Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Рассмотрим произвольный»-й участок диска. Внутренний и -:: наружный радиусы обозначим соответственно»"», и»"„. Все вели' чины, относящиеся и внутренним точкам участка, будемобозна, чать двойным индексом Л, а к наружным — »2. Применив зависимости (3.40) и (3.43) к начальной точке участка, :: получим а„.- А В (3+ р,.) уоРг'~ Т;. Е» Ё Е»г~»» 8»'Е» Ъ " (' — ) ('+М (' — И) "'"Ь ' 1 Аналогичные выражения можно написать для наружной точки ; участка а, А 8 (3+ р») уоРг;".~ Т; Е» Ё; Е;«Ь 8КЕ» «Ь Ф и А,. (1 — р») о» (1+ р») (1 — р~) уо»-'«~я Т,~ (1+ р») Определив из первых равенств А» и В, и подставив их во вторые и а, два равенства, получим уравнения для определения — и — в 'конце»-го участка по их значениям в начале участка: «»1 2 «Л + л (1 Р) 1 ю + т;,— т;, (1+Р) — 2 (1+ р ) —.
— (1 — р») — +(3+ р») «»» «Ь Искомый вектор напряженного состояния Л представляют в виде суммы двух векторов (3.60) Х =ХС+У, Х вЂ” вектор состояния первого расчета; Х вЂ” вектор состояния второго расчета; С вЂ” неопределенный коэффициент. Вектор Х второго расчета вычисляют с учетом сил инерции, неравномерного нагрева и внутреннего давления, но при нулевом значении неизвестного .начальнор> параметра. Вектор состояния в начальной точке в этом расчете 0 Рвн~'1 Ен~н Вектор Х первого расчета вычисляют без учета вращения и неравномерного нагрева, т. е.
при й~ — — О. При этом второй начальный параметр принимают за нуль, а первый (неизвестный) — за единицу, таким образом (3.61) — 1 Х„-= О (3.62) Х,„С+Х,„ Х,„С+Х»„ Если радиальное напряжение в наружной точке с,„з ано, то вторая составляющая вектора Х в этой точке известна: следовательно, Суммарный вектор Х (3.60), очевидно, удовлетворяет граничному условию на внутренней поверхности диска, Для того чтобы он удовлетворял также граничному условию на наружной поверхности диска, необходимо соответствующим образом подобрать коэффициент С. Выполнив оба расчета, получим следующие значения вектора Х в наружной точке: в этом случае неизвестна, но известно, что напряжения а, и а, одинаковые. Согласно этому условию с учетом равенства (3.57) между начальными параметрами существует следующая зависимость: или (1 — Р) Ен~н Х-- »а Ь ЕдЛ~ (3.65) Вектор состояния, удовлетворяющий этой зависимости, в первом расчете в начальной точке целесообразно принять равным Ен~н 1 — ~)— дд ( Хдд = 1 а во втором расчете Тогда при любом С равенство (3.65) будет выполняться.
В остальном расчет сплошного диска ничем не отличается от расчета кольцевого диска. 1бО В табл. 3.1 приведены числовые значения функции фцц (Х) ф фасо(Х) и т д, Поясним изложенный метод следующим примером. Пример 4.1. Частота вращения диска, изображенного на рис. 3.12, а = 4000 об/мин; материал — сталь, Е = 2 10~ Н1см», р = О,З; неравномерный нагрев отсутствует. Радиальные напряжения на внутренней и на наружной поверхности диска равны нулю.
По заданным размерам Рис. 8.12 вычислим $, = д' =0,25; Х»= »д =0,8. гд» г»» Выполним первый расчет (в этом расчете вращение ие учитывается). В начале первого участка (3.64) Х =Х» =СдХд,= — 'Фаа Р ) Ф (Хд) Ьд Ь„ Ы 1 О,З9О6 0 0,1172 0 ,3906 4 ° 0,42 —,'- 0,4Е87 0,6719 Х,„С+Х,„= — "". Ен Определив отсюда коэффициент С и выполнив суммирование согласно равенству (3.60), получим ряд значений вектора Х, по которым найдем напряжения а, и а1 и перемещение и в ряде точек.
Рассмотренная методика относится-к кольцевому диску, т. е, диску, имеющему центральное отверстие. Если же заданный диск сплошной, т. е. без центрального отверстия, то граничные условия в центре будут иными. Величина напряжения в центральной точке 98 В конце первого и в начале второго участка Ь.Ю вЂ” "„" ~..р,) Ьд Изложим вначале методику расчета кольцевого диска. В нулевом приближении примем радиальное напряжение во всех точках диска равным нулю. Положив в правой части уравнения (3.80) о, = О, получим первое приближение для разности напряжений (о'с — ~.) ~ = К (г) +,~+„А1.
Е (3.83) где А ~ — постоянная первого приближения. Величина А~ остается пока неизвестной. Радиальное напряжение первого приближения определяется в результате подстановки выражения (3.83) в интегральное уравнение (3.78): е а,= — „„+А~ —., — Я(г)+а, „Ьвн ° (3 84) 1 К 1г) Ьиг ЕЬИг ~нн Здесь через а, обозначено радиалЬное напряжение на внутрен, ней поверхности, которое принимается равным заданному. Для определения постоянной А~ используем граничное условие на наружной поверхности при г = г„, (о,)1 — — о,. Согласно этому условию с учетом уравнения (3.89) найдем н' орн~ — брвн~вн+~ ( н) К(г) Ьй' ~вн (3.85) н вн Внеся А~ в правую часть равенства (3.84), получим радиальное напряжение в нервом приближении, аиз соотношения (3.83) определим окружное напряжение в первом приближении (а,)~, Дальнейший порядок расчета следующий.
Напряжение (о,)1 вносим в интегральное уравнение (3.80) и получаем разность напряжений во втором приближении Г (ос — а,)ц = — (1 — Р) (а',)г+,„„Х (1 — 1Р) Е вн ('~)1 '" Х . дг+ К(г) + — „Ац, (3.86) где Ац — постоянная второго приближения. 4 Эту разность подставляем в уравнение (3.78) н получаем радиальное напряжение во втором приближении (а,)ц.
Постоянную величину Ац снова находим согласно граничному условию на наружной поверхности, после чего вычисляем (о,)ц, (а~ — о,)ц и (а,)ц. 106 Таким же образом определяем напряжения в третьем и последующих приближениях. Практика расчетов показывает, что второе приближение, обычно, дает достаточно высокую степень точности (о степени точности можно судить, сравнивая два последовательных приближения). Порядок расчета сплошных дисков (без центрального отверстия) несколько отличается от изложенного, так как величина напряжения а в центре диска заранее неизвестна, но известно, что в цент~вн ральной точке напряжения о, и а, равны. Для того чтобы при решении численным методом функции не обращались в бесконечность при г = О, сплошной диск заменяют 1 диском с малым центральным отверстием г,„= — г„и принимают на его внутренней поверхности о, = а~ Порядок расчета диска в этом случае — следующий, Задавшись (о,), = О, по уравнению (3.80) определяют разность напряжений в первом приближении Е (ос — ~~)1 = К (г)+,д+р А.
Так как при г = гвнэ К (гвн) О и (а~ — о,) = О, то А~ — — 0 и (~с ог)1 К (~ )' Это значение разности напряжений вносят в уравнение (3.78) и получают (а,)~. Затем, согласно граничному условию на наружной поверхности, определяют напряжение во внутренней точке (а, )~. Аналогично находят второе приближение. Подставив (а,) ~ в уравнение (3,80), определяют (о~ — а,)ц. Поскольку при г = г,н, (о,— — о,)=О и К(г,н) =0 Р) (огвн)1 в+ Ац— вн Разность (о, — о,)ц вносяг в уравнение (3,78) и получают (а),ц. Значение напряжения в центре (а, )ц снова находят согласно граничному условию на наружной поверхности.
По разности (а~ — а,)ц и радиальному напряжению (а,)ц вычисляют (а,)ц. Также определяют третье и последующие приближения. Пример 4.2. Определим этим методом напряжения в ступенчатом диске, изображенном на рис. 3.14, Этот же диск был рассчитан по способу двух расчетов— см. пример 4.1. Исходные данные: гн = 50 см; г „= 10 см; 61 = 4 см; Ьв = 16 см; а = = 4000-об/мин; р = 7,8 10 в Н/смв; Е = 2.10 Н(смв; р = О,З. Неравномерный нагрев, а также напряжения на внутренней и наружной поверхности отсутствуют.
На рис. 3.1.5, а, б, в изображен профиль диска и приведены графики функций д и й 1г). Функция Л; (к) в данном случае равна нулю, Эпюры напряжений о, н о~ первого и второго приближения представлены на рис. 3.15, г и д. Следует заметить, что числовые значения ординат в некоторой степени зависят от того, на сколько участков был разделен диск. 107 г9а иl н~)йЫ и/ Рр 697 4ЮМР Щ 64 и/аю~ ) 44на эгаа 49Фаа Рис ЮЛ6 Рис. 8.И Сравнение эпюр рис. 3.15, д с эпюрами рис.
3.13 показывает, что второе приближение отличается от точного решения не более чем на пять процентов (в большинстве точек отклонения еще меньше). ф б. ЙосадочньнВ нал~и$жбним В дийзимю определение освобощдави4его и раздувающего чиав оборотов При установке диска на вал обычно применяют соединения с натягом. Величина контактного давления, действующего на внутренней посадочной поверхности диска', зависит в первую очередь от величины натяга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
