Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Значения напряжений а, па, в произвольной точке диска В атом случае можно определить, сложив напряжения, вычисленные по зависимостям (3.16) — (3.21), и формулам Ляме. Можно также определить зиачени средственно по зависимостям (3.13) условия: при допущении, что модуль упрузиачспие. В действительности -в Г!Ог-Н) -О2 г напряжения, вычисленные по я суммарных напряжений иепои (3,15), используя граничные а,=а»', г=гг при г = г, а,. — а>2 Формулы (3.16) — (3.19), выведенные для топких дисков, иногда применяют для расчеза длинных сплошных нли полых вращающихся барабанов.
Распределение напряжений в длинном барабане, строго говоря, отличается от распределения напряжений в тонком диске. Если в диске папрялкепиос состояние — плоское (а, — 0), то в барабане опо объслпкк (а2 чв 0). Относительная осевая деформация г, в диске псрсмсшш по радиусу, а в барабане — постоянна (попсречиыс сечения в длинном барабане остаются плоскйми). вт (3.22) (3.23) (3.24) (3.25) при г —.—. г, (З вЂ” 2р) т ° г, ! — 2р (! — р) 4д ! 3 — 2р г!' (3.25а) угххг а, ~хх — — 6,97 я а, „=343 кд то время как в сплошном диске тхгггз а, хх =3,30 ки (3.26) (3.
27) при г — 0 (3.27а) во вращающемся определяются по уаяр а,= ™ [гзх+г; "— 2г'-']; 48 (! р) 2яб (3.26) (3.29) хРор8гулы для напряжений в длинном вргипающемся барабане имеют впд а,=А— аг гг 8 (! А+ В уехгг(!+2!!) гх' 8я (! гг) Для цилиндра с отверстием при граничных условиях: г — г, а,— 0; г=гх а,=О; тхя (3 — 2р) .',... г-",г-",, 8я(! — р) ' г гх !'мх(3 — 2р) Г х х ггг» !+2р -) Для цилиндра без отверстия при граничных условиях: г — О, а,=а,; г--гг, а,— О; уар (3 — 2р) а, =- — [г7 — г-"1; зя(!--и) тхг(! 28) [ " !+2р х~ 8*(! — р) ~'"- з — вр ' 3 — 2р техгх„ аг гххх = аг хгхх = ! — р 88 Осевое напряжение а, и осевая деформация е, цилиндре при условии отсутствия осевой силы гависимостяхп Па рис 36 п 3.7 представлены эшоры напряжений для полого и сплошного вращакюпгхся цилиндров. Сравнение зтпх эпюр с эпюрами для тонкого диска (см.
рпс. 3,3 и 3.4) показывает, что разшща в значениях напряжений нс:пшчптсльная. Так, например, прп отпо- шенин -' = — наибольшее окружное напряжение в длинном ци- П ! г, з линдре составляет в в тонком диске тхгхгх! а, „„„=6,75 88 При отношении — ' =О, т. е. в сплошном цилиндре, г. Эти результаты показывают, что применение формул, выведенных для дисков, для расчета вращающихся цилиндров или барабанов е приводит к большой погрешности и 3. Диски равного сопротивления и конические диски Диски турбомашин часто делают переменной толщины, утолщающимисг! к центру Зто позвочяст получить более равномерое распределение напряжений. (3.30) (3.32) откуда или Л (г! — г-) (3.33) где Роб = йи (тп тл) где (3.34) Вгб ™нн лз аг = «>> = ао. 1!нагла прил>спя>от диски равного сопротивления плп так пазываемыс равнопрочпыс диски (рпс.
3.8), в которых напра>коппи о, и ««, од>п>яковы по вел>чпцс и постояпш,> по радиусу о> = о — о, = сопл! (предполагается, что неравномерный нагрев отсутствует). Выясним, как должна изменяться толщина диска равного сопротивления по радиусу. Подставив значения напряжений (3.30) в общие уравцс>шя (3,6) и (3.7) и приняв 0 =- 0 и «) = т, уви- И дим, что уравнение совместности деформаций (3,6) удовлетворя- ется тождественно, а уравнение равновесия (3,7) л> прпппл>аст вид гг об о„т — + 6=О. «»> тб>'т'- (3.3!) в Разделив переменные и проинтегрировав, получим Для определения постоянной С используем условие иа наружной поверхности: при т = тб толппша двска равна заданной толщине й;. Р»с.
ЛМ С=!пй,+ т"'"! 2во„ С учетом значения постоянной С равепство (3.32) принимает вид т~л(.: — г>) 1п — = />э 2Л>оц Л вЂ”,~ 2яо„ Толщину диска н центре найдем, приняв т = 0: Лб= Ьэе Отметим, что диск равного сопротпвлеппя ие может иметь свободный наружный край, а также пе может быть сделан с центральным отверстием или со ступицей, так как в этом случае исвозможпо обеспечить выполнение граничных условий. Часто диски равного сопротпвлш>пя изготон»я>от с паружпыл> об:>дом (рис.
3 9); прп этол> обы'шо бывшот известны ширина обода й„, радиальное иа- пряжсние па его наружной поверхности о„„радиусы т„п т.„а также величина допустимого напряжения в полотне диска о«г !1спзвсстпымп являются толщины йб и !>б Чтобы найти l>,„необходимо составить уравнение совместности деформаций, учитывающее равеист'- радиальных перемещений на наружной поверхности диска и впутреццей поверхности обода. Рассматривая обод как 'кольцо, нагруженное силами инерции, а также радиальными напряжениями иа наружной и внутренней по- ~и верхпости о„, п о„вычислим возникающее в пем окружное напря- жение. Запишем уравнение равновесия половины кольца ! 2й„т, — аб2й,т, -1- ~ —" ылт «(т 2тй„= 2а«,бЕ м откуда а„= ~а„,й„т„— абйлтг+ т'об оз По напряжению о„б определим окружную деформацию и радиальное перемещение <Ъб .
е,.б =; иоб = е> обт, Это перемещение следует приравнять перемещению точек наружной поверхности диска, которос так>ко определим по окружной деформации. ! !апряжспцос состояние в диске — двухосное: Окружная деформация е„= -".— — р й л Радиальное перемещение «„(1 — П! Г! ид = е!лгэ = Е (3.36) р (1 — р) "„";+(3 — 2р) '„+ (1 — р) Л>,= = — (3+р) '"""'" р(1-р)э. л (3.37! Уравнение (3.40) есть частный случай гипергеометрическога дифференциального уравнения Гаусса.
Решается оно в гипергеометрических функциях. Практическое решение уравнения (3.37) пс представляет трудности, так как для гипергеометрических функций Приравняв иы и ии получим уравнение, содержащее только одну неизвестную величину й,. После того, как толщина йэ будет найдена, можно по зависимости (3.34) определить толщину !>„ в цептральпой точке диска. При большой толщине обода напряженное состояние в пем д' цслссообразпо рассматривать как двухо- ГГ иое, тогда для вычисления напри>кепи>1,. ободе следует применять формулы Г)яме л и формулы для вращающихся дисков постоянной толщины (3.!8), (3.19).
Рассмотрим напряженное состояние конических дисков при вращении (при отсутствии неравномерного нагрева), ! Конические диски или диски прямоли- нейного профили широко применяют на л| практике, так как опи более просты в из- готовлении по сравнеии>о с Лисками равРис. 3.!О ного сопротивления, В то же время на- пряжения в коническом диске распределяются более благоприятно, чем в диске постоянной толщины. Введем обозначения: Л> — радиус окружности пересечения образующих (рис. 3.10); Г р = -- — безразмерный текущий радиус; й = й„(1 — р) — толщипа диска па радиусе г (Й = — й, при г = О); Л>, = о,й — интенсивность радиальной внутренней силы, Н/см. Используя прияятыс обозначения п считая Е и р постоянными, можно преобразовать уравнеппе совместности деформаций (3.6) и уравпепие равновесия (3.7) к одному уравнению с одной неизвестной: составлены таблицы. Вычислив фупкцшо Л>„х>ожпо затем псрсйти и опрсдслсппю папряяюппй: Р! , = Аф.
+ И'. + — '"'„' — чй (3.38) где А и  — постоянные интегрирования; , ф,, ф, >) „!ро !гь !га — функции безразмерного радиуса р. ! 'ъ Таблицы этих функций, вычпслшшые прп р == 0,3, приведены 'йе., в работе !17! Для определения постоянных А и В используют т! граничпыс условия па внутренней и наружной попер>пюстях диска.
Кольцевой диск: Ф при г=г> о,— о„; 'т, хг прп ! Гэ о! = огм 4 Диск, пе имеющий центрального отверстия прп г=0 о,=од при г=г. о,=о, Более подробно вопросы расчета конических дисков как с плос- Ф. кой срединной поверхностью, так и с конической средишюй по- "' верхностью рассмотрены в книге !12!. Там жс приведены таблицы " специальных функций. На наружном краю конического диска обычно имеется цилин- „-: 'дрический обод. Центральную часть диска изготовляют сплошной '.",„или со ступицей для посадки на вал.
Для быстрого определения напряжений в конических дисках, имеющих ступицу и наружный !!> обод, удобно пользоваться таблицами !41, $4. Расчет дисков переменной толщины Фэ методом начальных параметров с применением способа двух расчетов Рассмотрим диск переменной толщины, представлеп. ' пый иа рпс. 3.! 1, и. На внутренней поверхности дсйствуст радиаль' Ное напряжение о,'„„— — Р, за счет напряженной посадки иа вал; :"' на наружной поверхности — радиальное напряжение о„„вызываемое .' силами инерции лопаток, Эго напряжение можно считать равно- $ " Мерно распределенным по поверхности о 2 ! (3.39) ~.с> >л ..где Р = †'- †' — сила инерции одной лопатки; я 6, — вес лопатки; г, — расстояние от оси вращения до центра >шкссти; г — число лопаток, Рис.
8.11 (1+р») г»~ (ЗАО) (3.41) (3.44) Т вЂ” Т г" г»я и ~ а»»-ра,,» + в»г= — ( = (» Е» (ЗА2) Кроме того, по всему объему диска действуют массовые силы уцйг инерции, интенсивность которых д= —, а также имеет. место 0 неравномерный осесимметричный нагрев. Приступая к расчету, следует по заданному закону распределении температуры, пользуясь справочными данными, построить графики изменения по радиусу температурной деформации 6 = 1а, модуля упругости Е и коэффициента Пуассона р (рис. 3.11, г, д, е).
Заданный диск при расчете аппроксимируется ступенчатым диском (рис. 3.11, б). На каждом участке толщина Й», а также модуль упругости Е» и коэффициент Пуассона р» считаются постоянными и равными средним значениям на данном участке.' Число участков, на которые разбивается диск, зависит от геометрии диска и от желаемой точности расчета, Поскольку величины Ь», Е» и р» приняты постоянными, для определения напряжений а, и о» на»-м участке можно воспользоваться зависимостями (3.13) и (3.15): В» (3+ р) уют~ Е;Т 0'»=А» — — '— «вЂ” 2 8д гз 9 ас =А,+ — „— 8 + — „— Еб.
.В» ~1+Зр) уоР«Р Е»Т (г) Запишем еще выражение для окружной относительной деформации в произвольной точке»'-го участка: или, с учетом зависимостей (3.40) и (3.41): ~ ~ ~ ч ~ ~ ~ ~ | ~ ~ | | ~ ° ~ ~ » А~(1 — р) + В»(1+р) 7о~'~' (1 р) ~ ТС1+р) (3 43) «!» Е» Е»«~ 8дЕ» Постоянные интегрирования А» и В; для различных участков различны. Чтобы не определять большое количество постсянных, ;: применяют метод начальных параметров. Согласно этому методу . постоянные интегрирования выражают через некоторые параметры (напряжения, перемещения), соответствующие начальной (внутрен:" ней) точке диска. В результате задача определения постоянных сводится к отысканию только двух параметров, причем один из них обычно бывает ; заранее известен согласно граничным условиям на внутренней по' верхности или в центральной точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
