Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 25
Текст из файла (страница 25)
частных решений; -„- [1- ~,ФА)) 1 4Р1~ 4 (РА) Р,'Р, ~з(РА) 4Р1Р1 (8.55) 401И вЂ” „,Р"1 ~'а (РА) Где $1» $2~ ~ ~Ф ~т4 — функции Крылова~ р1, (рД), 01 — параметры, соответствующие рассматриваемому участку; Ь„Ц„В, — параметры„соответствующие первому участку оболочки. Выясним, как изменяются компоненты вектора Х при переходе от 1-го к (» + 1)-му участку. Вследствие непрерывности функций в и 6 первые два компонента имеют одно и то же значение в конце предыдущего и в начале следующего участка. Третий и четвертый компоненты могут скачкообразно изменяться за счет внешних нагрузок, приложенных на границе между участками, а также вследствие изменения радиуса срединной поверхности 340 где и~1,Ц и д~1,Ц вЂ” дополнительные изгибающий момент и поперечная сила, приложенные в начале (1 + 1)-го участка; М„1~, Я1, и Т„1 — силовые факторы в конце предыдущего, т.
е. 1-го участка; г1 и «1„, — радиусы 1-го и (1 + 1)-го участков, О О т (~+1) + Т..1«1(«1+» — «1) Р»Р1«1+1 (8.56) лл й+» Р»Р~ (8.67) где Х, Х и Х вЂ” значения вектора Х первого, второго и третьего расчетов; С, и С, — неопределенные коэффициенты. Первый и второй расчеты выполняются без учета заданной нагрузки.
В первом расчете один из неизвестных параметров принимается за единицу, а остальные — за нуль. Аналогично во втором расчете — второй неизвестный начальный параметр принимается за единицу, а остальные — за нуль, Третий расчет выполняется с учетом заданной нагрузки, но при нулевых значениях неизвестных начальных параметров. После того, как все три расчета будут выполнены, следует вычислить значения компонентов вектора Х при х 1 и из граничных условий определить коэффициенты С, и С,. Если цилиндр имеет наряду с короткими также длинный уча.-:" сток, удовлетворяющий условию (8.26), то расчет замыкается на ,й 341 Очевидно, что если бы в начальном сечении первого участка ,,':-4 вектор Х был полностью известен, то, пользуясь равенствами (8.53) — (8,56) и переходя от участка к участку, можно было бы определить значения вектора состояния во всех сечениях цилиндра. В действительности, однако, бывают известны только два компонента вектора Х в начальной точке, а остальные два должны быть тд: определены по граничным условиям на противоположном краю ..
'":- цилиндра. В связи с этим целесообразно воспользоваться способом трех расчетов. Вектор Х представим в аиде суммы трех слагаемых: Х=С,Х+ С,Х+Х, Н начале четвертого участка Т. а О' ("а в) ~ла Ф 2дга 0,962 0,074 — 1,832 — ' 5 — 3 13 — ' 5,4 ° 5 0 0,962 0,074 + 4 + Тхага(га гэ) 3 09 В,р, 0Аг, — 3 09 Е Суммарные компоненты вектора состояния в начале четвертого участка — 41 С1+ 41 С~+ 41 — 2,845С1+1,80ЗС~+0,962 —; Ь, а1 Ь1 Ь1 е 1 э 2 э е Р б =6 С +6 С +6 — 2,106С вЂ” 2,348С +0,074 —; — С+ С+ — 4,415 С1 — 16,28С~ — 3,09 —; Р— — С+ —, С+ 2,058С1 — 15,63Са — 3,38 — ..
Р Поскольку четвертый участок — длинный, эти компониц~ы должны удовлетворять соотношениям ~8.58). Решив систему двух уравнений, найдем коэффи- циенты С1 0,308 — 0,154 - 10 а; Са — 0,176 — — 0,873 ° 10 Ф. Р Р $5. Чикленный метод расчета цилиндрических оболочек Численный метод расчета с использованием ЭВМ целесообразно применять при переменной толщине стенки оболочки (Ь = Ь (х)) или при переменном по длине давлении.
Метод, изложенный в настоящем параграфе, является общим и применяется не только для расчета цилиндричкких оболочек, но главным обра- 346 Компоненты суммарного вектора состояния определя1отся согласно равенству (8.57). Значения радиального и углового перемещений в начале первого участка в11 А1С1 1,23 ° 10 4 см; 611=Сэ= — 0,873 10 а рад. для расчета более сложных оболочек, с произвольной формой идианов при произвольном законе изменения давления и толны вдоль меридиана. Напряженно-деформированное состояние в произвольной точке очки полностью определяется вектором состояния Х 1см.
4 уравнения (8.51)1. Примем в качестве независимой переменной компонентов вектора состояния следующие безразмерные велины: х 1 — х1 = — Ха=Ю = — ' г~ г ' цх' М г Вг Фа, «)га Вга дав Х4= 01 01 Иха ' де О, — изгибная жесткость в некоторой фиксированной точке, например, при $ = 0; 0 — изгибная жесткость в текущем сечении. Эти компоненты отличаются от прежних только постоянными ожителями, которые введены с целью упрощения уравнений.
Для численного решения на ЭВМ исходные уравнения необхомо преобразовать' таким образом, чтобы производные компоненв вектора Х были выражены через сами компоненты. На основании. уравнений (8.10) — (8.13): ~е М ~1аа 1 = — -"~ — М ' Их ЙР 0 41мх х д. 11Х 1Ц Т~ 11Т» ЕЬа — =Р- — Р— — —— 6Ь г га Перейдя к безразмерным переменным, получим ~И1 ~ ХЩ1 И~а 0~, . — — Ха ~$ Е) их, ' — Х4 ~$1 (8.60) ,.,где 0=0(х). Система дифференциальных уравнений (8.60) эквивалентна од"ому дифференциальному уравнению четвертого порядка (8.15). у систему можно записать в матричной форме — =РХ+ б, (8.87) Нц.
6Щ Ф дх Охи . г — г~' — + — Я+ ~А— — + 11 — +11 — 8 . (8.89) ге ~ а„2ярдр — Т 2лг О. Рис. 8.26 отсюда Ф ние р„, то в расчетные зависимости следует подставлять приведенное давление (8.86) Аналогично следует поступать и с сосредоточенными сидами или моментами. Далее, по формулам теории осесимметричной деформации тонкостенных цилиндрических оболочек обычным порядком определяется функция в и по граничным условиям находятся постоянные интегрирования. Функция и достаточно хорошо характеризует перемещения точек срединной поверхности цилиндра. Что касается перемещений точек внутренней и наружной поверхности, то их целесообразно вычислять по напряжениям.
Обычные формулы (8.18) и (8.19) для вычисления напряжений в данном случае не обеспечивают требуемой точности, так как они выведены на основании допущения, что разница между длинами внутренних, наружных и средних кольцевых волокон — пренебрежимо мала. При выводе уточненных формул для напряжений используем зависимости. (8.1) и (6.2) для относительных удлинений. При этом представим зависимость (8,2) в следующем виде: Слагаемое г в знаменателе не может быть отброшено, так как в рассматриваемом случае г и г.— величины одного порядка. Перейдем от деформаций к напряжениям Пользуясь тем, что осевое усилие Т„известно, исключим из Иа этих зависимостей — „. Запишем уравнение равновесия отсеченной части цилиндра ь Подставив под знак интеграла выражение напряжения о„(8.88) и выполнив интегрирование, получим Е аи савв , 2пгй — „+11 — — Л2л „., — Т„2гц =О; Е Ни Т П Фв в Е 1 — 1Р Шх Ж + гА ~Ми 1~ ~ 1 — 1Р' С учетом последнего равенства формулы (8.88) и (889) при 'нимают вид .
' Тх Ег дза о' + а ~ — Ь, ~ „а Дхз ' (8.90) Е м . в ы ~ =11~.+ — — — 1' — . (8.91) 1 — ~д г — г г ,где г — расстояние, отсчитываемое от срединной поверхности по направлению к центру ~второстепенные слагаемые в формулах (8.90), (8.91) отброшены). Кроме напряжений а„и а„' в стенке цилиндра возникает еще , иапряжение а,, Во внутренних и в наружных точках это напряже- ние равно соответственно внутреннему и наружному давлению . (взягому со знаком минус). При вычислении эквивалентного напря, жения, а также при определении перемещений на внутренней и ', н ружной поверхности напряжение а, также следует. учитывать.
Радиальные перемещения на внутренней.и наружной поверх"; н сти целесообразно определять по окружной деформации. Фор- мулы для перемещений имеют вид г1 ии,, = ЬЕ,Г1 = — Ч0С вЂ” РОХ вЂ” РотЪЕ= Ей~ Г2 Ве, = Ю~е,~'а = —, ~О'~ — Р~х Ро Ь ев)' Пример 8.12. Определить напряжения в толстостенном цилиндре, нагру,'женном внутренним давлением на участке, примыкающем к торцу (рис. 8.26, а~. ' 4=68г Внутреннее давление, действующее на первом участке, приведем к срединной поверхности 2 г 3 Р1 Р— — Р. Вычислим параметры Р, ~1 и жесткость В: 3 г = -= гг', Ь = 0,5гг, ~ = 0,8гг', / 3 (1 — 1Р) 2,10 Ф= — Я=1 68' ЕУ Й = = О 01147Ег"..
12 1 — рг) Так как, ~Я <- 3, то функцию ж для первого участка возьмем по уравнению (8.40). В данном случае: М„„„= О; Ц = О; й1 — — -- р '; Т„~ = О, и Ф функция а, принимает вид ж1 — — ~а — -- — $' фх)+ — о- Р фх)+ — — г. 3 ргг бо 3 г р г Вычислим и, о, М„и Я при х = 1. Значения функций Крылова при ~1 = 1,68 следующие 121]: $', (1,68) = — 0,3026; Ь'г (1,68) = 1,2386; $'г (1,68) = 1,2871; 1~ «1,68)=0,7604. По формулам (8.40) — (8.43) найдем = що- —,— ~(-.03026)+ о, 386+ Р г 3 рггу, д~ 3 г к~ =Г 4 Е ) ' ' 4 Е И~,=о' 1 = Р— 4 ~ ~Ъ вЂ” — — 0,7604+ —" ( О 3026) 3 ргг 4 Е ' р =6 ~х1 =О' 4 "'о — --- — - 1,2871 — 4-- - 07604 — г ~, 3 ргг 'О'о — -р- ° х11 О1 3 рг Ю1 = Орг — 4 1 2386 — 4 --- 1,2871 ~о 1 1 и)и = — М 2Кф2 х Щ3г И' 1 1 11 х11 г %$' Подставив Ь эти равенства выражения ы~~, д~~, М Я и решив систему х1! ' двух уравнений, определим ыо и ® во=о 904 —; — = — О 278 Е ргг до ргг Е' ~~ ' Е После подстановки значений ао и Юо функция ы~ первого участка принимает вид И1 — 0,154 ргг11(~х) 0,278 —," $ г(1х)+ 3 рг .4 Е Эти величины можно рассматривать как начальные параметры для второго участка.
Ввиду того, что второй участок — длинный, применим формулы (8.27) и (8.28); при хг = О получим Значения М„и Я при х, = 1, т. е. при х, = О: М„11 —— 0,054 Вргргг д„=о,668 ~'~"г. Функция эи второго участка и ее вторая производная: ргг ы~ — — 10,027е Р.г (сов рх — яп ~х)+ 0,334е Рх сов рх] Ф рог — =10,054е Р" (соярх+з1п рх)+0,668е Р" ип рх] —. дх~ Ф Напряжения определим по формулам (8.91) и (8,92): на первом участке Е Д2ц~ рг ~Я: - ~,у о = — г = — 2 ( — 0,616 1' г (рх)+ 1,112Р4 (рх)1; х — 1 «'~» — 1 г ° г Х ~0,154$'1 фх) — 0,278Гг фх)+— ~Р и на втором участке г [0,054е "~ (сов ~х+ 81п ~3х) + 0,668е Р" яп ~х]; л (1 г) ар = ~ [0,027е Р" ~сов ~х — в!и ~х) + Р 1 ~~9 рг + 0,334е Р' сов ٠— — — — +ра г — х Г Перемещения точек внутренней и наружной поверхности вычислим по формулам (8.92).
Результаты вычислений представлены в виде эпюр на рис. 8.26, б. В скобках указаны значения напряжений, вычисленные по способу В. Л. Бидермана 121]; светлыми точками отмечены величины, полученные экспериментальным путем. Совпадение результатов расчета по изложенной методике с результатами опыта— достаточно удовлетворительное. и ее вторая производная рг' ргг — 0,616 — Р» фх) + 1,112 — -- Ь'Щх) НЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК Глава 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
