Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 14
Текст из файла (страница 14)
по (ир Положите]]р,ное направление отсчета у — вииэ. Углы поворота поперечных сечений в радиальной плоскости могут быть вычислены аналогично с помощью уравнения (4.84); При этом постояннме В и С ' имеют те же эначения, что н при определении прогиба. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ИЗГИБА ПЛАСТИН Глава 5 9 $. Основные гипотезы теории изгиба пластин Пластиной называют плоское тело, ограниченное .двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнейию с размерами самих поверхностей. Срединная поверхность пластины, т. е.
поверхность, равноудаленная от наружных поверхностей, представляет собой плоскость. Этим пластины отличаются от оболочек, у которых срединная поверхность не плоская. В зависимости от формы контура пластины могут быть круглые, прямоугольные, эллиптические и т. д. Инженерная теория изгиба пластин основывается на следующих общих гипотезах. 1, Гипотеза неизменности нормалей, по которой принимают, что нормали к срединной поверхности при изгибе пластины не искривляются и остаются перпендикулярными к деформированной срединной поверхности пластины. Эта гипотеза позволяет установить простые зависимости между компонентами деформаций в произвольной точке- пластины и деформацией ее срединной плоскости.
'Эта гипотеза аналогична гипотезе плоских сечений для балок, 2. Гипотеза о ненадавливании одного слоя пластины на другой. Согласно этой гипотезе нормальные напряжения в площадках, параллельных срединной плоскости, считаются пренебрежимо малыми, т. е. напряженное состояние принимается за.плоское вместо трехосного. Кроме указанных гипотез (гипотез Кирхгофа), примем допущения, что толщина пластины мала по сравнению с размерами пла.- стины в плане и что прогиб мал по сравнению с толщиной, а также, что материал пластины — однородный, изотропный и подчиняющийся закону Гука.
Перечисленные гипотезы и допущения позволяют построить достаточно точную и простую инженерную теорию изгиба пластин. В некоторых случаях, однако, принятые допущения могут не выполняться. Так, например, на практике иногда применяют пластины большой толщины (более '4, размера в плане). К таким пластинам (плитам) гипотезы Кирхгофа неприменимы. При анализе напряжений и деформаций толстых плит напряженное состояние необходимо рассматривать как трехосное.
Ввиду сложности таких расчетов в настоящее время решение- получено только для некоторых простых частных случаев И61. Применяют также пластины, имеющие малую толщину, но работающие при больших прогибах. Если плоскость пластины при изгибе переходит в выпуклую поверхность двоякой кривизны, то, , кроме изгибных напряжений, в пластине возникают растягивающие мембранные напряжения. Ири малых прогибах мембранные напряжения пренебрежимо малы и их можно не учитывать. При больших прогибах мембранные напряжения получают преобладающее значение.
Теория изгиба пластин при больших прогибах изложена в работе ~11. В настоящее время в машиностроении все большее применение находят пластины, изготовленные из анизотропных материалов ~241. К ним относятся пластины из различных слоистых материалов, например, текстолита, стеклопластика и т. п. К анизотропным относятся также пластины, подкрепленные часто расположенными ребрами. Хотя материал пла «тины может быть и изотропным, наличие ребер приводит к тому, что изгибная жесткость пластины в разных направлениях различна. Такие пластины обычно называют конструктивно анизотропными или конструктивно ортотропными 131.
$3. Цилиндрический и чистый изгиб тоннии Пластин Цилиндрическим изгибом называется такой изгиб пластин, при котором срединная плоскость переходит в цилиндрическую поверхность. На рис. 5,1 изображена пластина, защемленная одним краем и нагруженная силой Р, равномерно распределенной по противоположному краю, Штриховой линией показана форма пластины в деформированном состоянии (строго говоря, около боковых сторон поверхность не будет точно цилиндрической), Отметим некоторые особенности / цилиндрического изгиба.
Во-пер- ф~ вых, в этом случае нет существен- / ной разницы между изгибом при малых и при больших перемещениях, так как искривление средин- Рис. 6.1 ной плоскости и переход ее в цил~щдрическую поверхность происходит без ее растяжения. Исключением является только тот случай; когда противоположные кромки пластины неподвижно закреплены; тогда цилиндрический изгиб пластины сопровождается растяжением в продольном направлении. Заметим еще, что при очень больших прогибах даже при простейшей схеме закрепления (рис. 6.1) может возникнуть нелинейность, )59 для балки оно отличается тем, что вместо изгибной жесткости балки ЕХ,„здесь берется цилиндрическая жесткость О. .Выразим напряжение а„через изгибающий момент М„; для этого исключим из равенств (5.6) и (5.7) ~» (~ ~ ум ° (5.12) Б Аналогичную формулу можно получить и для второго напряжения Муз (5.12а) 12 Формулы (5.12) не отличаются от общеизвестной формулы для ,нормальных напряжений при изгибе балки.
Знаменатель формул (5.12) и (5.12а) представляет собой момент инерции прямоугольника, имеющего высоту Ь и ширину, равную единице (так как изгибающие моменты отнесены к единице ширины) ° Напряжения а„и о, линейно изменяются по толщине пластины ь Ь и достигают наибольших значений при г .-+ —: + М.» Му Ом там = — ~ » в ~~у вах ~ ~ у ° . (5.13) 6 6 Согласно зависимостям (5.7) — (5.10), цилицдрический изгиб в чистом виде может возникнуть только в том случае, когда к боко- вым сторонам пластины будет приложен изгибающий момент Му, Если же этот момент отсутствует, то около боковых кромок форма упругой поверхности пластин несколько отклоняется от цилиндри- ческой.
' . Пример 5.1. Прямоугольная пластина с размерами 1 = 200 мм и Ь = 100 мм, толщиной Н = 10 мм, шарнирно опертая по двум сторонам (рис. 5.4, а), нагружена равномерным давлением р 40 Н/см»,' материал пластины — сталь; Е = 2 ° 10. Н/см»; р, = 0,3. Определить напряжения и прогиб. Реакции опор и изгибающий момент определяются так же, как для обычных балок. Наибольший изгибающий момент М„,„возникает в середине пролета; Эгот момент, отнесенный к единице ширины пластины, фй М„,„а„~ —:а:~2ООО Н см/сме Соответствующее максимальное напряжение ь» — "~ 12 ° 1ОФ Н~смв.' х ипат ~й 6 Изгибающий момент и нормальное напряжение в поперечном направлении в р, раз меньше и равны соответственно: М,„600 Н ° см/см1 Прогиб вычислим по дифференциальному уравнению изогнутой поверхности .11): Вместо момента М в это уравнение подставлено выражение момента в текум сечении: рХ рх» М = — х-— х 2 2 м 1 Ф А+ Вх-~ Постоянные интегрирования А и В определим по граничным условиям.
= 0 при х = 0 и а = 0 при х = '1. Согласно первому условию, А О, тогда рю» по второму условию В 240' Рис. 6.4 нчательно в Р 1Р -26Р+хЧ. 240 Максимальный прогиб при к ь 2 в — — 4,55 ° 10» см, б ф14 334 О 0 ЕР *1,83 10» Н см. 12 (1 — р,а) Исследуем характер напряженно-деформированного состояния Водо боковых кромок пластины. Рассматриваемое состояние предавим как результат наложения двух состояний, показанных на с. 5.4, б и в. .",~Ъ Око $»- "'Ф» ~::;» ' -~~"": Уи После двукратного интегрирования получим В состоянии, изображенном на рис. 5.4, б, кроме заданного давления р, по боковым кромкам пластины приложен момент ту такой же величины и распределенный по такому же закону, как момент М~ при цилиндрическом изгибе. В состоянии, изображенном на рис.
5.4, в, пластина нагружена одним только моментом т„обратного направления. При наложении этих двух состояний моменты на боковых кромках пластины взаимно погашаются и получается заданная схема нагружения. Напряженное состояние при нагружении по схеме, представленной на рис. 5.4, б, полностью соответствует найденному решению; следовательно, в этом случае возникает цилиндрический изгиб в чистом виде. В состоянии, изображенном на рис. 5.4, в, моменты и„, приложенные по боковым кромкам, вызывают изгиб в поперечном направлении.
Однако ввиду Рис. б.б того, что на закрепленных краях вертикальные перемещения отсутствуют, пластина не может свободно искривляться в поперечном направлении, поэтому напряжения в по мере удаления от боковых кромок быстро затухают. В результате действие моментов и„проявляется лишь в том, что боковые края пластины несколько отгибаются вниз; в средней же части пластины действие моментов и„ практически не сказывается.
На основании изложенного можно заключить, что полученное решение достаточно хорошо отражает характер напряженного и деформированного состояний пластины везде, за исключением областей, расположенных около продольных кромок. Перейдем к рассмотрению чистого изгиба пластин. Изгиб называется чистым, если поперечные силы в пластине отсутствуют. Чистый изгиб возникает при действии на свободную, незакрепленную пластину моментов и, и т„равномерно распределенных по краям пластины (рис. 5.5, а). Предположим вначале, что на пластину действует только один момент т, (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
