Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Прогиб пластины, согласно формуле (5.39а): Ф т — Оаг=о,962 — =16,8 ° !Оь —, ра' ра 'Е' ь Заметим, что данная задача может быть решена более просто методом начальиых параметров, изложенным в 5 4. Пример 5.4. Пластина с жестко заделанными краями нагружена сосредоточенной силой Р в центре (рис. 5.16). Интенсивность поперечной силы в данном случае Р Я )а 2лг ' Для того чтобы устранить логарифм размерной величины, добавим и вычтем Рг1п Ь ,-.:на этого уравнения проиавеиение — (Ь вЂ” наружный радиус пластины).
4лй Тогда функция 6 примет вид С» Рг Ь Рг О=С,г+ — »+ — 1и — — — 1" Ь+" г 4ла у 4пв В~В Последние слагаемые, содержащие г в первой степени, можно отбросить, так как это повлияет лишь на величину постоянной С1, тогда С» Рг Ь 6= С г+ — '+ — !и —.
г 4лЗ Постоянную С, следует принять равной нулю, так как пластина сплошная (не кольцевая). Для определения постоянной С1 необходимо использовать граничное условие на наружном краю пластины: 6 *О при г Ь. Напишем еще выражения изгибающих момеитсе: На кольцевой опоре возникает сила Р рп [(4а)4 — (2а)'[=12рлгР.
Разобьем пластину на три участка. Так как внутренний край не закреплен, то ~ — г) =О. гМ 4 '(В )и В торой начальный параметр ~ — ) пока ненэвесши и одл /01 Г ~4! стен и подлежит определ согласно граничному условию нв наружном краю пластины. В данном сл наружный край также свободен, следовательно, при г гз, 4а Мг О.
Используя второе уравнение (5.53), напишем это граничное условие в ра нутом виде 4э данном случае а = — р): ~--) -Г), В/зз (г/пфге( ' В фгз(',"+ В ф"(' )-' М') 1' 0'1 р (4а)' 12рпаз Подставив значения функцяй фге (0,26) 0,4266; фгв (0,5) = О 0902 фгр (0,75) = 0.0420 (см. табл. 5И) и решив уравнение, найдем чальный параметр . ~ — ) =0,328Р— '. Далее, пользуясь уравнениями (5.63), моишо вычислить М .М в шобой точке пластины: Г4 ' при г=ггх=а 74 =1; —,'-В-/44- ' При г=ггэ=ра 74 =054 ( В-) = ~ — ) фго(0,5) = — 0,112 — °- ~ф, = Я фю(О 5) = — 0.186~~; /01 шм — Шгт=-~~ — ) (2 )'р О(0,5)=0 320 Р" ~г) В ' Прн г гхэ За (второй участок) При г=гм.
4а (третий участок) ра4 , что нв опоре пр ш — 0,735 —; рйз В' ш, = м ш -[-0,320 — — 0.416 — 1 ра4 ра4 В ' В ' шж = ш,д -[-1,382 — = 0,647 — . Р~~ Р~ В ' В ' згибающих моментов и прогибов представлены на рис. 5418. рой изгибающие моменты л большей величины эх = — 0,535 раз; 4Х „= — 0,329раз. ьные напряжения = — =8020 Н[смэ; ~ттая Лэ 6 — — 4930 Н[смэ. М Ьэ 6 йЯар мг ЦЯЯР ем. ию равновесия половины кольца найдем нзгкбающий момент в пе- чении М М ределим по зависимости (4.22) теории осеснмметричной деформации М М/7 ф= Е/э Е/х ' ВЯ4 ГДЕ гл — — МОМЕНТ ИИЕрцин сеченнв ребра. х, 12 После подстановки заданных величин получим Мгп а.956 Мг44а 6 254 12 .6. Пластина, жестко эаде- аружному кроо и подкрепнутреннему краю кольцевым ужена силой Р, приложенной ости радиуса Ь (рис.
5.19, а). ф = 106; Ь= 1,25а; с 2,5а; = 5; // = 26; В = 9,56. имере оба начальных парвестны. Для того чтобы выра- д фауг ф начальный параметр' через Рис. 5.1У делим ребро от плвстниы н гол поворота поперечного а ф в зависимости от момеята М,п (рис. 5.19, б). Так как ребро о можно рассматривать как кольцо с иедеформируемым попереч- 187 и 1 — ') вместо Р* — Рп1 вместо д/ — (/д н вместо Адд, Х» и г )дд ~1/Дп Х/- Ц = — ". В результате получим Пд <~) <В) ф (Лд+<~/~1 ) /Лдр р„)+ "и .~~ ф ()„) ) Чдг/2 В~ + /Д, 1—2 ,. 2222()Ч)' </д )д = й, Ьф ( ) +<Г'-)пФ ( )+Ъ.Ф (Лд+ + ",",' ф.2(~/) Этн уравнения можно представить в матричной форме Х, 7./Х/д+ Яд, (5.57) где Хп и Хм — значения вектора состояния в начале и в конце участка; 7.2 — матрица перехода от начала к концу участка (5.58) тавнм вектор Х в виде суммы Х=Х С+Х, еопределенный коэффициент.
Х первого расчета вычисляют без учета внешней нагрузри /дд = О. альной точке первого участка вектор Х выбирают с учетом х условии внутреннего жестко заделанного края < — ~ =О и /б1 Х„ края, шарнирно опертого или свободного, ~ф = О и < дг /дд д„-(,'). ачение следует принимать, если к внутреннему краю приспределенный радиальный момент заданной интенсивности; я пластины, подкрепленной по внутреннему краю кольцеом: Хд, —— )гд — нагрузочный член, представлядощий собой матрицу столбец 1 ц ~~д 2/г)2 — .— ф„().)+ " .— ф„(л,) г —, дг г ()ч) + ='д' — дг ()ч) (5.59) Рассмотрим, вначале пластину с несколькими участками раз-. личной толщины, но без кольцевых ребер.
В этом случае на основаМг нии условий сопряжения участков функции — и — 'должны быть г Е/д непрерывными. Следовательно, значения вектора Х в конце предыдущего и в начале следуюшего участка должны быть одинаковы. Если были бы известны оба начальных параметра (оба компонента вектора Х„ а начальной точке), то, пользуясь уравнением (5,57) и переходя от участка к участку, можно было бы определить значения вектора Х во всех точках пластины. В действительности, однако, один из двух начальных параметров неизвестен и подлежит определению из граничного условия на наружном контуре пластины. В связи с этим целесообразно применить способ двух расчетов.
относительная податливость ребра. случае, когда ребро можно рассматривать как кольцо с неуемым поперечным сечением: Е./ (5.6Ц где )г средний радиус ребра; г) для сплошной (не кольцевой) пластины следует принять Ъ,' Хм= 1+я, 7М,'1 /И '1 -', так как в этом случае1 — /1 = ~ — 1 =! и, следовательно на осно- 1/г /1д 1/г /П Ф ванин уравнения (5.49) Щ„- — „'„ Вектор Х второго расчета вычисляют с учетом заданной нагрузки. Перед началом второго расчета вычисляют усилия Рп в начальной точке каждого участка. Вектор Х„в начальной точке первого участка я," во всех случаях принимают равным нулю, за исключением двух слу- чаев: 191 — — С+ — =0 бная жесткость пластины илн 0,5816 С вЂ” — О 0,1409=0, 1 нты инерции сечений ребер: откуда С=0,242 —. рав Р,' Ух1 — — 1 ! =0,667 см4; в,н; х1 — 12 — ° ВИН3 В,Ь» = — — — =0,299 см4.
х = 12 12 едовательно, (ф -о. 6) Рис. 6,28 Рис. 6.22 '9 = 1» ') ~ =1 245 ° 10». Следовательно, 196 Используя граничное условие на наружном краю пластины, определим коэффициент С. В данном случае Согласно равенству»5.60), вычислим значения вектора Х: /0,186~ рав (0,1236 ~ рав ~0,2421 .01' Х' Х ~0,0357/ Ь1 ' 0 ~ рав Х вЂ” 0,5405 / .О Второй компонент вектора Х, умноженный на 01, дает величину радиального момента М,, Окружной момент М~ и раэносгь прогибов в начале и в конце каждого участка вычислим по зависимостям «5.49), «5.62).
Эпюры моментов М, и М~ и перемещений э Р приведены на рис. 5.22. Наибольшие напряжения в пластине возникают у заделки 0,540 ра»6 1220 Н~смв, 0,162ра»6 П ример 6.8. Определить напряжения и прогиб пластины, схема которой иэоб ажена на рнс. 5.23, а. ано: Ь вЂ” 0,8 см; а = 1ОЬ; В1 = 1 см; Н, = 2 см; В = 1 см; Н, = 1,ь см; й, = 7,5 см; й~ = 2а = 16 см; материал — дюралюминий; Е= 0,72 1Ф Н/см'; р = 0,3; Т1 = 1000 Н; Тв = 2000 Н. имеет два участка: а 2а Х1 — — — = 0,5; Хв= — —— 0,5. 0 =0 =0=, =3,375 10» Н см.
Еьз й расчеи. Принимаем — 1, тогда по зависимости «5.61) Мр и ( — — = 0,527. Ф Я~,0 г !$ Бу„х — 0,527 ения вектора Х в других точках: — — ~~О~ «0,5) И»0,5) ~ ~0,527~ ~0,645~ х-=~х.=~~, «,„Ф, »,,,)1 О 645 О 645 1 (0,917) (1,174) — — (~РОЙ «0.5) феи»О 5) ~(Оэ645~ ~0.770~ Х"=~'~в1=~~,~ »0,5) р, «0,5) ~ ~1,174/ ~1,085/' рой расчвш. ислим поперечные силы в начальных точках участков.' -Т, — 1000 Н, "Р = — Т вЂ” т — 3000 Н; для определения начального параметра — отделим внутреннее ребро 1' 11 ,(рис. 5.23, 6) и вычислим угол поворота сечения ребра под действием осевых Значения вектора У в других точках'.
— 'ф69 (О,б) ф~щ (О,б) 'фг~ (О,б) ~ф, (О,б) '-,'-'Ф" (О б) + ~и,~ ~О б) — 269 1О-' ' 1б,б 10-' 0 — 67 10- — 67 10- 1 — 269 10-в — 29б,в 10-в ' 2а0 фр (О,б) 67 1О-' ~, ~о,б) 29б,в 10- р„<о,б) Х22 Е2Х21 + Р2 'Ф,б (О,б) в-'~ ~0 б) — 370. 10- + Р21 „~О б) — 106б 10-' Согласно граничному условию на наружном контуре пластины'определим С: 1,08бС вЂ” 106б 10-»=О; С=982 10-». Искомые значения: б34~ 982 ~ 567 Хи= 10 в; 731 386 Х22= 10»; О б67 Х„= 10-»; М,д — — 982 ° 10 ° В =331 Н ° см,~см; М 2=247 Н~см; М„«1 -— 289 Н см(см1 М 22=0' М~11 — — РМ,11+ (1 — Р«) В = 0,3 - 331+534 ° 10 «(1 — 0,32) 3,375 ° 10« 6 Г 11 =264 Н ° см~см; М~ 2 — — 248 Н ° см/см; Ми«1 — — 261 Н ° см~см; М««а — — 119 Н ° см/см; жд» вЂ” и,д — — — (2а)'ф р (0,5) -534 ° 10 ' — (2а)' ф,а«(0,5) 982 ° 10 «вЂ” — — '1 (2а)аф««,р (0,5) = — 0,0553 см; Р11 и — ы = — (4а)з~р о(0,5) -567 ° 10 « — (4а)'ф„„,(0,5) 856 ° 10 »в — —:21 (4а) «1~ Р (0,5) — 0,188 см.
Так как и22 = О, то в«1 = ы,а = 0,188 см и максимальный прогиб в11 — — 0,188+ 0,0553 = 0,2433 см. ксимальное напряжение в пластине =3100 Н~см'. М 334 ° 6 ~г«пах у 08« 6 Напряжение во внутреннем ребре Н~ ах=— 2 о = — — Е=4100 Н/см«. 6 ао1 П1а" Г 11 Х~~2 Пример 5.9. Определить напряжения в пластине кольцевого клапана ис.5.24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
