Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1,275 в На рис. 4.7 приведены зависимости Р (Х). Прямая 1 соответствует решению задачи по теории малых перемещений; кривая 2 построена по экспериментальным , данным. Как можно видеть, при нагрузке до- 50% от максимальной рас- хождение не превышает 5%. При большей нагрузке расхождение увеличивается ' и при Р,„„, достигает 12%. РЬа РЬг~. пав ° ; о 2я1а»~ ' 2Ыаг~~' Ь» Иг Ь»г1 г» 61т ° — (» — г,) — = Л» — — 1п —; Ь Ь г Ь г»1 - г — »1+ — + — 1П вЂ”; 2 Ь»1 — ( — »1) Ь» Ь »1 »з г~ — »1 3 — — (гв ге) + 3 2 — (г-гд) Ь» Ь »» + 3»1 Ь вЂ” »» 11п — » г1 Кривые 8 и 4 (см. рис.
4.7) построены по результатам расчетов по теории больших перемещений. Расчет ло теории больших леремещеяий Площадь поперечного сечения пружины: Р = ЬЬ = 35,91 см». Характеристики сечения 71, )»: !1=6 1и — '=1,59 см; 1»=ЬЬ фа=4,13 см. 1 Расстояние от оси»1 до главной 'оси г: 1» в с= — = 2,60 см. Координаты центра тяжести сечения относительно главных осей: гс —— 23,25 см; зс —— г~ $К а — с'=0,077 см.
Координаты центра поворота относительно тех же осей [см. формулы (4.30)1: ри го= — = 22,58 см; а О. 1 Изгибающий момент М определим по углу поворота ~р согласно уравнению (4.32). Так как поперечное сечение пружины имеетформу узкого параллелограмма, то деформации в радиальном направлении не ыогут протекать свободно; они стеснены вследствие взаимодействия соседних окружных волокон. Это приводитк некоторому уиеличеннкв жесткости прунсиим, которое может быта учтено умн~ жением модуля упругости на дробь —. Аналогичный эффект увеличения жес1- 1 кости наблюдается при цилиндрическом изгибе пластин (см.
гл, 5, $ 2). Если учесть укаэанную поправку, то уравнение (4.32) примет вид М вЂ” ув — -а + ге (сое йр — сов р) + Р (го, — г ) (1-сое вр) в)п у~. Е зй 2в Величины момента, вычисленные по этому уравнению при разных значениях угла <р, приведены в табл. 4.1; там же указаны также значения нагрузки Р и осадки Х, вычисленные по формулам: М2д . и — у=~ь= ~. — Ь.
1 ° По данным таблицы построена кривая Ю (см. рис. 4.7). Расхождение теоретического и экспериментального значений осадки при максимальной нагрузке в этом случае не превышает ЗЦ. Задача о деформации тарельчатых пружин на основе предположения о неизменности формы поперечного сечения впервые была решена Альменс..1 и Лязло.
Зависимость Р (Ц, построенная по предложенной-ими формуле [201, представлена иа рис. 4.7 кривой 4. Более точное решение с учетом искривления поперечного сечения пружины , приведено в работе [201, однако результат этого решения отличается от приведенного незначительно. Вычислим напряжения в пружине. Наибольшие напряжения возникают . в точках К и Ь (сы. рис. 4.6).
Координаты этих точек: а = — 2,03 см; г =16,5 см; г 2,18 сщ г =30 см. ~ По формуле (4.20), прн Ж = 0 и М = — найдем РЬ При нагрузке Р 4 10» Н; а~ 1,9 10» Н/см~; а < = — 8,3 10' Н»см». Фактическое напряжение в точке К будет несколько меньше, во-первых, аа счет скругления кромки, во-вторых, за :;счет остаточного напряжения, возникаю- т',, г 'щего при первичном обжатии.
Отметим, Ь. Ь, ; что принятая схема нагружения приемлема 'лишь в том случае, когда несколько пружин сложены вместе: вогнутая сторона с вогну.той, выпуклая — с выпуклой. В этих условиях относительное скрещение по поверх- рв .ности коитакта не вознйкает и силы трения отсутствуют, В некоторых случаях, для уве- Д личения поглощения энергии (при испольэо- В. вании пружин в амортизаторах) между пружинами прокладывают плоские шайбы.. :.Тогда между пружинами и шайбами возникают относительные смещения и появляются Рис. 4.8 си,ры трения. Схема нагружения при этом НЕСКОЛЬКО уСЛОжНЯЕтСЯ. Пример 4.3. Рассмотрим кольцо. нагруженное радиальной нагрузкой д .
и инерционной нагрузкой, возникающей при вращении (сы. рис. 4.8). Выбрав ось»1, как показано на чертеже, и представив сечение как сбвокуп, ность пряыоугольйика »1 треугольника, вычислим характеристики поперечного сечения. Применив формулы (4.7) — (4.8), получим для прямоугольника для треугольника у~ ~3 Ф= р'1+ — и аг У »,+»,— (г — г,) Ь г, Гц + — п~гЬ, ' г Ьа(г-г1] 1 2Ь 8) Рис. 4.9 (4.35) $27 Расстояние от оси г1 до главной оси 1 и+~и С ~1п+ ~1т Интеграл 7а относительно главной оси Внутренние силовые факторы в поперечном сечении Г1 ГМ уцй Ь1 М= — дг, (Ь1+с) — — г й'Ь1г — +с + Ы 2 дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере 4.1. Изложенный метод расчета осесимметричных.
колец применим также к тонкостенным кольцевым деталям сложной формы, имеющим радиальные ребра или лопатки, препятствующие искажению формы поперечного сечения. К таким деталям, в частности, относятся рабочие колеса некоторых видов турбомашин и гидромуфт. $2. Внутренние сипевыа фактеры в леварачных сачаннях нелац при плескем и нрестранстваннем изгиба Плоский изгиб возникает при нагружении кольца силами, расположенными в его плоскости.-При использовании колец в качестве подкрепляющих элементов (шпангоутов), а также как самостоятельных элементов конструкции они могут быть нагружены 'радиальными силами, касательными силами и моментами.
Предположим, что все внешние силы известны или могут быть определены по уравнениям статики. Тогда кольцо будет внешне статически определимым. В то же время оно будет внутренне трижды статически неопределимым. Это значит, что внутренние силовые факторы в сечении кольца могут быть определены только в результате решения трех уравнений перемещений; Общий метод раскрытия статической неопределимости (метод канонических уравнений) подробно рассмотрен в курсах сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем.
Однако применительно к замкнутым кольцам, нагруженным произвольно расположенными силами МОЖНО рЕКОмЕНдОВать бОЛЕЕ ЭффЕКтИвНЫЕ МЕтсдЫ 15, 241. Предположим, что кольцо нагружено несколькими радиальными силами ЄЄ..., Р„, несколькими касательными силами Т„Т„..., Т и несколькими моментами И„Щ, ...
И~,причем все эти нагрузки 126 взаимно уравновешены. На рис. 4.9„а показаны одна радиальная сила Р~, одна касательная сила Т~ и один момент Я~. Углы, определяюшие положение точек приложения указанных нагрузок, обозначены соответственно В, ср~, ~р„. Чтобы раскрыть статическую неопределимость, разрежем кольцо по сечению ~р = О, приложим неизвестные сйловые факторы Х„Х„Х, (рис. 4.9, б) и приравняем нулю взаимные перемещения концов в месте разреза в направлениях действия силовых факторов Х1, Х„Х,: 61 О 62 о 63 о Считая кольцо тонким, т. е, предполагая, что размеры поперечного сечения малы по сравнению с радиусом, а также принимая, что деформации растяжения и сдвига пренебрежимо малы по срав- нению с деформациями изгиба, и применяя для вычисления переме- щений интеграл Мора, получим здесь М7' = 1; М'," = 1г (1 — соя ср); М'~"= 1г 81п ~у — изгибающие моменты в текущем сечении кольца от единичных нагрузок, соответствующих неизвестным силовым факторам Х„Х„Х~ (рис.
4.9,в, гид); Х 1» Рис. 4.11 Рис. 4.10 Рис. 4.И 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 0,15916 0,16037 0„16398 0,16994 0,17816 0,18850 0,20082 0,21490 0,23060 0,24754 0,26555 0,28430 0,30349 0,32279 0,34187 0,36039 0,37800 0,39437 0,40916 0,42204 0,43271 О,44088 0,44628 0,44867 0,44783 0,44358 0,43578 0,42432 0,40913 0,39039 0,36749 0,34112 0,31112 0,27778 0,24116 0,20152 0,15916 Π— 0,01392 — 0,02805 — 0,04261 — 0,05778 — 0,07376 — 0,09074 — 0,10887 — 0,12325 — О, 14915 — 0,17152 — 0,19551 — 0,22117 — 0,24848 — 0,27750 —.0,30814 — 0,34036 — 0,37408 — 0,40916 — 0,44544 — 0,48274 — 0,51089 — 0,55962 — О,59878 — 0,63683 — 0,67675 — 0,71514 — 0„75271 — 0,78910 — 0,82400 — 0,85709 — 0,88803 — 0,91652 — 0,94224 — 0,96490 — 0,98424 — 1,00000 Π— 0,04163 — 0,08306 — 0,12405 — 0,16443 — 0,20396 — 0,24249 — 0 27979 — 0,31572 — '0,35003 — 0,38273 — 0,41352 — 0,44233.
— 0,46905 — 0,49355 — 0,51579 — 0,53569 — 0,55321 — 0,56831 — 0,58098 — 0,59125 — 0,60413 — 0,60466 — 0,60793 — 0,60899 — 0,60796 — 0,60495 — 0,60008 — 0,59350 — 0,58535 — 0,57583 — 0,56507 — 0,55331 — 0,54071 — 0,52749 — 0,51385 — 0,5000О 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 27О 275 280 285 290 295 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 0,11437 0,06751 0,01896 — 0,03086 — 0,08150 — 0,13251 - — 0,18340 — 0,23366 — 0,28279 — 0,33026 — 0,37557 — 0,41319 — 0,45764 — 0,49341 — 0,52504 — 0,55209 — 0,57415 — 0,59084 — 0,60183 — 0,60680 — 0,60554 -0,59782 — 0,58351 — 0,56253 — 0,53485 — 0,50049 — 0,45956 — 0,41221 — 0,35866 — 0,29918 — 0,23411 — 0,16386 — 0,08838 — 0,00967 0,07321 О, 15916 — 1,01 У вЂ” 1,02369 — 1,02318 — 1,01827 — 1,00893 — О 99516 — 0,97695 — 0,95440 — 0,92764 — 0,89683 — 0,86217 — 0,82393 — 0,78240 — 0,73793 — 0,69090 — 0,64172 — О 59084 — 0,53876 — 0,48598 — 0,43304 — 0,38048 — 0,32889 — 0,27883 — 0,23090 — ф 18568 — 0,14374 — 0,10565 — 0,07198 — 0,04323 — 0,01992 — 0,00252 0,00854 0,01286 0,01012 0 — 0,48615 — 0,47251 — 0,45929 — 0,44668 — 0,43492 — 0,42417 — 0,41465 — 0,40650 — 0,39992 — 0,39505 — 0,39204 — 0,39101 — О 39206 — 0,39533 — 0,40087 — 0,40375 — 0,41901 — 0,43169 — 0,44679 — 0,46431 — 0,48421 — 0,50644 — 0,53095 — 0,55767 — 0,58648 — 0,61727 — 0,64992 — 0,68423 — О 72021 — 0,75751 — 0,79603 — 0,83557 — О 87595 — 0,91695 -0,95838 — 1,ООООО Пример 4.4.
Кольцо нагружено тремя симметрично расположенными радиальными силами Р (рис. 4.10,а). Изгибающий момент в произвольном сечении определяется по первому уравнению (4.41). Момент в сечении А М вЂ” Ргу р (60') — РгХ р (180') — Ргудр (300'). Подставив взятые из табл. 4.2 значения функций, получим М = 0,100 Рг.
Аналогично определим момент в сечении В: М = — Рг~ р (О') — Ргф~р (120 ) — Рг~ядр (240') = — 0,189Рг» в= др Эпюра изгибающих моментов показана на рис, 4.10, б. а=ге -Рг Пример 4.5. Кольцо нагружено силами и моментом, как показано на рис. 4.11, а. Изгибающий момент в сечениях А и В имеет следующие значения: М ~ — — Рг~д т (90')+2Рг~д~и (180') — Рг'Хд г (270') = О; Мв — РгХд т «45') + 2Рг уды (135') — Ргуд ~ (225') = — 0,0966Рг. Аналогично может быть вычислен момент в сечениях С, О, Е: Мс= — 0,1366Рг, М~=О,1963Рг, Ме= + 1,0ОРг. Эпюра моментов приведена на рис. 4.11, б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
