Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При нагружении стержня внешним моментом, равномерно рас- ' пРеделенным по длине (рис. 1.29, а), внутренний крутящий момент изменЯетсЯ по длине согласно законУ М„.р -— -- иг. В этом слУчае частное решение можно получить по формуле (1.60), т. е. ПП 6 =-— 6 ~Ир Если же распределенная моментная нагрузка начинается ца Расстоянии а От торца (рцс. 1.29, 6), то ее целесообразно предста- в"ть как совокупность Оескоцечцо большого числа бесконечно ма- Из первого условия ° »1 из второго условия 1 уч. 11 уч. П1 = С1 БЬ ИЗ+ С» сп яГ+ —, ~~;р ° Далее определяем: 1 1 уч.,' Лп - — 6.7„-~,О = 1йу 1 аг1 сЬЫ ~ Л„=.,ц,,„д„щ с' , сваг с11 а1 ' >а> О) 1 > Я11 аа 1Щ с~1 При г= 0 ПРН й = 1 6 = О'„М0 = О- М вЂ” п1.
Рис. 1.29 Рис. 1.дб У1 0 = С з11 аг+С» с11 аг+ —. 1 Постоянные С~ н 1) при г -- О, 1т --> О, довател1,но, 6 =- О. лых внецншх моментов и по аналогии с выражением (1.61) записать 6 и следукнжм вийе: 0 =- С, Ж иг + С, сЬ аг+ —, (1 — с11 а (г — Д) = [' ПИ, бакр Пример 1.б. Бь1>1ислить напряжения и угол закручивания двутавра №2О (рис.
1.30); длина У =-' 1 м, Один торси диутавра жестко заделан; на другом— приложен момент!П =-- 500 11 и. Размс1)ы сечения и эпюры сектори11льной пло- щади показаны на рис. 1.31, а и 6. Определим характеристики профиля; и — Ь,б -=-, 12 ° 10 - 1,14" + 17>7 ° 0,7»1 = 11,9 см4. \ 47 >2 ЯАУ =-1,14 4 5 ' - — 47,2~=16 900 см~. 2 3 Ф !' 611;р 8 10"-11,9 И > Исполыуя зависимости «1.59), «1.60), запишем выражение функпии 6; ОНРС~Ь '1НМ 11' 1 Р 1НИ 1111'1Х ~ >.Л1>1>1111 ° слсдов.1телыв, В =- О и 0' = — О; 2) при г = 1, ю =- О, сле- ~Щ С.= --— Ы111,с11 Ы После подстановки постоянных ицс.„ ~>1„—.- Ха 1 ' ц~ аЬ я/ а~ 1 >;ц = ,> .'%; М, =0,36."1л; И=О '-И ФЫ И 2 а сп а~ 1 68 . 10-» 2 78 — — 55 41~)1 Л см». Эпю ыМ М Р О. ~ и д по длине бруса приведены иа рис.
1,32. Рычислим напряжения, возникаю1цие в дв тяв с. формулы (1.20), (1.55), «1.52). На ; -сВОбодном конне при е = 0; О„, = 0 М о -0Х 6 тах Хаа>ах ах 473 0,64 ° Б ° 104 ° 1,14 МВ я,„ен11 = 3060 П:см». > кап я Для определения касательных 100 ряжений стесненного кру 1сния ,д й1 Вначале построим эпюру Б' =- Щ Ю (см.
рис. 1.31, в). Знак Рис. 1.Л , ЯФ от выбранного направления обхода контура «при построении эпюр~ ры, ход кОнтуря начат От Верхнего левого угля). и ьшее напряжение т„возникает в середине полки, где 5; =11,4 ' = — 135 см4. « — 47,2) 5 )' 2 1 > Так 6) Вах КЯКт "- О то этО з Ра.'г.е.в - ., ' ' ' ' х да . НЯЧИ Г, ЧЧО О110 На1Пра1ВЛСНО ОТ НЯЧЧЛЯ Об О ° ° ° в Ве1)хнсй полке — слов» нянра1ю. Л'1х Мц 0 =---+ — ~~+ — ~Х+ -Н. ~х .~р ~о~ (1.68) Эта формула приближенная, так как она основана на предположении, что осевые перемещения и складыва1отся из перемещений, определяемых законом плоских сечений и законом сектор1гальных площадей. В действительности раснредсление иапряже1шй может подчиняться более сложному закону (11апримср, вблизи торцов).
На некотором удалении от торцов формула (1.68) дает хорошсе приближение к действитель11ости, так как мсстпые напр11же11ии, зависящие от условий на торцаХ, быстро затухают (кроме напряжений, определяемых бимоментом 8). При оценке прочности тонкостснных стержней существенное значение могут иметь также касательные напряжения. В каждой точке сече11ия касательные напряжения складываются из четырех составляющих: Тв, т„„, т~„, т1~„.
Наибольшее напряжение возникает в одной из контурных точек: > Остановимся кратко на вопросе об определешш переме1ценнй в общем случас нагружения. Перемещение произвольной точки сечения в поперечном напр:.влении можно легко вы шслить, если будут известны составля1ощие смещения центра к11~''1е11ия ио и ц, и угОЛ поворота сече1111я с1, Сме1цения и и ц связаны с изгиба101цнми моментами ~И,. и 'И,. уравнениями: Л1„ 72„-' М,.
И'х Последние отличаются от обы шых дифференциальных уравнений упругой линии лишь тем, что здесь рассматривается ось, проходящая через центр изгиба, а не через центр тяжести сечения, Интегрирование уравнений (1.7О) и (1.71) производится обычным порядком. Зависимости (1,б8) — (1.71) наппса1ц1 в предположении, что оси х и у — главные оси поперечного сечсния 11оложительпыс направ- ЛЕН ИЯ СМЕЩЕ11ИИ Ив И Ц> СОВПаДаЮТ С ИОЛОЖ11ТЕЛЬ11ЫМИ НаПРаВЛЕНИЯМИ осей х и д. ляется интегр11рова11нем уравпс1п111 (1.56) и может 61,1т1 представлен в виде выриксния «1.б1). Нормальное напряжение в поперсчпом сечении 011ределяется как сумма напряжений от каждого силового фактор» в отдельности: При 11ссьма малой толщине стенки жесткость профиля при свободном К11учеш111 сгановитс11 исчсза!още малой, так е;1к они п1)ОИ01)- цц011'1,'11 н;1 к~'1)~' тол11~пп11 О.
И этОм случае тоикостенныи стерже11ь пе11сст'1сг сон1готивли'1*1 ся свобод1гому круче1н110 и при незак1юплепных торцах прсвращается и механпзм (рис. 1.39, а). Чтобы 1111офиль МОГ Бос11ри1п1мать крутящий момент, необходима 11;.ш па.южить связи, запрещающие депла11аци10 какого-либо ечеши1 (рис, 1.39, 6), или запретить относительный поворот каких-либо двух поперечных сечений (рис. 1.39, в), Рпс. 1..39 Д ЛЯ ПРОфПЛЯ С ВССьма МаЛОй КРУтнлвной жЕСТКОСТЬ1О ВтОРОй 'чле11 дис$х$к.рснщиал1,ного уравнения (1.56) может быть отброшен; - .-"~"'.:-в результате получается следукипее упрощенное уравнение: (1.72) Интегрирование этого уравнения не представляет трудностей. ' Получающиеся ири интегрировании две произвольные постоянные .
определяются, как обычно, из граничных условий на торцах. Уравнение (1.72) можно применять, если параметр а1 не пре.выц1ает некоторого предельного значения. Для консольных стержНйй, например, рекомендуется и1 -=.— О,б. Отметим, что для часто встречающихся расчетных схем в сиравочной литературе приводятся готовые выражения для Мб, Ч и В' [241. В более сложных случаях нагружения решение может быть полУчбно методом наложения табличных решений.
ПРимеР 1.8. Определить напряжения в балке, нагруженной, как показано на рис. 1.40,'и Силы Р = 20 000 Н расположены в плоскости вертикальной стенки. Размеры ПОпеРечного сечения, а также полажение центра изгиба показаны на чертеже. Эп~оРы гдавнай секториальиой площади ж и 5' представлены на рис. 1.40, б построение зпюры Б„' начато от нижнего края). Характеристики попере нного сечения: 1„= 394 см4 ~„, = 2000 см"; .!,,„—.-.
0,6 сл1'; сс —.= 0 011 1/сл'- ЭН1орц М„, Д„и Я„-„иривеъ иы иа рис. 1А1 1крутя1ций момент вы гисляется -".ЗЮк произведение силы йа плечо огиосительио цеи1ра и:и116а). Согласно выри"н %~ 51 Л'!н= — 3160 1! - см; Лл = — 46 84О ! !,; д= 20 000 Ц; 3160 = — —.
0,4=2100 1!/см'-'; 0,6 то= о М1) "1«лр ~14л,Ф'л. тл,) )«) р . =— /„6 ( — 46 840) ( — 27) 2000 0,4 = — 1580 11,.~ем~,. Граничные услови)1; прц л!О ~ 2=0, =0(гак как о=0 и В=О). дг прц «Щ 0=— 6.1«л„ И,„Н.сп Силовые Факторы в сечении швеллера: ~Ч „= 5 ° 104 ° 7 55 = 378 . 10:«1-1 .
см; М„=5 10' 1,75=87 500 Н ° см: К=50000 Н. Мв„Н.СИ Бимомент в торцовом сечении Н Рю 5 10 ( 20,16) = — 10' 1-1 ° см"-. 1)л„,Н.Сй Так как в данном случае крутяший момент отсутствует, то согласно уравцепи1о (1.59) 6=~'1 а1) а~+л и с!' аа ~~6 — = аС, с11 ы+ аС, а11 аг. 176'10л' 172. 10 71,4 — 17 Рис. 1.П при а! а! а! аЕ / „) 53 жсцшо (!.61), отцосительцьш ~ гол закрччиваиця а=1,2, 011=-0 (т«к как по симметрии и=О). Из этих условий определяются постояццые С, и С . ьЩ с!1 а( - — а л.л,1,« , Ы л.) / «л р с11 -, Окончательное выражение отиосцтельцого угла закру шванця 1! с!т а( - — и а! С11 ы — 1+ ! 1 — сп а (а — а) ) С11 —. 2 Лалее вы 1ислшотся Л!Π—— 6/,.„0; Л1,„=- ))ЦК„М, В = у'1 0 см. рис. 1.41). Норм'«л1пые нс1прЯжеиия вычисля)отея по фл)рмулам (1.52) и (1.62).
Э1«1О!)1,1 ЦОРМаЛЬИЫХ НаПРЯ)КЕЦИй ПО СЕЧС«И1К) ПРИ г --.- л) ПРЕДСтаВЛЕЦЫ Ца рис. 1,42. Ь'«к,'«1л))кцл) «аметить, цл«ирижеиие Й1 бимочецта в данном случае значительно црсвыигаст па при жсш1е от цзгцбавщсго момента. Бычислим касательные цапряже11ия при Р =- л. виак минус указывает на то, что это напряжение направлено к краю, принятому .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
