Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.12 иератур Т принят положнтельцым). Нацбол1цц1е цапряжсш1Я воз- иика)ОТ ИО вцут1)еццих точках. Для оценки вслцчцць1 этих цапря же11ий приведем числовой пример. )"=г"1 о,=0; при г=г, а,=0. На основании этих условий ТЕ и г'-,' 2 (1 — 11) (г';,' — г'-') 1 !и —— Г ТиЕ 2 (1 — р) (Г'-,', — Г') Г'-,' (г-", — Г'-,') г'-' (2.50) 1 — 1п г (г;". +Г~) Г'-,' (2.51) (г.'-'. — г'-,') г~ 1п — ' — — жю и~с ', 2ГБ $ аг =О. Как можно видеть, даже при сравнительно малом перепаде температур напряжения достигают весьма больших величин. При большом перепаде гсмпсратур напря)кения в пилпнщ)е могут превысить предел текучести материала. В этом случае выведенные зависимости неприменимы. Если же перепад невелик, но температуры 1, и ~2 высокис, выведс1шымн зависимостями можно пользоваться; необходимо только подставля1ь в ннх значение модуля упругости, соответствующее средней температуре стенки цилиндра.
11рн одиовремснном ~ыгружснии 11илиндра внутренним и нару)кш,ы давлением и неравномерном нагреве напри)кения можно вычислять отдельно и затем сумми ровать, 1 21П вЂ”- Г1 (2,52) ТиЕ ) (2.53) Постояццыс Л и В, как ц ранес„опрсдсля1от по граццчцым условиям. 11оскг)л1ку напряжении от вцуп)синего и наружного давлений можно оцрсдслять цсзавцсцмо от тсмцсратурцых напрем)кецц11 примем, что в да1И1ом случае давлеии 1)авц1,1 пулю. Тогда граццчцые условия будут слсду1О1цис: прц В результате подстановки постояццых выражение радиального напряжения (2А8) принимает вцд Напряжение гт, определяется ца основании уравнения (2.13); Для определения третьего напря)кения а, необходимо вцачале найти деформаци1О Р: . Для этого используем дополнительное условие равенства нулю Осевой силы в цилиндре г, У=1 О,2п~дг=О.
г1 П одставцв под знак интеграла выражение ~2.11) и выполнив интегрирование с учетом зависимостей (2,10), (2.50), (2,51), а затем решив получегцюс равенство относительно е„получим Выражение напряжения а, (2.11) принимает следую1ций вид: 1 — 21П вЂ” ~ г 2г-", 1и —- г~ Г., — ГГ, На рцс, 2.13 приведены эпюры напряжений а„а~, а., построецць1с ца )сцоваццц зависимостей (2.50), (2.51), (2,53) (перепад тем- УИ Пример 2.6.
Дано: г, = Зг,; р = 0,3; и = — 12. 10 ' 1/град (сталь). жениых на внутренней повсрхност)1: ТиЕ 1 пй — О 3Г 2 (1 — р) 1п— Гт Т= ~ — ~ = 40 С ~ — 2 10' 11!см Вычислим 1гапря'кения в точках, располо- паприл>ер, при повьппеиип температуры от 20 до 500'С модуль упругости спи>кается приблизительно иа 40">>. Иижспсрпая теория расчета дисков основана па следу>ощпх основных допущениях: 1. Норл>альиые напряжения в плоскостях, параллельных срединной плоскости диска, считаются равными нулю, т. е. напряженное состояиие рассматривается как бгйгбу>+у- (бгйгт!Я луг плоское (двухоснос).
2. Температура 1, а также иа- »7йгбГ!»бг и»»з пряжеппя о, и и, постоянны по толщине диска, т, е. являются б И>У »(>уп!г>и!я>1п тол! Ко тскузцсго раИз»г с тИ г дпуса г. Этп допущения были обоснованы путем сопостзвлшиш прибли>ке>шаго решения с точным, поб Иг>7р лучеппым для некоторых частных И случаев. ц Основные исходные уравнения >Г у> для вращающихся неравномерно нагретых дисков аналогичны соответствующим уравнениям для толстостенного цилиндра, нзгруРис.
И жспиого впутрсиш>м и впепшпм давлешнмш. В частности выражения деформаций е, и е, через радиальное перемещение и (2,4) и (2,5) полностью оста>отса в силе, Также остается справедливым уравнение совместности деформаций (2.6), С учетом нагрева зависимости закона Гука для двухосного напряженного состояния можно записать в виде ! а, = б (о, — 1>а») + 0; ! к, =, (о; — ро,) -!- 0, (3.3) где 0 = 0 (г) — температурная дс>(юрл>ация; (3.
5) Г!одстзвив в>лрз>ксиия (3.3) п (3.4) в уравнение (2.6), получим уравнение совместности деформации в напряжениях г — (о,— ра,) + . (и,— о„)+г — — О. (3.6) ! >+н »>О Второе уравнение с пеизвесгы>ылш о, и !», составляется па основании условий равновесия элсмсптв объема диска. Опо отличается от соответствующего уравнения (2.!) наличием допшпштсльиого слагаемого, учитывающего силы инерции. 00 Выделив б>сскопечпо малый элемент обьслш диска (рис, 3.2) и приравняв пулю сумму проекций всех сил >щ направление рздиусз, получим — (о,йг) — о»!>+ о».й = О.
(3.7) Уравнения (3.6) п (3.7) представля>от собой разрешающие уравнения вращжощпхся неравно>>ерно нагретых дисков, В некоторых частных случаях зти уравнения интегрируются в квадратурах. В более общем случае уравнения решаются численными мстодалш с применением ЭЦВИ( илп приблпжсшю, я 2. Вращающиеся неравномерно нагретые диски постоянной тоящины при постоянных по радиусу характеристиках упругости Е и !! Прп й =- сопл!, Е = сопз1 и р = сопз1 (3.6) и (3.7) упрощаются и пришел>ают вид »>0 г „(о, — ро,) + (1 + р) (о, — о») + Ег „- = 0; (о,г) — о, + » = О.
Из уравнения (3.9) уравнения (3.8) (3.9) (3. 1О) подставим в уравнение (3.8); в результате получим дифферен- циальное уравнение второго порядка относительно о,: .;+3 „' = — (3+р) ' — Š— „ »!»а, »>с» тввг»лз Используя тождество »!ла, 0», »! ! 1 г — '+3 — ' = ~ — (ог')~, »>г »!г >>г ~ » и» запишем уравнение (3.!1) в виде (»>,гт) ~ = — (3+ р) — — Е . (3.!2) Проинтегрировав уравнение (3.12) дважды, получил! и (3+р) т»гг ет гл вл» и здесь А и  — постоянные интегрирования, Величина Т представляет собой интеграл вида Т = г) г0 г(г, » (3.1 1) (3А3) (3. 14) где г,=,.й=-г 1!ижннй предел интегрирования постоянный, влияющий только нз величину констант Л и В, цслссообра.шо принять рзвнгял~ внугреннсму рзднусу диска, гзк кзк н эгон слу ше нптелрзл (3.14) при г -.
г, обра~цзстся в пуль, и уравнения граничных условий несколько упрощаются. !!апряжепне о, онрслслястся по соотношению (3.10), которос при подстановке н него выражения (3.13) принимает вид о,= -',— „— + '., — Е0. и О+Зр) Г.а.х ЕТ (3.! 5) Постолннаые интегрирования А н В в каждом частном случае г/л-гг) определяются по граничным условиям з+А а па наружной н на внутренней поверх- ностях диска (нлп в центре диска). ® Рассмотрим некоторью частные случаи. 1, Сплошной вращающийся диск (без центрального отверстия) постоянз 6, ной толщины; неравномерный нагрев а * х отсутствует (рис. 3.3). Граничные условия: в центре диска при г = О, па осно- вании симметрии, оа — — о,; . З.З на наружной поверхности при г = = га о„.= О.
Из этих условий с учетом выражений (3.13) и (3.15) нрн О = 0 и Т =- О найдем В=О; А=! +п)т~"" ьк Формулы для напряжений (3.13) и (3,15) в этом случае принимают вид (3+ П) тая Оа вп - (г1 - га); (3.! 6) (3+1) Тая / . 1-).з1х,л оа , 'г: — , „ гх~. (3. Г7) Эпюры напряжений, люстроепные по завнсилюстям (3,16) и (3,17), приведены на рис. 3.3. Наибольшие напряжения возникают в центре диска (3 + р) г хг) Оа а~ах = Оа пах = вд Следует отметить, что при заданном удельном весе у напряжения зависят только от окружной скоростл~ и = лага. Так, например, для диска нз стали с удельным весом у = 7,8 10 ' Н/сма при )л = 0,3 наибольшее напряжение (3тп) та 3 28 х о„а,„= о„а,„— ' — = 3,28о .
за В частности, при га = 20 слю п и = 20000 об/мнн окружная скоросп о=- — '. =' — =420 м,'с зо и напряжения о„„,„а„„ах =58 1О' 1!/см' Для каждого материала можно установить предельно допустимую окружную скорость. Тогда работоспособность диска можно оценивать, сопоставляя фактическую окружную скорость с допустимой. 2, Диск постоянной толщины с центральным отверстием; неравномерный нагрев отсутствует (рнс, га /,+ —,! 3.4). Если края диска свободны, то граничные условия следующие: при п,=-О; г =- гд при г=г, о,=О. С учетом зависимости (3.13) прн й = О и Т = 0 эти условия приводят к Лвум уравнениям, решение которых дает значения постоянных: (3-1- В) Таах (г)+ г;") х (3+ К) ххахг!г1 вз Формулы (3.13) и (3.15) для иимают вид напряжении в данном случае при (3.18) $.
! Эпюры напра'кеннй для кольцевого лиска приведены на рис. 3.4. Наибольшее напряжение возникает в точках диска, расположенных на внутренней поверхности: [ +3 л] (3.19а) При стремлении радиуса отверстия к нулю это напряжение стремится к величине, равной "- . Сравнивая эту вели- (3+ Лх) Зхааг! 4д чину с величиной напряжения в центре сплошного диска, можно випеть, что около малого центрального отверстии возникает конентрация напряжений (коэффициент концентрации равен 2).
ВЗ в<о> — О,)( !2 (02 — ОО /, 22 л 4 Л г ) (3. 20) (3.2!) Отметим еще другой прсдсльшяй случай, когда г, — > г, -> г, т. е. когда диск вырождается в тонкое кольцо По формуле (3.19) прп г, = гг = г найдем а,=- .Эту величину можно таюкс легко потюч ' я лучить непосредственно из уравнения равновесия половины кольца. 3, Лиск постояшюй толщины находится в условиях неравномерного нагрева; вращение отсутствует.
Основная трудность определения термических напряжений заключается в установлении поля температур. Предположим, что температура изменяется по радиусу согласно закону г2 — 6 1 = 12+ 2, ' го. Тогда температурная деформация 0 =(1 — »2) сс =02+ ' . ' го. Учитывая, что равномерный нагрев диска не вызывает напряжений, первое слагаемое в написанном выражении можно отбросить и считать, что температурная деформация подчиняется следующей зависимости: 0= ' о,— о, гз По формуле (3.14) г г Т = ~ ог й» вЂ” ~ 02 — о, го й„- 102 — О ) " г„-" 4г) Подставив Т и 0 в выражения (3.13) и (3.15), найдем и в(02 — о)" а =А — — —— »2 42! в зв(о,— о,)" 4г-".
Постоянные интегрирования А и В определим по граничным условиям. В случае сплошного диска: при г — О а„=ай при г=г, а,=0. Согласно этим условиям В О. А в(02 ~2) 4 Тогда Эпюры напряжений' по радиусу приведены на рис, 3.5. При 12 — 12 — 700'; 1, — !2 .— — — 200' С; а = 15 ° 1О 21,1гра20 Е =- 2 ° 10'! 1'слои 02 — О, = (12 — 1,! и = 75 1О', напряжение а, в наружных точках 75,!02 П/ 2 2 (г = »2) Выполненный расчет основан па гости материала имеет постоянное величина модуля упругости зависит от температуры. Расчет диска с учетом псрсмениости модуля упругости по радиусу рассмотрен в 04. Отметим еще случай, когда кроме вращсн1ш и неравномерного нагрева на внутренней и наружной поверхностях имеются задаипыс напряжения а„ и а„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
