Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пример 4.6. Кольцо, опирающееся на жесткую опору, нагружено силами собственного веса (рнс. 4.12, а). Для того чтобы получить выражение изгибающего ~У~гг момента в текущем сечении, возьмем произвольное сечение А под углом а к верти«али и будем отсчитывать угол ~р от этого сечения. На кольцо действует сосредото; ченная сила реакции опоры Р = — 2лу', расположенная под углом (я — а) относительно точки А, а также распределенная нагрузка д.
131 После сокращений получим (Ц вЂ” — Ф = — о1г; йр дФ вЂ” + 9= — д.г," г Дф ЖИ. Я вЂ” О «Й~> (4.45) (4.49) или с учетом равенства (4..48): (4.49а) Рис. 4.17 '; или Рис. 4.18 где аА =аЬ г йр. Напишем уравнения равновесия элемента кольца: Слагаемые, имеющие более высокий порядок малости, в этих уравнениях- отброшены. Исключив из системы уравнений (4.45) У и 9, получим уравнение.с одним неизвестным: (4.46) Рассмотрим теперь перемещения и деформации элемента кольца.
При этом будем считать кольцо нерастяжимым, т. е. будем полагать деформацию в окружном направлении равной нулю. На рис. 4.11, б изображен элемент кольца ло и посЛе деформации. Обозначим радиальное и касательное смещения точки кольца через в и и и угол поворота нормали через 6. Перемещения точки Ь отличаются от перемещений точки а на бесконечно..малые приращения Йа, кЬ и Н«. Направления- перемещений в„о; 6, указанные на рис. 4.17, б, приняты за положительные. Приравняв нулю сумму проекций звеньев замкнутого многоугольнйка аФа1Ь11Ьа на иаправленйе радиуса и на направление касательной к окружности и положив, ввиду малости перемещений, з1п 6 = 6, соа б = 1, а также яп йр = байр, сов Иу =.
1, получим два уравнения:- и — а,Ь~О+(о+Но) дф — (в+Йа) =О; о+а1Ь1 — (ю+ йо) — в йр- аЬ = О, ««д (4.47) в=— (4.48) Й~> Изменение кривизны элемента аЬ равно производной от угла ' поворота 6 по дуге С другой стороны изменение кривизны связано с изгибающим моментом соотношением упругости Приравняв правые части равенств (4.49а) и (4.50), получим диф,- ференциальное уравнение упругой линии ,', кольца У вЂ” „, + в= — —. (4.51) С учетом уравнения (4.46) дифференциальное уравнение упругой линии можно представить также в следующем- виде: Если зависимость изгибающего момента М от угла ~ уже известна, то радиальное перемещение в наиболее просто можно определить интегрированием уравнения (4.51).
В некоторых сл чаях в частности при составлении уравнений совместносуи деформаций кольца и сопряженной с ним.оболочки,.более удобно применять уравнение (4.52). При использовании этого уравнения нагрузки раскладывают в ряд и решение также находят ' в виде ряда. Укажем еще один весьма удобный метод определения перемещений [5). 'Таблица 4.8 г !ор) т Ор) (4.59) В~~де~ обозначения: й 2 сов Ьр Т('р)= ~ и<о ц»' СО 'Д еш йр 0М) — ~( А~г (4.60) (4.61) (4.63) Заметим, что в интервале О ~ ~р ~ 180' функции 8, Т и 0 можно представить также следующими выражениями !51: 1 1 Ф 3 Ф Л~ ф 8 (~р) = — — + — — — — — л(р+ — соя ~р+ — ип «р', 2 4 3 4 2 4 л~ лу ф 1 ~Р 23 Ф Т ® = — 1+ —.
— — + — + — — — — — юар+ — соар+ 6 2 4 4 3 4 2 3 + — (~ — 9) 81п <р; д— 1 лР 11 (р1 2 О (у) (1 — соз ~р) + — — — — — я~р+ — Йп ~р. 4 3 4 2 Постоянные А, В, С в формулах (4.63), (4,64) зависят от перемещений кольца как жесткого целого (три степени свободы) и определяются из условия равенства нулю перемещений в точках закрепления, Если же кольцо не закреплено, то А, В, С следует положить раоными нулю.
В случае статически неопределимого кольца с более чем тремя внешними связями условия равенства нулю перемещений на опорах позволякл составить необходимое и достаточное количество уравнений для определения постоянных А, В, С и неизвестных реакций. Остановимся на случае нагружения кольца сосредоточенным моментом (рис.
4 19, а). Представим момент И в виде пары сил с плечом ~г, где р— ... сколь угодно малый угол (рис. 4.19, б), тогда силы будут равны ИИ Разложив каждую силу на радиальную и касательную составляю- 141 (4.63) (4.64) йТ = — Ц =Я. Фр "Ж (4.66) После подстановки под знак интеграла выражения (4.58) и интегрирования получим о= А — Вы'п~р+Ссоз~+ сов Ю 0р — ~р~) пЮ„Ьз(Π— ~)' =1 й=г и со Р~Р Ч~ 8!и А (ц> — <р;)- я,ЕЗ„~Ы~ й (И вЂ” 1)~ в=г Тогда формулы (4,58) и (4.59) можно записать более кратко: в Всов~р+Св1п~р+~~~~~ — '~ Я~~р — ~р~)+ 1 о= Л вЂ” В 8!п ~+Ссоз ~р — ~~~~ ~~~ У(~р — ~рД+ ! Т," + „~~ Т(Ч вЂ” Ч~).
Числовые значения функций Я, О, Т приведены в табл. 4.3. Таблица составлена для значений угла в интервале О.=:.- ~р =- 18О', что достаточно, так как функции Я и Т вЂ” симметричные, а функция 0 — обратно симметричная, т. е. 3(~р) Я(2ж-~р); Т(~) =Т(2д-~р); У(ф»= — У(2л-~р). (4.65) Эти функция связаны между собой простыми дифференциаль-ными соотношениями .,О 5 1О 25 ЗО 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 О,!3497 0,13177 0,12288 0,10934 0,09214 0,07328 . 0,05О69 0,02823 0,00571 — 0,0!614 — 0,03670 — 0,05539 — 0,07176 — 0,08545 — 0,09618 — О,!0377 — 0,10814 — 0,10930 — 0,10730 0,02990 0,02939 0,02788 0,02543 0,02216 0,01818 0,01366 0,00875 0,00363 — 0,00154 — 0,00659 — 0,01136 — 0,01571 — 0,01951 — 0,02266 — О;02509 — 0,02672 — 0,02754 — 0,02752 0 0,01165 0,02280 0,03300 0,04183 0,04903 0,05440 0,05782 0,05928 0,05881 0,05650 0,05248 0,04693 0,04005 0,03210 0,02335 0,01406 0,00455 0,00492 95 100 105 !10 1!5 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 0,1023 2 — 0,09458 — 0,08437 — 0,0720 2 — 0,05791 — 0,04245 — 0,02607 — 0,00920 0,00769 0,02417 0,0398 4 0,05429 0,06717 0,07816 0,087 ОО 0,09347 0,09741 0,09873 — 0,02669 — 0,02508 — О,02275 — 0,01978 — 0,01627 — 0,01231 — 0,00803 — 0,00355 0„00!00 0,00549 0,00979 0,01379 0,01738 0,02046 0,02295 0,02478 0,02589 0,02627 — 0,01408 — 0,02268 — 0,03050 — 0„03734 — 0,04263 — 0,04742 — 0,05043 — 0,05197 — 0,05203 — 0,05062 — 0,04781 — 0,04370 — 0,03839 — 0,03204 — 0,02482 — 0,01693 — 0,00858 0 Согласно первому условию, Следовательно, 1 '+ 2 соэ 2«р + 2 соэ 4«р + ." Р— (+ ~ 2 сойер ° лг й 2 4.6-" о~куда Ргв А~ 4Е./ Окончательно Ргв ~л и)а ЕХ 3 и Таким образом, Ргв2 сов Йр Х Ю.(2а — ()" Е-2,4,6 ...
д-до+ Х дйсовй( прн (и) = О' и «р = 18О" й 2.4,6 Ргв = О 0742 —. ЕХх 2 2 2 + + + 9 225 1225 Ргв ц)«)о Ж аэ«)вв лЕ1х 145 яРгв В ЗЕХ ' Согласно второму условию, на основании зависимости (4.47) с Ргв 1 $ А соэ 6)- В а1п «р+ — — — соэ «р+ — «р аЫ ~~1 О, Е«) 4 4 Д<р. 6' Ргв 1 ° а 1 1 61п Ф+ — соз «р — — «рсоа«А — — .
У х 4 8 4 т~ При «р = О' и «р = 180' Следовательно, изменение расстояния между точками А и В составляет Ргв 2, Ргв 8дв ®А+и)в — — — — . О21488— Е'~х 4 ~ ~"~х При «р 90' Изменение расстояния между точками С и 0 Ргв 1 2 Ргв б 2⫠— — — — — О,1З66 —. Е,7х 2 и, ' Е,~„' Решение е рядах. Заменим заданные силы Р распределенной нагрузкой д, приложенной по двум малым дугам рг (рис. 4.20, б): ~г д= — при — с'«р <- — и д,:- «р.~- (~+ Ф ~.
2 2 до при ~р~ я и и+ — <р 2— где р — произвольный, сколь угодно малый угол. Эту нагрузку разложим в ряд фурье; В данном случае следует взять ряд косинусов с четными'значениями А, так как нагрузка симметрична относительно диаметров АВ и СЭ. Коэффициенты рида вычисляют по общеизвестным методам. В данном случае Р 2Р ЧО= — 'р- «Ъ= Первый чл н этого ряда соответствует равномерно распределенной Радиальной нагрузке. Зта нагрузка ие вызывает изгиба -кольца.
Перемещения, соответствующие этой нагрузке, можно принять равными нулю, так как деформацни растяжения незначительны, $ Для определения перемещений, соответствующих иэгибной деформации кольца, подставим ряд в дифференциальное уравнение 14.52): "~'(' +2'( +'~ = Р ~ ( — 22в(.йр) (в данном случае д, д; дв — — О). Решение полученного уравнения ищем в виде следующего ряда: а в= ~ Сй сойер. (в 2,4.6 ... Вычислим производные СО ФО ~у ~(-а . РИ ( — Сф 61п Ьр); — „= ~ Сй~в 61п яч ~ ,~р, — 2и ' й~Р ~4 й 2,46....
~~.2,4,6 ... — = К ( — Сйй в1ойФ) ИаЛ а-г.4,6 ... и подставим их в дифференциальное уравнение ФО Р Е~» Х Сй ( — йв+ 2й — Ф) а(п Ьр = — Х (- 22 в(п Ьр) 2, 4, 6 ... )«2,4,6 .. Приравняв члены с одинаковым индексом Й в правой и левой части ра- венства, найдем Ргв2 ЕХхл (И вЂ” 1)в' Изменение расстояния между точками А и В составляет Ргз Ь,„= г, =0,1484 —. Еух' Для получения результата с точностью до трех значащих цифр в данном случае достаточно взять три члена ряда: при «;о=%' 2 2 2 Рз 9+225 — Л25+ -. = — 0.0684 —; ргз Ргз ~ 0Р) + — ~ (~ — 480'). пЕ ~х пЕЯ» Функция 5 обладает свойством четности, поэтому при вычислении перемещения какой-либо точки необходимо брать те значения функции, которые соответству«о«меньшей дуге между точкой приложения силы и рассматриваемой точкой. При «р =0' и «р = 180' ргз жо. = в «8о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
