Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Кривизна по оси х в этом случае будет в —, раз меньше вычисленной по формуле (5.119). Напри- 1 1 жение о4) будет в раз больше вы- Х 1 — р численного по формулам (5.118), а напряЖеНие а'„" будет отличаться от о'„" тем, что во втором слагаемом будет еще множитель р. 2 Заметим, что для снижения напряжений и увеличения термочувствительности в биметаллических пластинах иногда делают продольные прорези. При наличии последних напряженное состояние приближается к одноосному. М Пример б.11.
Схема термореле изображена на рис. 5.29. В качестве чувствительного элемента использована биметаллическая пластина 1. При Рис. Б.29 нагревании пластина деформируется и посредством рычага 2 замыкает контакт 8. Определить усилие, действующее на контакт при температуре 1= 1%' С дано: 1 =- 20 мм; 1» =- 40 мм; Ь = 0,5 мм; Ь» = 0,2 мм; Ь» = 0,4 мм; верхний слой — медь Е» = 1 ° 107 Н/см»; а» = 18.10 ' 1/град; нижний слой — сталь Е» =. . = 2.10' Н/см»; а» = 12 ° 10 ' 1/г~ад; ширина пластины Ь = 10 мм. Изгибная жесткость рычага ЕХ = 1600 Н см.
2 При заданных числовых значениях Ь»= 2Ь,; Е, = 2Е,; ໠— а,. Для определения искомого усилия Х составим уравнение перемещений Ф) — 6~") =Л, где 6И) — перемещение контакта от нагрева; 6(~) — перемещение контакта от силы Х. По уравнению (5.109) вычислим расстояние а от нейтрального слоя: Е»ЬЫ вЂ” Е»Ь7 2Е1 (2Ь1)' — Е161 Ь 2 (Е»Ь»+ Е»Ь») 2 (Е»Ь» — 2Е» ° 2Ь») Момент инерции слоев (на единицу ширины) ,1 ( ' 1) ( ' 1) — 1,521Ьй» 12,16. 10-е см») 3 1» ' ~~ ' » = 0,847Ь', 6,77 ° 10 ~ см~. 3 Изгибная жесткость Е131+Е»3» =257 Н ° см.
218 Кривизну при нагревании определим по зависимости (5.119): (а» а») ( 1+Ь») 1 — + — 2(Е111+Е»у») Е»Ь» Е»Ь» Напряжения согласно формулам (5.118): с~ ) = — 0,267а»1Е» — 0,125а»1Е» —, где — 1,7Ь» ~ г ~ — 0,7Ь», 1 о~~) = 0,133а»1Е» — 0,249а»Ю» —, где — 0,7Ь» (»' ( 1,3Ь». г 1 Для определения перемещения контакта, вызванного нагреванием, применим интеграл Мори 6~ — М» Иг=0,090 см, ,,) 1 (Ф) Р где М» = 111 — момент в текущем сечении пластины от единичной нагрузки, при- ложенной по направлению искомого перемещения.
К перемещению от изгиба можно добавить перемещение от удлинения пластины 4 во1 = аД1 + Е' — — а»11 — ., 0,0026 см. о»ух,1 (а,— а») П 1 1+ 11 Суммарное перемещение контакта при нагревании 6~® = 0,0926 см. Далее найдем перемещение контакта от силы Х, для чего также используем интеграл Мора: яж ам на (Х1») (111) дг Ь (Е».у»+Е»Ы 1, (Хг») (1г») Иг» ЕУ 0 о + — ' = 0,1378Х, Рис. Б.ЮО Ь |Е»г»+Е»Ы 3Ы Х1 ° где — — изгибающий момент от силы Х на единицу ширииы пластины.
ь Найденные величины вносим в уравнение перемещений; 0,0926 — 0,1378. Х = 0,05, отсюда Х=0,31 Н. Напряжения, возникающие от силы Х, согласно формулам (5.112): »М) Х1»Е»г о„~ = = 964 — „Н/см~; (,Ч) Х1»Е»г г »у = Е 1 1928 и/см» Эпюры напряжений от нагревания, от силы Х и суммарпые приведены на рис. 5.30.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИЗЛИВА ПЛАСТИН $1. ВыВ©я ©снОВМОГО днффврвнцньлынзГО уравнвння упругей поверхности пластины дФ 6 = — 8 дх ° (6.1) а линейная деформация в направлении оси у В общем мамае изгиба срединная плоскость пластины переходит в некоторую поверхность двоякой кривизны, не являющуюся поверхностью вращения.
Этот случай изгиба пластин более сложный, так как напряжения и деформации представляют собой функции двух независимых переменных; поэтому дифференциальные уравнения получаются в частных производных. Теория изгиба пластин основывается на общих гипотезах и Мопущениях, сформулированных в гл. 5.
Согласно гипотезе нейзменности нормалей, нормали к сре-. динной плоскости пластины не искривляются, а лишь поворачиваются относительно своего первоначального положения, оставаясь перпендикулярными к деформированной поверхности пластины. Представим угол поворота нормали в виде суммы двух углов в двух взаимно перпендикулярных направлениях: 6 — угол поворота в направлении оси х и ф — угол поворота в направлении оси у (рис. 6.Ц. Выделим из пластины бесконечно малый элемент (рис. 6.2,а).
Вследствие малости прогибов можно считать, что прямоугольник аЬсд, совпадающий с срединной плоскостью, не изменяет ни своих размеров, ни формы„т. е, точки аЬса' смещаются только по вертикали. Рассмотрим теперь прямоугольник Ытп, расположенный на расстоянии г от срединной плоскости. Вследствие переменности углов О и Ф по х и по у этот прямоугольник получит как линейные, так и угловую деформации. На основании гипотезы неискривляемости нормалей линейная деформация в направлении оси х волокна 1т (рис, 6.2, б и в) и угла поворота стороны й: Следовательно, Ь„=а+~= д + д г. дф дб ° д» дд (6.3) Рис.
6.8 д~ 'Ф= —— ду ' (6.4) дйщ я = — — Я=И Г' У ду~ д~э ла — — Я вЂ” Я=2Я ~~У д» ду (6-5) Еа Ув 1+р д»ду ' (6.7) (6.8) (6.9) Угловая деформация в рассматриваемой плоскости определяется как изменение прямого угла Ыи (рис. 6.2,г); она складывается из двух углов — угла поворота стороны 1т: Я= — 8 дф д» Учитывая, что углы поворота нормали б и ф связаны с поогибом ж зависимостями: выражения деформаций можно представить в виде дйу в = — — 8=И Г' дх~ да положительное направление прогиба принято направление вниз.
дй~ д~а Величины к = — — и х = — — при малых прогибах х д»ф У дуй представляют собой кривизны поверхности в направлениях осей д~а „и у (рис 6.3, а и б). Величина ж„„= — — представляетсобой кручение поверхности относительно тех же осей (рис. 6.3, в). Перейдем от деформаций к напряжениям. Используем зависимости закона Гука при двухосном напряженном состоянии: Кроме напряжений О'„, о, и т„, в гранях выделенного элемента, возникают еще касательные напряжения ю„, и т„, направленные перпендикулярно срединной плоскости.
В точках, расположенных Ь у поверхности пластины ~при г ~- —, касательные напряжения ~, и г„равны нулю «согласно закону парности касательных напряжений), а на срединной поверхности — достигают максимума. Эти напряжения обычно бывают сравнительно малы, поэтому в расчете -на прочность их не учитывают. Существенную роль играют только равнодействующие напряжений т„, и ~ „, т. е. поперечные силы Я„и Я „которые необходимо учитывать в уравнениях равновесия элемента пластины.
Р Распределение напряжений по толщине пластины показано на рис. 6.4. Чтобы перейти к суммарным силовым факторам, проинтегрируем напряжения по площади соответствующих граней. Нормальные напряжения а„и о'„при интегрировании приводятся к изгибающим моментам М„и М,; касательные напряжения с „и ту„— к крутящим моментам.М„,, и М,,„, а касательные напряжения ~„, и т„— к поперечным силам Я„й ~~ (рис. 6,5), Все перечисленные силовые факторы принято относить к единице длины, поэтому размеры элемента в плане примем равными единице: Й ь 2 з М„= ~айу; М„=~ а„й'у; ь Ь 2 2 Мху — ~ ~ху ~~у у~ Мух ~ уух ~~у у. ь й Подстайовка под знак интегралов выражений (6.7) — (6,9) приводит к следующим зависирИхф мостям: (6.10) (6.13) (6.15) 224 (6.1Ц уум У М„„- М„„- — ух ~1 — ~у),„,„, ~му У (6.12) (уу+ к , ЕМ Х где О = 12 (1,), — изгибная — ~4 жесткость пластины.
Рис. б.б Изгибающие моменты М и М„и крутящий момент М„; выражены через функцию ж, которая пока неизвестна. Недостающие уравнения для определения этой функции получим, рассмотрев равновесие элемента пластины (рис. 6.5). По граням элемента действуют силы (~„ду, Я„дх и моменты М„ау, М~ ах, М„„ду, М „дх. С увеличением координат на дх и ау силы и моменты получают бесконечйо малые приращения. Кроме внутренних сил, на верхнюю грань элемента действует сила р дх ду от внешнего давления.
Составим уравнение проекций всех сил на ось г и уравнения моментов относительно осей х и у: ~Их Жу + р 0у дх ду дх + ду +~©~— дМх дМух (6.14) ди„дМ~ — "+ — +Ю, =О. ду дх Остальные три условия равновесия удовлетворяются тожде- ственно. Приведем уравнения (6.10) — (6.15) к одному уравнению с одним неизвестным. Подставив выражения (6,1Ю) — (6.12) в уравнения (6.14) и (6.15), определим поперечные силы дЯщ дйщ 1 дх~ + ду~ ~ Я =П— (6.16) Выражения (6.16) можно записать более кратко: Я„= В -- (7~в); д 9 =0 — (7'ж) ду где 7' — дифференциальный оператор Лапласа; дз Дз 7= + —. д~Р ду~ ' Выражения (6.16) внесем.в уравнение (6.13); в результате получим дифференциальное уравнение упругой поверхности 0 —,(72в)+П вЂ”,(7~в) =р д~ 2 У (6.16а) (6.17) или (6.18) 8 БРЯРШ~~НР~ 727йв = Р, К' Уравнение (6.18) можно представить также в виде (6.18а) % Искомая функция а должна удовлетворять дифференциальному уравнению (6.18) и, кроме того, граничным условиям на краях пластины.
Щ ф Остановимся на вопросе о граничных условиях более 8 '1~ подробно. Практически могут встретиться следующие ва- /П рианты граничных условий: 1. Край пластины жестка заделан (рис. 6.6, а). В этом р~ случае должны быть равны нулю прогиб и и угол на- Рис. б.б клона в направлении, перпендикулярном к контуру. Если обозначить через а и з нормаль и касательную к контуру, то на краю пластины при жесткой заделке (6.19) Замет аметим, что, иоскольк очевидно у в на кон туре всюду равно нулю 3 Гакже РаВно н л е Ю, ф тоф . Край пластины закреплен ща нии пе ающий момент в наиравлеонтуру, т. е. и=О; М„=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
