Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 67

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 67)

При расчете на устойчивость рабочую нагрузку назначают как а-ю долю критической. При этом под а понимают коэффициент эапаса устпойчивостпи, значение которого, как и при расчетах на прочность, назначают в зависимости от конкретных обстоятельств, связанных со спецификой технологии, с условиями эксплуатации, а также со степенью ответственности конструкции. Естественно, что расчет на устойчивость по коэффициенту запаса не исключает, а даже предполагает необходимость одновременной проверки конструкции по условиям прочности. 13.2. Определение критических нагрузок Чтобы более наглядно показать особенности подхода, который обычно используют при анализе устойчивости упругих систем, рассмотрим для начала простейшую механическую модель.

50В На конце жесткого стержня (перевернутого маятника, показанного на рис. 13.5) укреплен груз Р. Внизу стержень имеет шарнир и удерживается в вертикальном положении упругой Р пружиной, имеющей линейную характеристику. Это значит, что при повороте стержня на угол ~р Р в шарнире возникает момент, рав- ~з ный с~р, где с — жесткость пружины. Эта модель, обладая предель- И=су ной простотой, сохраняет в себе к все основные свойства характер! 0 6 ные для более сложных задач, которые будут рассмотрены в даль- Рис.

13.5 нейшем, Можно предположить, что при достаточно большой силе Р или достаточно большой высоте расположения груза положение равновесия обращенного маятника станет неустойчивым; при малом отклонении стержня от вертикали пружина не сможет восстановить исходное состояние равновесия. В основе анализа устойчивости упругих систем лежит определение условий существования соседних форм равновесия. Сообщим системе возмущение, т.е. примем, что маятник отклонился от вертикали на некоторый угол <р (рис.

13.5,6). По какой причине это произошло, не имеет никакого значения. Приравняв момент силы Р шарнирному моменту, полу- чим Р!яви = су. Построим график зависимости РЧ(с = Ду) (рис. 13.6). Прежде всего мы видим, что при у = О уравнение (13.1) справедливо при любых значениях силы Р. Значит, ось ординат принадлежит исследуемому графику. Остальные ветви кривой определяются выражением Р! ~р с в1пу 509 которое будет верным, пока пружина сохраняет линейность характеристики. При значениях у, кратных я, график терпит разрыв, и происходит смена знака Р через бесконечность. Оно и понятно.

Когда угол поворота маятника приближается к т плечо силы уменьшается до нуля, а сама сила должна неограниченно возрастать ~рис. 13.7). Если маятник протолкнуть через мертвую точку, то для того чтобы удержать его в новом положении равновесия, следует приложить силу обратного знака. Рис. 13.В Рис. 13.7 Теперь обратимся к вопросу, какие точки на построечных кривых отражают устойчивые и какие — неустойчивые положения равновесия. Основным критерием устойчивости, как известно иэ механики твердого тела, является условие минимума полной потенциальной энергии системы.

Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на 510 вершине выпуклости или на седловине (рис. 13.8), его положение равновесия будет неустойчивым. Этот критерий применим, естественно, и к упругим системам, — конечно, с учетом потенциальной энергии деформации. Рис.

13.8 В нашем случае полная потенциальная энергия системы Э состоит иэ двух слагаемых: иэ потенциальной энергии груза Р1(1 — соя <р) (см. рис. 13.5) и потенциальной энергии деформации пружины — су, Таким образом, 2 (13.2) с — Руссову ) О. Сначала рассмотрим вертикальное положение маятника ~ р = 0). Условие устойчивости выполняется при Р ( с/!. При 1 Э = — с~р~ — Р6,1 — соя у). 2 Дифференцируя это выражение по у, получим ЫЭ вЂ” = юу — Р!81п у. И<р Если приравнять производную нулю, то мы придем к уравнению равновесия (13.1), на основе которого построены кривые, показанные на рис. 13.6. Значит, положение равновесия определяется экстремумом потенпиальной энергии.

Остается только решить, какие точки на построенных кривых соответствуют максимуму, а какие — минимуму потенциальной энергии. После второго дифференцирования получаем условие минимума (условие устойчивости) в виде следующего неравенства: силе, большей с/1, вертикальное положение маятника оказывается неустойчивым. Таким образом, все точки оси ординат, расположенные ниже точки бифуркации А, отражают устойчивое положенке равновесия, а выше — неустойчивое.

При у ф О условие устойчивости (13.2) удобно преобразовать с учетом уравнения равновесия (13.1). Исключив силу Р, получим Б1п ф ) соя~а. Ю Легко установить, что на участке от — ю до +т это условие выполняется. Следовательно, ветвь кривой ВАС, расположенная внутри этого интервала, отражает устойчивые положения равновесия, и по достижении силой криткческого значения происходит переход из неустойчивого вертикального положенкя к новому, устойчивому положению с отклоненной от вертикали осью.

другие ветви, показанные на рис. 13.6, в свою очередь также имеют участки как устойчивого, так и неустойчивого положения равновесия. Вернемся к уравнению (13.1). Если угол ~р считать малым, то а1п у - -~р, и тогда мы приходим к линеаризованному уравнению (Р1 — с) ~р = О.

(13.3) Очевидно, это уравнение всегда имеет тривиальное решение ~р = О, означающее, что при вертикальном положении маятника условие равновесия выполняется при любом значении Р. Имеется и второе решение: если ~р ф О, то Р = с/1. Следовательно, линеаризованное уравнение (13.3) дает ту же самую точку бифуркации А, которую мы нашли из нелинейного уравненкя (13.1). Но важно подчеркнуть, что линеаризованное уравнение не содержит никакой информации о конечных перемещениях системы при Р ) Р~р.

Если задачу решать в малых перемещениях, а это, как мы увидим в дальнейшем, существенно упрощает дело, то мы можем определить критическую силу, но не сами величины перемещения. Для исследования закритического поведения системы необходимо применять нелинейные соотношения. 13.3. Задача Эйлера Теперь мы можем перейти непосредственно к некоторым задачам об устойчивости упругих систем. Начнем с простейшей задачи о равновесии прямолинейного стержня, сжатого силой Р, линия действия которой совпадает с осевой линией стержня (рис.

13.9, а). Впервые эта задача была поставлена и решена великим математиком Л. Эйлером в середине ХУШ века. Поэтому часто, когда говорят об устойчивости сжатого стержня, употребляют выражения: "задача Эйлера" или "устойчивость стержня по Эйлеру". Рис. 13.9 (13.4) М+Ру = О, или Е1у" + Ру = О. (13.5) Изгиб стержня при потери устойчивости происходит в плоскости минимальной жесткости, и поэтому под 1 здесь следует понимать минимальный момент инерции сечения. Обозначим Е3 (13.6) 17 В. И. Феодосъсв Положим, что по какой-то причине сжатый стержень несколько изогнулся.

Рассмотрим условия, при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью. На рис. 13.9, б показана часть стержня и действующие на нее силы. Отсеченная часть стержня находится в равновесии, поэтому сумма моментов относительно точки О равна нулю: Тогда уравнение (13.5) примет вид у+~у О, (13.7) откуда (13.8) у = С1 яп йя + Сг сов йл. Постоянные С1 и Сг находим из граничных условий (л = О и я = 1).

В рассматриваемом случае имеем при л = О у = О; прил=1 у=О. В результате получаем систему однородных алгебраических уравнений С1 О+С~ 1=О; С1 в1пИ+ Сг совИ. Как известно из линейной алгебры, чтобы система однородных линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходи- мо, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е. Ю = с1е1 О 1 а~п И сов И Раскрывая определитель, находим ыпИ = О. (13.9) 514 В данном простом примере уравнение (13.9) можно получить и без выписывания определителя. Из условия при ю = О у = О следует, что С~ = О; а из условия при я = 1 у = О получаем С~ нпИ = О.

Произвольная постоянная С1 ф О. При С1 = Сг = О получаем тривиальное у = О, которое нас не интересует, так как при новой форме равновесия стержня его осевая линия не прямолинейна. Поэтому в~п И = О. Но в более сложных задачах, требующих использования вычислительной техники, для определения критических сил определитель необходим.

Из уравнения (13.9) следует, что И = хи, где и — произвольное целое число. Учитывая выражение (13.б), получаем Р = т~п~.Е.У/Р. Это означает, что для того чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила Р принимала определенное значение. Наименьшая сила Р, отличная от нуля, будет при и = 1: ~2ЕЗ Р "Р ~2 (13.10) Эта сила носит название эйлероаой или критической силы. При и = 1 имеем И = я, и уравнение упругой линии (13.8) принимает вид 7Г2 у = С1 51п —. Стержень изгибается по полуволне синусоиды с максимальным прогибом С1. При любом целочисленном значении и сия у = С181п ! и упругая линия стержня изображается кривой в виде и полу- волн (рис.

Характеристики

Список файлов книги