Феодосьев В.И. Сопротивление материалов (1075903), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Из (13.16) получаем у1ч + ~сгуп О (~2 Р(Е~) (13 1 Интегрируя два раза это уравнение, находим у" + lсгу = С1 л + Сг. (13.18) Общее решение уравнения (13.17) имеет вид С1 Сг у = Сз совlсл+ С4в1пйл+ — л+ —. 1сг 1сг Чтобы получить уравнение для определения критической силы, входящей в коэффициент Й, это решение должно удовлетворять четырем однородным граничным условиям. Рассмотрим несколько примеров на определение критической силы с использованием решения (13.19) уравнения (13.17). (13.19) П р и м е р 13А.
Определить критическую силу для шестого случая закрепления концов стержня, показанного на рис. 13.13. Граничные условия имеют следующий вид: при я = О у = у' = О; при я = 1 у = у" = О (е1у'" = ч). Из граничных условий при г = О и г =! имеем ЙгСз + Сг = 0; Йзс4 + С1 О (13.20) — Сз Й в( и И + С4 Й сов И + — = О; С3 Йг Сз Й в1п И вЂ” Ся Й сов Й( = О. Получаем систему однородных алгебраических уравнений относительно С( (( = 1,...,4). Лля существования нетривиального решения этой си- стемы необходимо, чтобы ее определитель Р был равен нулю, т,е. (г О 0 1 0 Йз 1 0 — Йв1п И Й сов Й( 1/Й 0 Йз 61пи -Йз совИ О 0 (13.21) Раскрыв определитель, получаем в(пИ = О. (13.22) Наименьший отличный от нуля корень этого уравнения Так как (Й() = Р(~((,Е3), то критическое значение силы гЕ ( ир (г 3 что соответствует значению коэффициента д = 1, т.е. приближенное зна- чение д и точное в данном примере совпали, ЙгСз+Сг = 0; ЙзС4 + С1 0 (13.23) Сз соя И + С4 я1п И + — (+ — = 0; С1 Сг Йг Йг СзЙ сов И+ С4Й в1п И = О.
П р и м е р 13.5. Определить критическую силу для последнего случая закрепления стержня, показанного на рис. 13.13. Граничные условия имеютвид: при я=О у=у =0; при г=( у=ун=О. Иэ граничных условий прн я = 0 и я = ( получаем Приравняв определитель системы уравнений (13.23) нулю: ~г О О 1 О Й~ 1 О соя Ц я1п Н «~Р 1(И А~совы Й~в1иН О О (13.24) =О, после преобразований получаем уравнение для вычисления критической силы: сяИ=И. (13.25) где О О О ю — 1 О Ж О О О О 1 О О 1 О Воспользовавшись методом начальных параметров (см.
~ 4.6), получаем фундаментальную матрицу решений (задавшись числовым значением Р1 при известном д) и находим ре- шение 2 = К(л,Р1) С (К(О) = Е). (13.27) Например, для третьего случая закрепления, показанного на рис. 13.13, компоненты вектора 2 должны удовлетворять следующим граничным условиям: при я = О М = О, у = О; при 527 Численное решение полученного уравнения дает наименьший корень (И);„= 4,49. Так как к~ = Р(Е3, то после преобразований находим уточненное значение коэффициента д = О, 699, что незначительно отличается от приближенного значения, равного 0,666. Если стержень имеет переменную изгибную жесткость или нагружен распределенной осевой нагрузкой, то получить аналитическое решение для системы (13.16) нельзя.
В этом случае для определения критической силы используют численные методы. Представим систему уравнений (13.15) при дя — — — жу в виде векторного уравнения, введя вектор состояния системы Е: ЫХ вЂ” +АЕ =О, (13.26) сЬ л = 1 Я = О, д = О. Поэтому С2 = С4 = О, а для определения С1 и Сз получаем два однородных алгебраических уравнения ~11(~1 Р1) С1 + ~13(1~ Р1) СЗ = О» ~31(~~ Р1) С1 + ~33(1~ Р1 ) СЗ = О (13.28) Для существования нетривиального решения необходимо Ю=йе1 11 13 (13.29) ~31 ~СЗЗ Конечно, при первом приближении Р1 определитель в нуль не обращается, поэтому решения проводят для ряда Р . Наименьшее значение Р„, при котором Р = О, является критическим значением сжимающей силы Р.
В настоящее время при широком распростронении вычислительной техники и внедрении ее в учебный процесс изложенный вариант численного определения критической силы является наиболее эффективным. 13.5. Устойчивость плоской формы изгиба прямолинейного стержня 528 Хорошо известно, что в некоторых случаях плоская форма изгиба стержня становится неустойчивой и при потере устойчивости происходит изгиб в плоскости уОл и одновременно возникает кручение. Это наблюдается у стержней, имеющих большую жесткость в плоскости действйя внешних сил и малую жесткость — в плоскости уОл. Рассмотрим стержень (рис. 13.18), нагруженный на концах моментами, действующими в вертикальной плоскости.
Условия закрепления на концах будем считать допускающими свободный поворот сечения при изгибе как в одной, так и в другой плоскости и в то же время запрещающими поворот при кручении. Жесткость в плоскости заданных внешних моментов предполагаем достаточно большой. Это позволяет считать, что до потери устойчивости стержень сохраняет в основном прямолинейную форму. Представим себе, что стержень изогнулся в плоскости, перпендикулярной плоскости моментов ЯИ, и одновременно закрутился. На рис. 13.18 форма изогнутого стержня показана так, что перемещение у и его первая и вторая производные положительны. Это исключает ошибку в знаках при составлении уравнений.
Рис. 13.18 В произвольном сечении, расположенном на расстоянии л от левого конца, изгибной момент относительно оси х1 (см. рис. 13.18) равен где ~р — угол поворота рассматриваемого сечения относительно продольной оси. Знак минус поставлен в связи с тем, что изгибной момент направлен в сторону уменьшения кривизны. Крутящий момент в том же сечении равен Мк = й1~, где 9Л — составляющая момента Ж относительно оси л1 (см. рис.
13.18); О = у' — угол поворота сечения относительно вертикальной оси. Пользуясь известными соотношениями Е30 = М) Саку = Мк) получаем следующие дифференциальные уравнения: ЕЛО = — 9Лср; СЛ~~~Р = 9Л0. (13.30) Здесь под Е3 понимается жесткость стержня на изгиб в направлении, перпендикулярном плоскости действия внешних б29 !8 В. И. Феодосьев моментов 9Н.
Величина СУя представляет собой жесткость на кручение. Исключив иэ уравнений (13.30) д, получим ~" +игр= О, где у~г 63„Е3 ' (13.31) отсюда у = С~ яп/ся + Сг сов йя. (13.32) Функция <р должна обращаться в нуль при я = О и я = !. Значит, Сг = О и С1 ып И = О. Как и для шарнирно защемленного стержня, Сг = О, ыпй! = О. Наименьшее, отличное от нуля значение критического момента определяется из условия И = т. Согласно выражению (13.31), находим 0й = —,/СВ,ЕВ.
кр— Выражение (13.32) принимает вид (рис. 13.19, а): ~гя ~р = С1 яп —. ! Рис. 13.19 Воспользовавшись методом приведения длины, как это делали для сжатых стержней, можно установить, что в случае защемленных концов (рис. 13.19, 6) 530 Задачи об устойчивости плоской формы изгиба при нагружении стержня поперечными силами оказываются существенно более сложными, чем рассмотренная выше, поскольку изгибающий момент в плоскости нагружения меняется вдоль оси. 13.6. Энергетический метод определения критических нагрузок Рассмотрим полную потенциальную энергию консервативной системы Э = У + П = У вЂ” А, (13.33) где У вЂ” потенциальная энергия упругой диформации стержня; П вЂ” потенциал внешних сил; А — работа внешних сил (П=-А).
Потенциальная энергия стержня при изгибе в плоскости уОл (частный случай выражения (5.3)) равна У = — = — ЕЗу" Ыл (1 = 1 „„). (13.34) Работа силы Р = Р' при потере устойчивости (стержень считается нерастяжимым) равна (рис. 13.20) А = ЛР'. (13,35) При малых отклонениях точек осевой ли- нии стержня от оси л вертикальное пере- мещение точки приложения силы Р' равно (см. рис. 13.20) 1 1 в2 Л = ЫЛ = (Ыл — сйсовд) = — Ыл, 2 о о Рис. 13.20 Ыу или, так как д = —, ~Ь' (13.36) В результате получаем 1 д2 Р 12 Э = — Е)у Их — — у Ых. 2 2 (13.37) В соответствии с принципом Лагранжа, состояние равновесия консервативной системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия в этом состоянии минимальна.
Сформулированный принцип часто называют тпеоремой Лаеракжа-Яирихле. Необходимое условие минимальности полной энергии заключается в том, что ее первая вариация равна нулю, т.е. (13.38) бЭ=О. где Д вЂ” произвольный постоянный множитель; о1(х) — функ- ция, удовлетворяющая граничным условиям задачи. Подста- вив у в выражение (13.37), получим Первая вариация Э~ равна Е1и1 Ых — Р дг 532 Первая вариация это аналог первой производной при исследовании функции на экстремум. Об устойчивости состояния равновесия, где выполняется условие (13.38), можно судить по знаку второй вариации б2Э. Если РЭ > О, то данное состояние равновесия устойчиво, если б2Э ( О, то состояние равновесия неустойчиво; и, наконец, при б2Э = О имеет место безразличное состояние равновесия. Рассмотрим вначале простейший случай, когда приближенное выражение для прогиба у имеет вид Приняв бЭ! = О, получаем БД Е3и11' Ил — Р о1~ Ил = О.
(13.39) Так как вариация параметра Д:ф О, то из уравнения (13.39) следует 1 Е3п1 Ня — Р о~ дл = О, или Е3и11' Ыл о Р„ ! (13.40) ~2 и1 Нл Например, для шарнирно закрепленного стержня (см. ИГЛ рис. 13.9, а), полагая у = Д 81п —, иэ уравнения (13.39) по! ' лучаем уже известное выражение для критической силы: ~2Я 7 Р ~Р— 2 ! У = А~1+Рг~г где функция о2, так же как и функция и1, должна удовлетворять граничным условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
