Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В оболочке, рассмотренной в примере 9.4, напряжения и перемещения за счет деформации. второго вида преобладают. 2. При установке жесткого кольца, препятствующего искажению формы окружности сечения, напряжения в оболочке заметно снижаются; изменяется также характер нх распределений. Если бы по длине цилиндра было установлено большое число колец так, чтобы все его сечения оставались круглыми, то деформации и напряжения в цилиндре не отличались бы от вычисленных по теории изгиба балки. На основании этого можно заключить, что снизить напряжения~в оболочке наиболее эффективно можно установкой колец (шпангоутов), препятствующих искажению формы поперечных сечений. Если оболочка будет нагружена сосредоточенной поперечной силой (см.
рис, 9.10), то достаточно установить только одно жесткое кольцо в месте приложения силы, н оболочка будет деформироваться как балка, т. е. без искажения формй поперечных сечений. При нагружении оболочки нагрузкой, распределенной вдоль образующей (рис. 9„19), изложенная- методика расчета также применима.
В этом случае нагрузку следует разлот~итЬ в ряд по ср, т. е. представить в виде косинусоидальных поверхностных нагрузок, после чего решение строится так же, как и при поверхностной нагрузке И, $4. Иеиентнам теория несимметричной деформации цилиндрических оболочек Вывод уравнений моментной теории несимметричной деформации цилиндрической оболочки основывается на общих гипотезах Кирхгофа — Лява о неискривляемости нормалей и об 'мсутствии нормальных напряжений в площадках, параллельных 'срединной поверхности, а также на предположениях о малости ,:толщины по сравнению с радиусом кривизны и малости перемещений : по сравнению с толщиной (см. гл. 8, ~ 1).
Исходными уравнениями являются уравнения (9.10) — (9.12), 'связывающие компоненты деформации срединной поверхности е„, е,, у„~ с перемещениями точки срединной поверхности и, а, и. ' К этим уравнениям следует добавить зависимости углов поворота ,-нормали в окружном и осевом направлениях ф и б от перемещений -(см. рис. 9.5). Угол ф связан с перемещениями равенством (9.15).
Угол 6 -.зависит только от ы дх Определим перемещения точки произвольного слоя, располо"- женного на расстоянии г от срединной поверхности (г отсчитывается -"по направлению к центру). На основании гипотезы неискривляе" мости нормалей и предположения о тонкостенности ~а и ~~а ~д — ~ $~з ~~,в =~. Произведем замены в уравнениях (9.10) — (9.12), (9,15) и (9.16): г на г — г; и на и,; о на о,; в на в„в результате получим выра- жения деформаций в произвольном слое: в осевом направлении ди дб ди д'в е = — — — 2=- — + — 2 дх дх дх дх~ (9.56) и в окружном -направлении Множитель ((1 — -) в знаменателе ввиду тонкостенности примем за единицу; тогда с учетом равенства (9.15) получим дО и дО дамбу е~, — — — + — — г — — —.
° г д<р г г~ д(р гР д(р' (9,57) угловая деформация в г-м слое до ди, 1 до дф (ди дб . 1 'Ю вЂ” + дх где~ а ~ дх дх ~где гор ( г ~' г~ г/ Приведя слагаемые в правой части равенства к общему знаменателю и подставив значения углов ~ и 6 согласно равенствам (9.15) и (9.54), а затем отбросив член, содержащий малую величину уй 8 —;, и приняв скобку 1 — — равной единице, получим до ди г Уа дц Р1 = + +~ дх г дф г дфдх дх Из этих условий на основании равенств (9.68) и (9.69) а~ соз Ьр = — 1; (ф; Π— — Д (<р)+1»(~р), г откуда следует а~~' ~, (~р) — соз А р, ]~й (~р) — — — з1п йу; аа и выражения перемещений принимают вид (1 — х) и =ад соз ЙР1 (Š— х) .
о= — ад — ви Ьр! И а~г и — соз Ьр- Ий По формулам (9.60) вычислим Ье составляющие изгибающих и скручивающего моментов: е ад (1 — х) а~ (1 — х) соз Ьр — М соз Ьр+ Мс=0 = — 0 (И вЂ” 1) соз Ьр; а~ (Е=х) гЧ а~ (1 — х) соз Ьр а~ (1- х) Ю соз Ьр гЧ ~ «Ч аф з(п Ьр а„ 1 й а~ (7Р—.1).з1п Ьр 1 М„=0 (1 — р)— 2Р дд и=-" соз Афа л,г Д ля определения внутренних усилий в данном случае формулы (9.60) непригодны, так как при деформациях срединной поверхности, равных нулю, они дают значения усилий, также равные нулю. Внутренние усилия Т, Т~, 3, а также Я„ и Я~ в данном случае могут быть определены по уравнениям равновесия (9.61)— (9,65): ~ЕМУ ~ЕМУ аа (й' — 1) Я = — "+ —" =+у,0 созЬр+ ах г 'ЕФ г»1 0 (1 — р) ар, (ДР— 1) 0а~ (И вЂ” 1) соз Йр гЧ соз Ьр = дМ~ ЙИд а~(1 — х)(И вЂ” 1)Й ап Ьр г»1 Я Щ„0 (Š— х) а~ (й» вЂ” 1) йй соз Ьр сну дх 1'(~~ ИТ~ ~ 0 (1 — х)» а~(йй — 1)й й з1п Ьр г йр~ г 15 0 (1 х)»а (ьй 1)» ьй соз Ь„„ Тх= — — ах= 6 а1 гдф г На краю оболочки при х = О Оа~ (Йй — 1) соз Ьр 01а~ (И вЂ” 1)й й зщ Ьр гЧ 2г4 0(1 — р,) ад(Π— Ц з(п Ьр 0а~ (У вЂ” 1) созйр МхФ= ц У гй В действительности же на краю оболочки имеется только радиальная на- грузка +дФ) + ~( х1) Усилие Ц~~ 'найдем, используя зависимость (9,43): а(Я) й 5 1 01аФ (йй 1)й соз Ьр х ~ Ч~ 2г4 Усилие (~ определяется по моменту М ~ по аналогии с зависимостью(4,67) (мх1) х!' 'гл.
4: (м„,) дМ„~ ~ М,~ 0 (1 — р) а~ (й' — 1)'соз Ьр г»ЕО Сложив 9», Я'„' и Я~ „" ~ и приравняв нагрузке д~, получим уравнение 0а~ (И вЂ” 1) соз Ьр 01а~ ( — 1)' соз Ьр гЧ 2г4 + 0 (1 — Н) аь (Ай — 1)й соз Е ср 2Р + г »ЕЕР = — — соз Ьр, из которого найдем 2Ргс ~Ъ= п0 (Ай — 1) ~ + —, (й~1)+~1 — „~ (Й~ — 1) Радиальное перемещение и изгибающий момент в окружном направлении при х = О и <р = О определяются суммированием соответствующих рядов: \ ®~х-е, ср-о~ аа, 1=2. 4.. М ~(х'-е, ~р-е) уй 4=2,4, Результаты вычислений в и М~ при г= 10 см, 1= 30 см, Ь= 0,2 см, Е = 2 10' Н/смй, р = О,З приведены в следующей таблице: Заметим, что приведенное решение на основе теории чистомоментного напряженного состояния не вполне удовлетворяет граничным условиям, так как при х= О получается некоторая растягивающая сила Т„и момент М„, тогда как в действительности они равны нулю.
Величины этих силовых факторов, однако, получаются небольшими. Юля того чтобы установить зависимость между величиной коэффициента а~ '. и нагрузкой, заменим 9,, Я и М„~ (при х = О) некоторым суммарным эквивалент':, ным поперечным усилием 392 Я Бояршинов 1 с$1 61 6 $ к в е+ ~ +~г~ые $+ гд соя е гд е„= . = е + — с1до. Я~ яп6 (10.8) (10.4) ЕЬ Т,=1,(е~+Р,е )= м| е1~ л~ ин е + ~ Р„, де соя е (10.9) (10.10) (10.11) (10,5) (10.6) о =:„11е.+) .2=, „,[ (10.7) ~Й Ртг'~у~~ Огг'ЯРЙ Л/2 А/2 7'т = ~ ет*Фе; 7 г ) <уы ~Йе. — Ь/2 — Ь/2 Изгибающие моменты сравнению с точкой М на величину гб сов 6. Сложив это переме- щение с перемещением точки М, равным $, и разделив полученную сумму на г = Р, ып ~, найдем относительную окружную дефор- мацию в г-м слое: Для определения меридиональной деформации в г-м слое вычислим удлинение отрезка РЯ.
За счет поворотов нормалей длина этого отрезка увеличится по сравнению с отрезком МФ на величину аЮ. Первоначальную длину отрезка Р$ ввиду тонкостенности оболочки можно считать равной дз. Следовательно, меридиональная. деформация г-го слоя по сравнению с деформацией'срединной поверхности будет больше ~Од на — „и полная меридиональная деформация составит Перейдем от деформаций к напряжениям. По формулам обобщенного закона Гука: Е Е а„=~,~е„+ре~,~ = —,[~е,+ре )+ Первые слагаемые в квадратных скобках, не зависящие от г, соответствуют напряжениям растяжения (сжатия).
Вторые, линейно зависящие от г, — напряжениям изгиба. По напряжениям определим внутренние силовые факторы. Растягивающие силы В результате подстановки под знаки интегралов выражений (10.6) и (10.7) и интегрирования получим ЕЙ Тт = 1 „, (ел+ ред = Зависимости (10.8) и (10.9) можно также представить в ином виде, выразив деформации срединной поверхности через усилия: 7т Ру~. (10.12) (10.13) Кроме нормальных напряг.ений а и а, и соответствующих им силовых факторов Т, Т~, М„„М„в окружных сечениях оболочки возникают еще касательные напряжения т „ сО т~Г4у> перпендикулярные по- ~И верхности оболочки, Им соответствует поперечная сила На срединной по- верхности касательные напряжения тщ~ дости ~~~дгй~фй гают максимума, а при 1 г = -~- й обращаются 2 в нуль.
Эти напряжения не имеют существенного значения при рас- Рис. 1О.Ю чете оболочки на прочность, однако их равнодействующая — поперечная сила Я вЂ” играет важную роль в уравнениях равновесия элемента оболочки. На рис. 10.3 изображен элемент оболочки с действующими на него силами и моментами. Кроме внутренних силовых факторов, на 99У Е,Я-~-аГ) — О!аЕЬ !0~1 !!~~ =О. откуда Й= ~~ — ~-цу = ЕЬй тогда аЕй араб = — — =~ $я 0 . 1а 0 $Г12 (1 — РР) а0 Ь (10.57) Из уравнения (1ОА7) 1~ = — ЗйЮс1д 6, (1О.58) Следовательно — Я+Р) Ьра'со~'6 -дЕЬ |д0 (10.55) или «10.59) г„(г) =еж!~ов с,~~) = ''" !'. «1О.56) 1я 6 $12 (1 — ~Р) Р— 18 Ь 4 или г-! !Г'!Х, (10 60) 408 щее осевой растягивающей силе Р, равной весу отсеченной верхней части: Р=луЬз,'соя О.
Об Олочка нагружена инериаонными силами при равномерном враи~ении с угловой сюросиию а рад!с (рис. 10.6, д). Интенсивность инерционной нагрузки в произвольной точке уЛоУ~ у/~и~я сов 8 К Ы Так как эта нагрузка перпендикулярна оси оболочки, то Р «з) = О. Разложив нагрузку на нормальную и касательную составляющие, получим рйаЪ 81п 0 сов 6 е И Э р =рсоьо= Р~ ~ По формуле «10.45) «3+Р.) Ара~Р соР 6 И Функцию о найдем в виде, подобном функции Ф, «в), т. е.
д = Аз'. а из уравнения «10.46) (3+Р,) Ьрий сов~ 0 дЕЬ 1ц0 д 13+ Р) рЬзоз~ соя~ 0 4д(1 — Р,) ~ф0 — Ьра~ сов~ 6 Ю И~ П ереидем к определению общего решения системы однородных уравнений: Эти два уравнения второго порядка с двумя неизвестными можно привести к одному уравнению второго порядка относительно комплексной неизвестной 11Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
