Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В этом случае дЭ дЭ бЭ = — бД + — Й32 = О. дА Юг В результате имеем б41А1+ б42А2 = О Следует подчеркнуть, что выражение (13.40) получено для стержня с переменным сечением. Приближенное значение кри- тической силы (13.40) можно уточнить, взяв двучленное при- ближение для прогиба у: В этом случае ЮЭ = ~ — бД~ — — О. †. дЭ д~3. )=1 (13.44) Е3у" Н~ о Рк Нл ~г 1/г Примем, что у = ~31в1п —. Тогда после интегрирования нахо2~г2Е 18, 7Е3 дим Р„р — — 2 . Точное решение равно Ркр —— ~г 12 Рассмотренные примеры убеждают нас в том, что приближенным методом можно без особого труда получить достаточно точное значение критической силы.
Рассмотрим в заключение еше один пример. П р и м е р 13.6. Определить критическую силу для защемленного стержня, находящегося под действием собственного веса д (рис. 13.21). Задаемся уравнением упругой линии изогнутого стержня в виде кг а=С 1 — сов— 21 Легко убедиться в том, что это выражение удовлетворяет граничным условиям. 535 Из соотношения (13.44) получаем а однородных алгебраических уравнений относительно,д., аналогичных системе (13.42), а из условия равенства нулю определителя находим Р (~ = = 1, 2,..., и). Наименьший корень Р1 есть критическая сила, т.е.
Р„= Р1. Определим энергетическим методом критическую силу для случая, рассмотренного в примере 13.2. Поскольку сила приложена посередине длины стержня (см. рис. 13.15), интегрирование в знаменателе формулы (13.4О) следует вести от 1/2 до 1, т.е. Определяем энергию иэгиба: г1 4 ~21 а Для того чтобы найти работу снл е при переходе от прямолинейной формы х хриволинейной, подсчитаем, согласно выражению (13.3б), А, (ри . 13.г1): А~ — — — у' йя = -С вЂ” я — — а1п— а Рис. 13.21 Работа сил д будет следующей: Приравнивая эту работу энергии нэгнба, находим Е3 х' 8, 29Е3 — УС.~ 212 х2 4 13 точное решение дает 7, 83Е,У Ьг= э 1 13.7.
Продольно-поперечный изгиб Рассмотрим нагружение прямого шарнирно закрепленного стержня (рис. 13.22) продольной силой и системой попереч- Характерной особенностью энергетического метода является то, что ошибка в определении критических нагрузок всегда имеет один знак. Приближенное значение критической силы оказывается завышенным по сравнению с точным. Объясняется это тем, что, задаваясь приближенно формой упругой линии, мы как бы накладываем на систему лишние связи, заставляем ее деформироваться несвойственным ей образом и тем самым увеличиваем в среднем ее жесткость. Рис.
13.22 Е3у" = — Ру+ М„. (13,45) Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид у +йгу М Е1' (13.4б) откуда у = С1 ипил+ Сг совйя+ у, где у* — частное решение уравнения (13.46), зависящее от функции М„, т. е. от вида поперечной нагрузки. Например, для двухопорного равномерно загруженного стержня (см. рис. 13.22) имеем ф Я2 г Е3у = — л — — — Ру.
2 2 Тогда и, следовательно, 2 г у = С1апйл+ С2 сояйл+ 2ЕЗВ Йг — + 13 — 2 537 ных сил. Такой вид нагружения принято называть продольно- поперечным изгибом. При составлении дифференциального уравнения упругой линии изгибающий момент можно рассматривать как сумму момента поперечных сил М„и момента продольной силы Ру. При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент М„ зависит в явном виде только от я и не зависит ни от у, ни от продольной силы Р: Постоянные С1 и С2 подбирают с таким расчетом, чтобы прогиб у при ~ = О и л =! обращался в нуль.
В итоге Я в1п Йл ~2 у= — (1 — совЫ) . + 1 — совйя+ — (Ь вЂ” л ) . Е31с4 в1п И 2 Изгибающий момент в1п Йл (1 — сов И) —, + сов Йя — 1 в1п И Наибольший изгибающий момент имеет место при л = 1/2: д 1 — сов(И/2) М Р со (И/2) (13.47) При отсутствии продольной силы оно принимает вид Е3уп = М„, где индекс "и" соответствует нагружению стержня только по- перечными силами. Исключая М„, получаем При малых значениях сжимающей силы Р (при малом Й) это выражение после раскрытия неопределенности, как и следовало ожидать, принимает вид М, „= дР/8, т.е. максимальный момент совпадает с тем, который дает поперечная распределенная сила д.
По мере роста силы Р максимальный изгибающий момент резко возрастает. При более сложных видах поперечной нагрузки, например при нескольких поперечных силах, определение изгибающих моментов описанным выше способом становится затруднительным, поскольку изгибающий момент на различных участках описывается различными функциями. В таких случаях удобнее применять приближенные, менее точные, но более простые приемы расчета. Один из таких весьма распространенных способов мы сейчас и рассмотрим.
Обратимся к выражению (13.45) ЕЛу" = ̄— Ру. Е3уд = ЕЯуд — Ру (13.48) Теперь примем, что форма упругой линии как при наличии продольных сил, так и без них близка к синусоиде: у = Уи~ —; у = Ь ~1~ —. П И Подставляем у и у„в уравнение (13.48). Тогда г „г — — г+П р "р откуда 1п 1 — Р(Р, (13.49) В случае других способов закрепления стержня часто пользуются той же формулой (13.39), но подставляют другое значение критической силы. Предполагая изгибающие моменты пропорциональными прогибам, можно написать М М 1 Р(Р„р (13.50) 639 Проверим полученную формулу на примере рассмотренного выше стержня с равномерно распределенной нагрузкой д.
Пусть Р = Р„р/2. Тогда, согласно формуле (13.50), М = = 2М„. Но поперечная нагрузка дает изгибающий момент М„= дР/8. Таким образом, в этом случае имеем Мп1 „= 0 254г. Теперь посмотрим, что дает точная формула (13.47). Выражение для Й, входящего в эту формулу, принимает при заданном значении Р следующий вид: "=й=®=й Тогда, согласно выражению (13.47), 2!г 1 соя l савв 2~/2 Сопоставляя полученные значения Мп,~, видим, что они практически совпадают. Хуже обстоит дело при явно несимметричных видах распределения поперечных сил. Но в подобных случаях основное внимание следует уделять не уточнению расчетных формул, а поиску средств, с помощью которых можно было бы вообще избавиться от подобных видов нагружения. Глава 14 МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕФОРМИРОВАННОГО И НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЙ 14.1.
Испытание материалов и конструкций Говоря об экспериментальных методах замера деформаций и напряжений, необходимо делать различие между механическими испытаниями материалов и испытаниями конструкций. Испытания материалов проводят с целью определения механических характеристик, таких, как предел текучести, временное сопротивление, модуль упругости и т.д. Кроме того, их можно проводить в исследовательских целях, например для изучения условий прочности в сложных напряженных состояниях или выявления механических свойств материала. Для испытания материалов используют образцы, размеры и форму которых варьируют в зависимости от имеющейся измерительной аппаратуры и самих условий испытания.
Лля получения объективных характеристик материала необходимо соблюдать условие однородностпи напряженного 541 состпояния, т.е. необходимо обеспечить постоянство напряженного состояния для всех точек испытуемого образца. Это условие соблюдается, например, при растяжении, частично при сжатии короткого образца и при кручении тонкостенной трубки. Изменение свойств материала в этих испытаниях происходит одновременно во всем объеме образца и легко поддается количественной оценке. При кручении сплошных образцов, а также и при изгибе напряженное состояние является неоднородным. Качественные изменения свойств материала в отдельных точках не влекут за собой заметных изменений в характеристиках образца. Требование однородности напряженного состояния накладывает серьезные ограничения на результаты многих видов испытаний.
В частности, до сих пор не удается провести объективные испытания в условиях однородного всестороннего растяжения. Это напряженное состояние можно создать пока только в отдельных точках образца, например в центре сплошного шара, быстро нагреваемого извне. Одним из видов механических испытаний являются технологические пробы, дающие не объективные, а только сравнительные характеристики свойств материала при строго регламентированных условиях испытания. Сюда относятся испытания на твердость, на ударную вязкость и некоторые другие.
В некоторой мере к технологическим пробам могут быть отнесены также испытания на усталостную прочность. Когда говорят об испытании конструкции, то имеется в виду испытание на прочность целой машины, ее отдельных узлов или их моделей. Такое испытание имеет целью, с одной стороны, проверку точности проведенных расчетов, а с другой — проверку правильности выбранных технологических процессов изготовления узлов и ведения сборки, поскольку при недостаточно правильных технологических приемах возможно местное ослабление конструкции.
Наиболее широко развито испытание конструкции в таких отраслях техники, как самолетостроение и ракетостроение, где в силу необходимой экономии веса вопросы прочности являются наиболее ответственными. При создании новой машины отдельные ее узлы, уже выполненные в металле, подвергают статическим испытаниям 542 до полного разрушения с целью определения так называемой разрушающей нагрузки. Эту нагрузку сопоставляют затем с расчетной. Характер приложения сил при статических испытаниях устанавливают таким, чтобы имитировались рабочие нагрузки для определенного, выбранного заранее расчетного случая, например: для шасси самолета — случай посадки, для крыльев — выход иэ пике и т.д.
Кроме статических испытаний часто возникает необходимость проведения и динамических испытаний. Например, весьма распространены испытания приборов, работающих в условиях вибраций. Эти испытания проводят на специальных вибрационных столах при различных значениях частот и амплитуд. При таких испытаниях деформации н напряжения в вибрирующих деталях прибора обычно не замеряют. О прочности отдельных узлов судят только в случае их разрушения. В ряде случаев динамические испытания ведут с осциллографированием (записью) быстро изменяющихся деформаций, возникающих в наиболее опасных узлах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
