+'~' и доказать, что она обладает сумчарной аппроксимацией. Кроме того, рекомендуется провести исключение промежуточных значений усуи нз схем (24), (25), получить Соатветствующис многомерные ревностные схемы и сформулнроиагь граничные условия, при которых многомерные схемы эквивалентны исходным схемам переменных направлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
