Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 68
Текст из файла (страница 68)
13.10). Рис. 13.10 Линеаризованное уравнение (13.5), как и уравнение (13.2), является приближенным и верно лишь при сколь угодно малых прогибах. С его помощью мы определили Р„и форму изогнутой оси стержня при потере устойчивости. Но при этом константа С1 в выражении для упругой линии осталась неопределенной. Перемещения найдены, как говорят, с точностью до постоянного множителя. .Пля описания закритического поведения стержня при больших прогибах следует использовать полное нелинейное уравнение равновесия.
Поскольку при больших прогибах М = = Е3(р, где р — радиус кривизны изогнутой оси стержня, то из уравнения (13.4) находим ЕЛу" +Ру=0. (1 + у~2)З(г б1б При скле Р, большей кркткческой, перемещения столь ве- ,г лики, что пренебрегать величиной у' в знаменателе нельзя. Наконец, из рассмотренного примера вкдно, что у сжатого стержня существуют высшие формы равновесия (а = 2, 3,...), которым соответствуют и большие значения сил. Эти формы в чистом виде не реализуются. Они неустойчивы. Но если стержень снабдить промежуточными равноотстоящими одна от другой опорами, то соответственно числу пролетов и можно определить и критическую силу.
13.4. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня В пределах малых перемещений для стержня, шарнирно закрепленного по концам, изгиб при потере устойчивости происходит по полуволне синусоиды,и критическая сила „2ЕЮ Рр= г 1 Используя особенности упругой линии, мы можем довольно просто распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко эащемлен, а на другом — свободен (рис.
13.11), то упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно заделки легко привести к упругой лкнки шарнирно закрепленного стержня. Очевидно, критическая сила для защемленного одним концом стержня длиной !будет равна критической силе шарнирно закрепленного стержня, имеющего длину 21.
Таким образом, в рассматриваемом случае ~2Е ~ (2!)г Рис. 13.11 Шарнирно закрепленный стержень, имеющий посредине опору (рис. 13.12), при потере устойчивости изогнется по двум полуволнам. Следовательно, каждая его половина теряет устойчивость как шарнирно опертый стержень, имеющий длину !/2. Поэтому п~Е! Р„ (Юд)г я2Е) ~кр — ( «2 (13.11) где р — так называемый коэффициент приведения длины, р = 1/и;и — число полуволн. Коэффициент ~ы — это число, показывающее, во сколько раз следует увеличить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной ! в рассматриваемых условиях закрепления.
Лля стержня, защемленного на одном конце и свободного на другом, р = 2; для стержня, приведенного на рис. 13.12, р = 1/2. На рис. 13.13 показано несколько видов закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента приведения длины р. Во всех случаях значение р определяют путем простого сопоставления упругой линии изогнутого стержня с длиной полуволны синусоиды при шарнирном закреплении. Обобщая полученные формулы, можно написать общее выражение критической силы для сжатого стержня в виде Рис. 13.13 Рассмотрим несколько примеров на определение критической силы.
Рис. 13.14 Соответственно для первого и второго участков получаем уравнения Е3у1 + Ру1 —— О; 4Е.)у~'+ Руг = О. 2 Обозначаем — = Й . Тогда 4Е.7 и г уз+а уз=О, у1'+ 4й у1 — — О; откуда у1 — — С1 в1п 2йг + Сг сов 2йг, уг = Сз аи~ яг + С~ сов йг. Из условия, что при г = О прогиб у1 = О, получаем Сг = О. 518 П р и м е р 13.1. Определить критическую силу для стержня с двумя участками (рис. 13.14), если жесткость одного участка в четыре раза больше жесткости другого.
Далее, имеем еще трм условия: при я = (/2 перемещения уз = уг и у~ = уг, при я = 1 прогиб уг = О. Соответственно записываем трм уравнения: И И Сз 81п й( — Сз взп + С4 сов 2 2' И . И 2Сз сов И = Сз сов — — С~ взп —; 2 2' Сз в1п И+ С4 сов И = О. Приравниваем нулю определитель этой системы й( й( в(п И 2совИ г (~( и получаем два уравнения: в(п — = О и ~й~ — = 2.
Наименьший отлич- 2 2 й( ный от нуля корень находим из условия ٠— = ~Г2, И/2 = О, 955. Тогда 14, 6Е1 йр (г П р и м е р 13.2. Определить критическую силу для шарнирно закрепленного стержня, нагруженного продольной силой посередине (рис. 13.15). ! 11 Рис. 13.15 Здесь для первого и второго участков имеем 519 — вьп— 2 й( — сов— 2 в1п И вЂ” сов— 2 И в(ив 2 сов И илм откуда ~в~ з у~ — — — — — + С~я+ Сз,' 1 б уд —— Сд вгп йг + Св сое йх + ~ 1 —— Прн х = О прогиб у~ — О. Следовательно, Сд = О. Прм я = 1/2 перемещения у~ = У уз = У и у~ = уз, а при х = 1 прогиб уз = О.
Таким образом, получаем следующие четыре уравнения: ~з~ 1з — — — +с,-=у; 48 2 И И 1 Сд в1п — + Св сое — + — ~ = ~; 2 2 2 ~~У1 И . И У вЂ” — + С~ = Сзйсов — — С~йв1п — — —; 8 2 2 Сд в1п И + Сф сов И = О. Приравниваем нулю определитель этой системы, рассматривая С~, Сд, С~ и ~ как неизвестные: 1 О 2 Тогда И ЗИ/2 2 (И/2)д — 9' Наименьший корень этого уравнения И/2 = 2, 16.
Тогда 18, 7Е1 ° Р %Ф П р и м е р 13.3. Определмть критическую силу для защемленного стрежня, к свободному концу которого передается через жестким шатун длииой а сила Р (рис. 13.18). 620 И О в1п— 2 И 1 — Й сов— 2 О в1пИ И сов— г И Й в~п— 2 сов И 48 1 2 1 3Ь1 1 8 О Рке. 13.16 Отбрасываем жесткый шатун ы прикладываем к упругому стержню продольную силу Р' — Р и поперечную силу Р~(а. Тогда Е1у" = Р (Х вЂ” у) + Р— (! — я), а или й + я2 ~~2 У а а откуда 1 г у = С1 я1п 1сг + Сз сов 1сг + ~ 1 + — —— а а у=Оку'=О,анри Далее, имеем граничные условия: при к = О г=! У=,1. Таким образом, получаем тры уравнения: ! 1 Сз+У 1+ — =О; С1Й вЂ” 1- =О; с1з1пИ+СзсоаИ=О.
а а из которого находим критическую силу в зависимости от отношения а/!. Последний пример заслуживает дополнительного обсуждения. Упругий стержень нагружен сжимающей силой, но она передается через жесткий шатун и при отклонении стержня меняет направление линии своего действия. Поэтому критическая сила зависит от длины шатуна. Выясняется, что устойчивость определяется не только условиями закрепления стержня, и самой силой, но и ее поведением при малых возмущениях.
621 Приравнивая нулю определитель этой системы, приходим к следующему трансцендентному уравнению: Если никаких оговорок о поведении силы не делают, то считают, что при отклонении стержня сила Р (рис. 13.17, а) сохраняет направление вертикали.
Но, вообше говоря, об устойчивости стержня, показанного на рис. 13.17, а, ничего сказать нельзя, пока не задан характер поведения приложенных сил. А возможностей здесь много. В частности, на рис. 13.17, б — г показаны примеры одинаково, казалось бы, нагруженных стержней, имеющих, однако, различные значения критических сил. Рис. 13.17 При решении примеров 13.1 — 13.3 использовали уравнения второго порядка. Это традиционный алгоритм решения задач устойчивости прямолинейных стержней. Однако этот алгоритм не всегда эффективен при решении задач с более сложными граничными условиями, чем шарнирное закрепление (см.
например, последний случай, показанный на рис. 13.13). Для этого случая из рассмотрения формы осевой линии стержня после потери устойчивости был определен коэффициент 1 приведения длины р = = О, 666... - О, 7. Значение р -- О, 7 1,5 получено не из решения уравнений равновесия стержня, а из геометрических особенностей предполагаемой формы осевой линии после потери устойчивости, поэтому его следует рассматривать как приближенное. Рассмотрим общий метод определения критических нагрузок для прямолинейного стержня. В ~ ВЗ были получены векторные уравнения равновесия стержня (В5) и (В6). При малых отклонениях прямолинейного стержня, полагая ИЯ = И» и 522 р = О, имеем К~ +Ч=о; (13.12) дг — + (е Х С3) = О.
НМ (13.13) Ы~ Ограничемся случаем, когда после потери устойчивости осевая линия стержня есть плоская кривая1. Это имеет место только тогда, когда при потере устойчивости не возникают крутящие моменты. В рассматриваемом частном случае входящие в уравнения равновесия векторы в декартовых осях равны Ч = Яг11 + Яу12~ Ч вЂ” Ь11 + Чу12 М = Мх13' е = (е111) 11 + ~е112) 12 = сов 0 11 + в1п В12 и 1 ° 11 + В 12 ~Яг — +~, =О; ~Ь НЯр ~Ь ЫМ вЂ” — Я вЂ” Я,О=О.
Иг (13. 14) 1 Более общие уравнения равновесия стержня, нагруженного осевыми силами н крутящими моментами, когда после потери устойчивости осевая линия стержня становится пространственной кривой, приведены в учеб- нике В.А. Светлицкого "Механика стержней" (М., Высш. шк.
1987). При потере устойчивости возможно появление распределенных сил о„, зависящих от прогибов стержня. Например, после потери устойчивости сжатого стержня, связанного с упругим основанием (см. рис. 4.47), при двухсторонней связи стержня с упругим основанием возникнут распределенные силы д = — юу (см. ~ 4.7). Из уравнений равновесия в проекциях на декартовые оси получаем К полученным выражениям следует добавить еще два уравнения (см. ~ 4.6) дд М Ыл ЕЛ~ — — д= О, Ну Ы2 где Е3, — наименьшая изгибная жесткость, которая в общем случае зависит от л. Из первого уравнения системы (13.14) находим осевую си- лу к — ~,~~+ С, о где С вЂ” произвольная постоянная, определяемая из конкретных условий нагружения.
Например, если стержень сжимается только силой Р (д~ = 0) (см. рис. 13.1), то ('„), = С = — Р. Если учитывать собственный вес стержня (О» = — О) и силу Р, то осевая сила Я, = д~+С. При л =! д~ = — Р, поэтому Яг = — Р— Ч (! — я) ~Ц вЂ” — д =0; сЬ ИМ вЂ” — Я+ У(~)0= 0; Ил сИ М =0; Н~ Е1~ — — в о, Иу Д 7 (13.15) где Л(з) = Р+ д(1 — л). 524 В результате систему уравнений, из которых можно определить критическое значение сосредоточенной силы Р и распределенной силы д для общего случая, когда при потере устойчивости появляются силы О,,: Яля стержня, лежащего на упругом основании с линейной характеристикой ду — — — жу. Систему уравнений можно привести к одному уравнению относительно перемещения у, последовательно исключая Я, М и д: (ЕЛ у")" + (М(г) у')'+ жу = О.
(13.16) Полученное уравнение позволяет определять критические нагрузки (сосредоточенные и распределенные) для наиболее общего случая, когда изгибная жесткость стержня переменна по его длине. При изгибе прямолинейного стержня в плоскости (см. систему уравнений (13.15)) при малых отклонениях точек осевой линии стержня всегда имеются четыре граничных условия (по два на каждом конце стержня). Поэтому решение уравнения равновесия стержня должно содержать четыре произвольные постоянные. Рассмотрим частный случай уравнения (13.16), когда жесткость стержня постоянна и он нагружен сосредоточенной сжимающей силой Р (упругого основания нет, т.е. м = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
