Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 23
Текст из файла (страница 23)
7.22 (7.64) Фт, --- +— д«р г ЕЬ ' ди до 5 + гд«р дх бй (7.65) (7.66) Этому напряжению соответствует интенсивность сдвигающей силы К З = Ь=Р" Р а)п «р Величина Я«равна второму слагаемому выражения (7.56). Чтобы выяснить смысл первого слагаемого, обратимся к рис. 7.20. В сечении, ограничивающим часть оболочки снизу, действует нормальное усилие Т и сдвигающее усилие 5. Приведем нормальные усилия Т~ к центру тяжести сечения; в результате получим изгибающий момент М = М, + Рх и, кроме того, силу, перпендикулярную оси оболочки: Р, = Т со~Егар соя р = — 'М'+„.п","'. Р.59) Эта сила направлена влево, следовательно, она частично уравновешивает силу Р и поэтому сдвигающая сила Я должна уравновесить только оставшуюся часть поперечной силы, т.
е. (Р— Р,). Следовательно, первое слагаемое в выражении (7.56) учитывает наличие составляющей меридианальных сил, перпендикулярной 'оси оболочки, Окружное усилие определяется по меридиональному усилию на основании уравнения (7.52): А'~ (Мо+Рх) сов «р (7.60) Р„, лг~ яп «р Приведенное решение задачи об изгибе оболочки получено без использования гипотезы плоских сечений, на основе общих уравнений безмоментной теории оболочек, На этом 'основании можно заключить, что общие закономерности теории изгиба бруса остаются справедливыми также при изгибе оболочек вращения. Пример 7.5.
Применим полученные зависимости к задаче об изгибе конуса, изображенного на рис. 7.21, а, Так как в этом случае Мо равно нулю и « = х с1ц 6, «го на основании уравнения (7.56): Рхс1К6 . Р 81п «р 5 = — — в~п <р+ =О. Лгй ,Равенство нулю сдвигающих усилий в поперечном сечении оболочки свиде'тельствует о том, что составляющая меридиональных усилий, перпендикулярная оси конуса, полностью уравновешивает поперечную силу Р.
Окружные притягивающие усилии 7~ на основании уравнения (7.55) при Й„,= оо также равны нулю. Таким образом, в стенке рассматриваемой конической оболочки .,возникают только меридиональные усилия (рис. 7.21, б) Рх сов «р ~у2 з1п 6 Если рассматриваемую оболочку мысленно разделить продольными меридиональными плоскостями на ряд стержней, как показано на рис.
7.21, в, то стержни не будут взаимодействовать между собой, а будут работать только на растяжение или сжатие; следовательно, коническая оболочка, нагруженная силой Р и вер- ш«1не, работает как пространственная коническая ферма. Пример 7.6. На рис. 7.22 изображена цилиндрическая оболочка, нижний край которой закреплен неподвижно так, что касательные смещения и и о равны нулю. Верхний край усилен кольцом, имею«цим большую жесткость на изгиб в своей плоскости и практически не стесняющим перемещения края оболочки в осевом направлении. Оболочка нагружена силой Р, перпендикулярной оси оболочки, приложенной к кольцу. При решении данной задачи не будем пользоваться полуобратным методом Сен-Венана, а решим задачу прямым путем.
Уравнения равновесия безмоментной теории оболочек вращения (7.49) — (7.51) при ф«Р2 Р3 Оэ з1П 6 1 з (6 ) ~ Яр« = оо; з = х и г = сопз1 принимают вид ~юВ и уравнения деформаций (7.12) — (7.14) соответственно: ди Т~ дх Ю' Координата х отсчитываегся вдоль оси цилиндра от верхнего торца. Проинтегрируем уравнение (7.63) по х; 5 = Ф» (»р) и где Ф1 (~р) — неизвестная функция от ~р. Подставим 8 = Ф1 (~р) в уравнение (7.62) и снова проинтегрируем по х: 1 Т = — — Ф;Ор)+Ф«®). где Ф, (~р) — новая неизвестная функция от ~р. Считая, что кольцо не оказывает сопротивления осевым смещениям края цилиндра, получим следующее граничное условие на верхнем торце: при х=О Т,„=О, откуда следует Ф, (<р) = О.
Для определения Ф,(~р) необходимо использовать остальные граничные условия. Поскольку эти условия геометрического характера, обратимся к уравнениям деформаций. Подставим Т,„в уравнение (7.64) и проинтегрируем по х; в результате определим и: х«ъ и=- — — ° — Ф; Ю+Фа ®, г 2ЕЬ где Ф, (~р) — новая неизвестная функция от (р. Наконец, из уравнения (7.66), учитывая, что 3 = Ф, ф), найдем к до ди 3 1 х« „1, Ф1 (цэ) дх г д~р бЬ г«2ЕЬ ' г бЬ + ' Ф~ Ю Фа(Р)+ $ —,Е),Ф,' й~) — — Ф,'(Ч)+ ~~ х+Ф41т); г«6ЕЬ $ гс здесь Ф4 (~р) — еще одна неизвестная функция от <р. Используем граничные условия на нижнем торце цилиндра: при х'=( и=О; при х=1 о=О. Согласно этим условиям -Р Ф» (»р) 2ЕЬ Ф» ®' Ф4('р) 6 «ЕЬ Ф» (ф+2 «ЕЬ Ф» (~р) бЬ Ф1(»р) ~а - — Ф," (р) — — — Ф,(р)* ЗЕг«Ь ' 6Ь- После подстановки функций Ф» и Ф4 выражения перемещений ю и и принимают следующий вид: и= — (Р-х«) Ф' ()р); 1 2гЕЬ Э 1 х» Рх 1» И вЂ” х) о = — Ф" (ср) — — — + — — Ф1 (фр).
г«ЕЬ ' 6 2 3 6Ь .Теперь все величины выражены через одну неизвестную функцию Ф, (»р). Эту последнюю следует найти иэ оставшегося неиспользованным граничного условия на верхнем торце цилиндра, согласно которому при х = О перемещения о то. 'чек края цилиндра должны быть равны перемещениям соответствующих точек кольца. Рассмотрим случай, когда кольцо можно считать. абсолютно жестким (при изгибе в его плоскости): предположим, что под действием силы Р оно сместилось на величину ~ (рис.
7.23, а). Тогда перемещение о на верхнем торце буйи ~)»м-о) — 1 «1п Ф Следовательно, И вЂ” Ф, ф) — — Ф (~р) = —,' Ып (р. Ъг«ЕЬ аь Найдем решение этого уравнения. Общее решение соответствующего одиоодного уравнения может быть представлено в гиперболических функциях от ~р.
о так как Ф1 ф) = 8 (<р) должна быть периодической функцией с периодом, Рис. 7,О Яг йр ап и) = Р или ~ »ЫР ~р п6р откуда смещение центра кольца Р~а Р~ ) — + —. Ъм»ЬЕ лгЬО ' Внеся это выражение в найденные ранее зависимости, получим Р З=Ф, (р) = — аш П Ш' Рх Тя — — — — соз ч); дг« Р х» Рх РР— — — — + — + — И- )~ дг»ЬЕ 6 2 3 у»гЬ(~ Ып® Р и =,ЬЕ (д — и«)соз ~р. кратным 2л, то решение однородного уравнения следует отбросить. Остается частное решение уравнения с правой частью.
Последнее имеет вид 5 Ф1 (ф~, р ~ Йп ф~ — +— Ъг«ЕЬ 6Ь Таким образом, мы получили зависимость между сдвигающей силой В и величиной смещения центра кольца ~. Чтобы выяснить зависимость этих величин от величины силы Р, рассмотрим равновесие кольца (рис. 7.23, б). Приравняв нулю сумму проекций сил на горизонтальную ось, найдем 2п Глава 8 ф $. Вывод основных уравнений Рис. 8.1 Решение полученной системы двух уравнений дает значения уси- лий рЯ со86 1 ~ сщ 0 соя 0+ е 81п~0 3 ' 3 сов 6' Окружное усилие Т~ определяется по усилию У на основании уравнения Лапласа: Т~= — Т вЂ” р зшб. Этот результат полностью совпадает с результатом, полученным методом интегрирования дифференциальных уравнений.
МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК Цилиндрические оболочки (тонкостенные цилиндры) представляют собой наиболее распространенный вид оболочек вращения, Ввиду того, что теория цилиндрических оболочек значительно проще, чем оболочек другой формы, в настоящей главе эта теория рассмотрена отдельно от общего случая. ' Осесимметричная изгибная деформация оболочки возникает в местах приложения внешних кольцевых нагрузок (рис, 8.1, а), а также в местах закрепления или сопряжения с другими конструктивными (рис. 8.1, б, 8 и г) элементами. Теория осесимметричной деформации цилиндрических оболочек основана на гипотезах Кирхгофа — Лява, аналогичных гипотезам, используемым в теории изгиба пластин.
1. Гипотеза неизменности нормалей. Принимают, что нормали к срединной поверхности оболочки не искривляются и остаются перпендикулярными к деформированной срединной поверхности. Эта гипотеза устанавливает связь между деформированным состоянием в произвольной точке стенки оболочки и изменением геометрии ее срединной поверхности и позволяет таким образом свести исследование деформации оболочки к исследованию деформации ее срединной поверхности. 2.
Гипотеза о ненадавливании одного слоя оболочки на другой. Согласно этой гипотезе, нормальные напряжения в площадках, параллельных срединной поверхности, считают равными нулю, т. е. напряженное состояние рассматривают как плоское вместо объемного. Чтобы получить недостающие уравнения, рассмотрим равновесие элементарного объема, выделенного из оболочки двумя продольными и двумя поперечными сечениями (рис. 8.4). Кроме сил Т„и Т и моментов М„и М», на элемент действуют силы поверхностной нагрузки рфхтйр и рфхгйр (нагрузка р„нормальная к поверхности, создается внутренним или наружным давлением; нагрузка р„ направленная вдоль оси оболочки, может возникнуть за счет сил трения или за счет собственного веса ~~+~~~Гау, при вертикальном расположении обоз 1и„+аъугй9~ ло" к").
Из шести уравнений равновесия в данном случае можно составить Ь~"" «~»' Ц" У' только три: уравнение проекций сил . на направления г и х и уравнение моментов относительно оси у, каса~~а~х ~~~В тельной к окружности: Щ Т~ ь+ =р ат„ (8.12) "— „„"= О. (8.1З) Рис. В.4 Остальные уравнения равновесия удовлетворяются тождественно. При решении полученной системы уравнений осевую силу Т„ можно считать известной, так как она может быть определена заранее по уравнению (8.12). Действительно, умножив обе части уравнения на 2лг и проинтегрировав по х, найдем дтс17„= 1рв2лс с)с+С. Это уравнение представляет собой уравнение равновесия части оболочки, отсеченной по кругу х = сопМ.
Первое слагаемое в пра- Рис. В.б вой части равенства представляет собой интеграл от поверхностных осевых сил; второе — учитывает силы, приложенные к торцу. Если, например, цилиндрическая оболочка 'с днищем' нагружена равномерным внутренним давлением (рис, 8.6, а), то, отделив 312 часть оболочки (рис. 8.5, б), можно написать следующее уравнение равновесия: ~Гвн — Т„2пг+ р — — О, откуда, считая к,„= г, найдем РГ Т,в ° 2' Приведем систему уравнений деформаций и равновесия к одному уравнению с одним неизвестным. Из уравнения (8.13), с учетом равенства (8.7) следует ДМ ~зи) Я Х Д дх Ихой ' (8.14) Выражения (8.10) и (8Л4) подставим в уравнение (8.11), тогда Юи ЕЬю р г —,Ог — — р҄—.=О 1 И~» Ф или Нйи — +4~АР = — — +— Ртх Р1 (Ь4 ОГ В э (8.15) где ЗП вЂ” )') кеое (8.16) дифференциальное уравнение осесимметричной деформации цилиндрической оболочки ($.15) по своей структуре аналогично'уравнению упругой линии балки, опирающейся на упругое основание.
Эта аналогия не случайна. Если иэ оболочки вырезать . Р~ У l'й1 полоску шириной пйр фис. 8.6), то ее можно рассматривать как брус нагруженный поперечной нагрузкой Д,,пу Д=Р1Г Иф — Т~дф. т, Поскольку окружная сила Тг пропорциональна перемещению и [см. зависимость (8. 10)1, то она в данном случае играет роль реакции 1у упругого основания. Напишем дифференциальное уравнение упругой линии полоски: — ЕУ =д. Рис. 8.6 ЙР Подставив в вто уравиеиие вмоажеиие о с учисом зависимости 10.10), в тэиже внеся значение момента инерции / = ., 1множитель (1 — р ) в энамеГф~ 2 12(1 — рР) нателе учитывает увеличение жесткости эа счет взаимодействия с соседними по- лосками1, и используя обозначение жесткости (8,9),придем к дифференциальному уравнению (8.15).
Если функция ж, удовлетворяющая уравнению (8.15) и граничным условиям, на краях будет найдена, то по зависимостям (8.7) и (8,8) можно вычислить изгибающие моменты М„и М», и по зави- или +4~4 =О дМ (8.20) - и Се"". е~ Рис. 8.7 из которого найдем .~/ 4р4 (8.22) 314 симости (8.10) — окружную силу Т,. Напряжения о, и а, определяются по внутренним силовым факторам Т„, М„12 С = — + —." 8' дз Т~ Му12 (8.17) СГ~ = — + — Г. у~ ~з Эти формулы легко получить из уравнений (8.3) и (8.4) с учетом зависимостей (8.5) — (8.8). Наибольшие напряжения возникают при г = +- —: 7~ 2' Т„М„6 Ох + ° пах Д Ьй Тс МФ (8.19) Перейдем к интегрированию дифференциального уравнения (8.15), Общее решение уравнения представим в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью (8.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
