Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ь вЂ” — ""»ип6= 1 — —" соз6. (7.2) Если в качестве независимой переменной использовать угол 6, то дифференцирование по з следует заменить дифференцированием по 6. Ч'огда равенство (7.2) следует записать в виде 4~~~! . %~ всп9- 1 — ~ сов9 я„а л„ или "",» 81п Е =(~ — Я») сов 6. (7.3) Ие Соотношение (7.2) и (7.3) представляют собой частный случай общих соотношений Кодацци — Гаусса, которым должны удовлетворять радиусы кривизны всякой поверхности.
КИ а) Рис. 7.2 При изучении свойств поверхностей важное значение имеет гауссова кривизна К = — у-. (7.4) Если К ~ О, то поверхность имеет выпуклые меридианы (рис. 7.2, а), при К = О меридианы поверхности представляют собой прямые линии (рис. 7.2, б), при К < О поверхность имеет вогнутые меридианы (рис. 7.2, в).
Заметим, что если две поверхности ивиют одинаковую гауссову кривизну, то их можно развернуть одну. по другой без разрывов (например, цилиндр и конус можно без разрывов развернуть на плоскость, так как для всех трех поверхностей К = 0). Знак гауссовой кривизны определяет тип дифференциальных уравнений теории оболочек. Наиболее полно разработана теория оболочек положительной и нулевой гауссовой кривизны. Следует обратить внимание на то, что при Б,',„~ — Л~» правая часть равенства (7.28) становится отрицательной и, следовательно, окружная сила Т» будет сжимающей.
Это обстоятельство необходимо иметь в виду, так как при действии сжимающих напряжений может произойти потеря устойчивости первоначальной формы. и на оболочке могут образоваться складки. На основании изложенного можно заключить, что с точки зрения экономичности наиболее целесообразной формой резервуаров, работающих под действием внутреннего давления, будет сфериче"ская форма.
Ф б) Ри ..'ТЛа а- Однако по технологическим соображениям резервуары часто делают цилиндрической формы с днищами. Наиболее часто применяют следующие формы днищ: сферическое (рис. 7.10, а); эллиптическое, имеющее форму эллипсоида вращения (рис. 7.10, б); коробовое, состоящее из части сферы и части тора (рис. 7.10, в). . Усилия и напряжения в цилиндрической части резервуара не зависят от формы.
днища и определяются по формулам (7.29). В сферическом днище усилия ~" и Т, имеют одинаковые значения.' рй 2 ' Практикой установлено, что. оптимальное значение отношения высоты днища Н к радиусу цилиндра П приблизительно равно '/,. При указанном отношении радиус сферы должен быть равен — О .6 8 и угол наклона нормали на краю днища 6 — 53'. В этом случае эпюры усилий Т и Т, имеют вид, показанный на рис.
7.10,.а. Отделив сферическое днище от цилиндрической части резервуара, можно увидеть, что на цилиндр передается сила Т ~, имеющая. большую радиальную составляющую, которая вызывает изгиб стенки. Чтобы уменьшить этот изгиб и получить напряженное состояние, более близкое к безмоментному, необходимо на краю цилиндра установить достаточно мощное кольцо, которое воспринимало бы радиальную составляющую силы Тщ (на.
рис. 7.10, а поперечное сечение кольца показано штриховой линией). При отсутствии такого кольца в зоне сопряжения цилиндра и 'днища возникнут значительные напряжения изгиба. Однако, если материал резервуара пластичный, а давление посгоянно во времени, то напряжения изгиба не Щ>едстазляют опасности, так как с рсстом давления в зоне изгиба возникают местные пластические деформации и рост напряжений замедляется. В то же время в цилиндрической части резервуара напряжения растяжения продолжают увеличиваться пропорционально давлению вплоть до разрушения.
Разрушение такого резервуара происходит. на некотором расстоянии от днища. Изгибные напряжения могут стать причиной разрушения при действии пульсирующего давления (усталостное разрушение) или при постоянном давлении в условиях низких температур (хрупкое разрушение). Для хрупкого материала изгибные напряжения могут быть причийой разрушения и при статическом нагружении, в условиях нормальной температуры. Определим напряжения в эллиптическом днище. Полуоси эллипса равны соответственно — и Н (см. Рис. 7.10, б). Радиусы кривизны 0 'эллипсоида в произвольной точке определяются формулами: о Р (1+ у е1п~ 6)'~" Жь (1+ у йР 6)'~' (7.31) 8 — угол между нормалью и осью вращения; р,= — )/~,+у — радиус кривизны в вершине ~при 9 = О); О ,р — (~) ", — параметр, определяющий форму эллипса.
При подстановке значений рддиусов (7.31) зависимости (7.27) и (7.28) принимают вид где р0 (1+7) 4 (1+'у за~6) ~" (7.З2) Т»= — ' ф) 4 1 зш' 6 а/ (+т ) Эпюры усилий Т и Т», построенные при значении отношения П/2 2 — = — (у =.3, й, = О), приведены на рис. 7.10, 6. Преимуществом эллиптического днища является то, что радиальная составляющая силы Т в месте перехода от днища к цилиндру равна нулю. Однако изгиб стенки в зоне сопряжения здесь полностью не - исключается. Действительно, ввиду того, что окружное усилие Т» Заданная оболочка в целом работает на изгиб. Так как составляющие поверхности нагрузки р,, р,, рз в данном случае отсутствуют, уравнения равновесия (7.49)-(7.51) принимают вид Т»~ — — Т Р» д ..
дз — (Ттг э1п 6)+ — — з«п 6=0~ дв - д«р ~» дТт (8 ~з) т г~ д8 гЯ т д«р (7.52) (7.53) (7.54) Рис. 7.20 Рис. 7.19 Данная задача фактически сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений (7.53) и (7.54) с двумя неизвестными усилиями Т и 8. Усилие Т» в указанные уравнения не входит и легко определяется по усилию Тт согласно уравнению (7.52).
Для отыскания требуемого решения, применим полуобратный метод СенВенана. Этот метод состоит в том, что одной иэ искомых функций задаются. Затем, используя одно из имеющихся урав1«ений, определяют вторую неизвестную функ- цию. Найденные таким образом две функ- М ции подставляют во второе уравнение, если последнее — удовлетворяется, то эти функции и будут искомым решением. и меридиональное усилие Т Ь (М«~+ Рх) соз «р Тт =ОтЬ з1п 6 Подставив Тт в дифференциальное уравнение (7.63), определим иэ него сдвигающее усилие 8: + — а1п6 =О. дЯ д«р .(М +Рх) р лг Й' »1х Учитывая, что — созО и — з1п 6, преобразуем это уравнение к сле- »13 »1з дующему виду: дЯ (М.+Рх) сов 6 сов «р Р сов «р д«р яг' з1п 6 пг Функция С (6) не зависит от угла «р и соответствует постоянной составляющей сдвигающей силы 8; последняя может возникнуть при закручивании оболочки, но так как в данном случае крутящий момент равен нулю, то С (6) также равно нулю.
Внесем теперь Тт и 8 во второе дифференциальное уравнение (7.54). Выполнив элементарные преобразования; найдем, что уравнение (7.54) обращается в тождество. Следовательно, найденные функции и есть искомое решение задачи. Это решение будет справедливо при условии, что заданная нагрузка, т. е. момент Мо и сила Р, будет приложена к торцу в виде распределенных нормальных и касательных сил, удовлетворяющих уравнениям (7.55) и (7.56): Т О Р. Т 0 (7.57) Мо с1я Оц яп «р Р 81п «р Поскольку при кручении оболочки основные зависимости не отличаются от соответствующих зависимостей теории кручения бруса, предположим, что при изгибе оболочки формулы элементарной теории изгиба бруса также сохраняют свою силу.
Рассмотрим произвольное поперечное сечение, расположенное на расстоянии х от верхнего торца (рис. 7.20). Поверхность сечения будем считать перпендикулярной к срединной поверхности оболочки. В сечении возникает нормальное напряжение от и касательное напряжение т. Разложим нормальное напряжение на две составляющие, параллельную и перпендикулярную осн оболочки: о =от з1п 6; оту от соз 6 и предположим,что составляющая о удовлетворяет общеизвестной зависимости «геории изгиба бруса: ( г с о $ «р ) М„(М, + Рх) дгзЬ Тогда полное меридиональное напряжение в произвольной точка ' ~тх ( ~т а1п 6 дг~Ь Ып 6 П ри ином характере распределения внешних сил по торцу решение можно представить как сумму найденного решения (основная часть) и наложенного на него дополнительного решения, соответствующего самоуравновешениой системе ' сил, получающейся при вычитании из фактически приложенных сил Тто и 8О— сил, довлетворяющих уравнения (7.57).
отличие от сплошного бруса система самоуравновешенных сил, приложенных к торцу, может оказывать существенное влияние на напряженное состояние оболочки на значительном расстоянии от торца. Рассмотрим более подробно вопрос о касательном усилии 8. Иэ теории поперечного изгиба бруса известна формула для касательного напряжения ~р(0 О Хо' Еспи эту формулу применить к рассматриваемой задаче об изгибе оболочки и подставить в нее значения Я = Р; .Г„= шзЬ; Ь =, 2Ь„8«««2 Ьгйрг сов«р = 2Ьг««з1п«р, то получится следующее значение напряжения: Рз1п р т Р лгЬ Рис. 7Л дТ,„дЯ вЂ” ~+- -=-О; дх гд«р дЯ вЂ” =О дх (7.61) (7.62) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
