Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 15
Текст из файла (страница 15)
5.5, б), Поскольку искривление пластины в поперечном направлении ничем не стеснено, пластину можно рассматривать как совокупность отдельных продольных полосок, каждая из которых деформируется как брус. Следовательно, в этом случае приме- нимы обычные формулы теории изгиба бруса как для напря- жений а("' 1= ~~'~ ° а~М =О у Г2 (5.14) так и для кривизны в продольном направлении ( — ) = — ~ —,„,) = ',, (5.15) 12 В отличие от цилиндрического изгиба при чистом изгибе пластина искривляется также и в поперечном направлении.
Радиус кривизны поверхности в поперечном направлении р, можно определить, используя зависимость между деформациями е и е в произвольном слое пластины. Так как напряженное состояние одноосное, то е = — ре„. И~2 (~ ° У ДЗь 12 Ф~З Ц' э Х ~р е 12 1 д~~~ р дх (5.17) т~ — рл~ И Е— 12 (5.18) 1 д~а ру дф Шэ — ~МИ~ Ю Е— Г2 Рассмотрим некоторые частные случаи. 1.
Сферический шгиб. Если моменты т, и т, одинаковы по величине, то 1 1 п~! — р) Рх Ру 12 Нетрудно показать, что в этом случае кривизна упругой поверхности в любом направлении имеет одинаковые значения; следовательно, плоскость пластины, деформируясь, переходит в сфериче- 165 Подставив в это равенство е„= —; е„= —, ,г р» ру . придем к следующим зависимостям.
ф',,; ( — ) = — р~ — ) или ~ —,) ' = — р~ —,) ', д,16) Аналогично определяют напряжения и кривизну при нагруже-"'„;, нии моментом т,. При совместном действии моментов и, и и, напряжения и кри- ~' . визны суммируются: Приведем краткий вывод основных уравнений теории осесимметричного изгиба круглых пластин. При осесимметричном нагружении все величины являются функциями только текущего радиуса к; следовательно, данная задача одномерная. Рассмотрим деформации пластины.
На рис. 5.7, а и б пластина изображена в разрезе до и после деформации. Вследствие того, что прогиб мал, можно принять, что тот Фг чки а и Ь; принадлежащие срединной плоскости, смещаются только по вертикали. Нормаль к средин- 9Ч ной плоскости в произвольной тсч- Щ ке а поворачивается на некоторый угол 6; при этом она остается прямой и перпендикулярной упругой мЪ поверхности пластины. При переЭ+~~ ходе от точки а к соседней точке Ь радиус г получает приращение дг; ф соответственно угол наклона норРис.
5.7 мали 6 получает приращение ~Ю. Вычислим относительные деформации в произвольном слое, расположенном на расстоянии г от срединной плоскости. Относительное удлинение в радиальном направлении с14 — ~~ ИГ+(6+ Иб) ~ — Юг1 — ~г е,= сд Й 1 или после сокращений (5.24) ег Окружную деформацию определим как изменение длины окруж- ности, проходящей через тачку с: 2л (г+ бг) — 2лг 2пг Э или 6 ес= — ~ г (5. 25) За.положительное направление координаты г принято направление вниз.
По деформациям е, и е, на основании закона Гука определим напряжения. Так как в площадках, параллельных срединной плоскости, о, равно нулю, то а, а~ е р ° Е Е 168 (5.27) Подставив пад знак интегралов выражения напряжений (5.26) и (5.27) и выполнив интегрирование, получим (5.29) (5.3О) Решив эти два равенства относительно напряжений и подставив значения деформаций по уравнениям (5.24), (5.25), получим: Напряжения о', и а~ линейно зависят от координаты г; эпюры этих напряжений приведены на рис.
5.8. Кроме нормальных напряжений и, и а~, в грани, перпендикулярной радиусу, в общем случае возникает еще касательное напряжение т„, перпендикулярное срединной плоскости. Это напряжение распределено по толщине пластины по параболическому закону (см. рис. 5.8). При г = +. — оно равно нулю (что легко доказать на Ь =основании закона парности ка- '-'- сательных напряжений). На --':~:;- срединной поверхности касатель- "'~,.ное напряжение достигает мак- :симума. Роль этого напряжения, =;;еднако, невелика, так как обыч- ': ~' но оно бывает значительно мень- ' ц1е максимального нормального ~гг .::.напряжения; в тех же точках, $ б '.' где нормальное напряжение до- Рис.
5.8 ',,- Огигает максимума, касательное напряжение ~„равно нулю. ~.',. Однако равнодействующей касательных напряжений, т. е. попе- речной силой Я, пренебречь нельзя, так как она играет важную -':,'". роль в уравнениях равновесия элемента пластины. При интегрировании напряжений по площади граней элемента пластины (см. рис, 5.8) нормальные напряжения можно привести к изгибающим моментам М, и М~, а касательные — к поперечной . " силе Я.
Все эти силовые факторы принято относить к единице длины; : - соответственно размерность моментов М, и М, — Н см/см, а силы Я вЂ” Н1см. Представим изгибающие моменты в радиальном . и окружном направлениях в виде интегралов: Ь Ь 2 2 и, = ~,г Иг; И = 1 о Иг. (5.28) Согласно этому условию, в 8 81о1 ~ 8 ° 16 ° 10» о, л р РЯ4 6 й'= — (я~г — гз) Й '-й[ Рис. о.И ф где Выражение силы нного интеграла во Мелом, равным внут лом, равным текуще л в г ° Ю г — р (Р-а~) Иг 2г а О=С г+ — +— С, г Ог %$ л а и ганг; амй г.а г, РЯЭ 160 с,я рЯЯ 16П ' Функция 9 для первого варианта (см. рис.
5.12, б) имеет вид Ю = — (я'г — гз). Р 160 6 М.- Запишем еще выражения для — и г Ф' — — (Й' — г'); 6 Р г 160 М Р вЂ” (Я» — Эг~). Юг 160 б иЬ Задавшись рядом значений радиуса г и вычислив величины — е — по фор- г аг мулам (5.29) и (5.30), найдем изгибающие моменты. Аналогично ведут расчеты для второго варианта (см.
рис.5.12, в). В этом случае на наружном краю пластины радиальный изгибающий момент равен нулю, следовательно, имеет место усиовие М г ~е а~ — +Р Ь;н в' рФ а' р~ Подставив в это равенство выра- а) г ~ жение 6 и положив С~ О, получим Р1ф ~Ф Ж уравнение 1 д Зрят РЯЗ %~ С,— — +~С,— 1 — -О, нв которого нвйоем 3+Р Рй~ ~ц~ 1+р 16~' С1 В:м~ в — ~ ф Функция 6 для второго варианта Эпюры моментов для обоих вариантов представлены на рис.
5.13, а и б. Сопоставив эпюры, можно сделать следующие выводы. При шарнирно опертых краях максимальный изгибающий момент возникает в центре, а при заделан-- ных краях — у края. Величина максимального момента для шарнирно опертой пластины приблизительно в 1,5 раза больше, чем для пластины с жестко заделанными краями. Учитывая, однако, что края плас1ины в действительности скорее заделаны, чем оперты шарнирно, можно ожидать, что величина изгибающих РЯИ моментов в центре не превысит значения †, равного значению момента М,. у заделки в первом варианте. Поэтому в качестве расчетного примем первый варнант. Наиболее опасная точка в этом случае будет около заделки.
Напряжения Ь в этой точке (при г =,Й и г = — -, т. е. сверху) М вах бра Му ° брйз ов тел -~ — - — ' Олтвл -1 ~ Ьз 8Ю ' Ь 8 6 6 Третье главное напряжение а, согласно принятому доиущению равно нулю. Так как материал пластины — пластичный, используем гипотезу прочиоети наибольших касательных напряжений~ бра~ в о'вкв' о1 — Оа Приравняв эквивалентное напряжение допускаемому, найдем Заметим, что если в качестве расчетного йринять второй вариант, то толщина ,- получается равной Ь ш 2,5 см, Определим прогиб пластины для первого варианта. Согласно зависимости (5.39а), При заданных числовых значениях Ц~ ЕЬЗ 14,6 ° 1Ое И ° см1 12 (1 — 1д) савах О,О35 см.
Так как прогиб мал по сравнению с толщиной, то применение теории, основан-" ой на предположении о малости прогиба, в данном случае оправдано. Пример 5.3. Определить напряжения и деформации в диафрагме, преднаэна'~щнной для измерения расхода жидкости (рис. 5.14). Сопротивление, создаваемое афрагмой при протекании жидкости, . вызывает перепад давления, по ъелиине которого можно судить о расходе. И~ 1 Ю Дано: Ь = 3 а; Ь вЂ” а', иэбыточ- р 2О ое давление р можно считать равно:. ' рно распределенным по плоскости афрагмы. Вырезав нз диафрагмы кольцо "'Ф внутренним радиусом а и наружным "радиусом г (рис.
5. И) и составив сумму оекций сил на ось кольца, найдем по- речную силу Рис. 5.14 2л (~ подставим в формулу (5.35); при этом вместо неопред эьмем определенный интеграл с постоянным нижним пререннему радиусу пластины, и переменным верхним преде- му радиусу г: По уравнению (5.35) С» Р г г 6=Сг+ — — — — 1пг — — . г 2л0 2 4 6 = С~г+ — —— С» г 160 г4 — аа г — — 4паг )ив г а Ю вЂ” =С,— дг г» 16В ~ а4 Зг»+ — — 4໠— 4а» 1п— г» С, (1+р) — —,- (1 — р) =О; С» или С~Ь+ — - —— С р Ь 1Я) С-0233 Г' С»=0433 О Окончательио: а'6 ра» дг П 0,233+ 0,495 — — 0,0625 — + 0,25 1п — 1 а' ' а 1 0,483- 0,495 — — 0,1875 — »+ 0,25 1и — 1 Рис. Б.16 Рис.
Б.И Из этого условия следу~т С 0 ере Ф и, следовательно, Р Ь ф= — г 1и —. 4лХ) (1+р) 1и — — 1 Ь М О вЂ” +р— (1+р) 1п — — р г г 1Й 4Й 177 176 Нижние пределы влияют только на величину постоянных С, и С». Вместе с тем, для кольцевой пластины уравнение, к которому приводится граничное условие на внутреннем краю пластины, получается более простое, так как при г= а сЮ интегралы в выражениях для 6 и — обращаются в нуль. аг Вычислив интеграл, получим следующие выражения функции 9 и ее производной: Постоянные С1 и С» определим, согласно граничным условиям: при г = а М„= 0; --+р — =О; 6 Й г при г=Ь 6= 0 Решив эти уравнения при Ь = За и р = О,З, найдем В ычислив при нескольких значениях радиуса гвеличины — и — по за 6 г Ь'а ~~ висимостям (5.29) и (5.30) определим изгибающие моменты М и М~.
Результаты расчетов представлены на рис. 5.15 в виде эпюр. Наибольшей величины изгибающий момент М, достигает около заделки. Напряжения в наиболее опасной точке М г п)ах М( п)ах и ~ — „2360 р; па= „~ ~юУ)0 р. 6 6 Эквивалентное напряжение авкв*=а1 — Ов — — ог — 0=2360 р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
