Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 26
Текст из файла (страница 26)
$ 1. Полубезмоментная теории цилнндрических оболочек В. 3. Власова На рис. 9.1 изображены тонкостенные цилиндры, опирающиеся на две опоры и нагруженные равномерно распределенной нагрузкой. Первый цилиндр (рис. 9.1, а) имеет большую длину по сравнению с диаметром; второй (рис.
9.1, б), наоборот, малую длину; третий (рис. 9.1, в) цилиндр имеет длину, соизмеримую с его диаметром (цилиндр средней длины). При деформации первого цилиндра преобладает изгиб в продольном направлении. Такой цилиндр можно рассматривать как обыкновенную балку, поперечное сечение которой не искажается. Второй цилиндр в основном деформируется в окружном направлении и почти не изгибается в продольном направлении. В этом 4~ случае изгибом в продольном направлении можно пренебречь и ~р рассматривать цилиндр как плосРйс.
9.1 кое кольцо. В третьем случае роль .изгиба в продольном и в окружном на- правлениях приблизительно одинакова. Этот случай более сложный. Наиболее точное решение задач такого рода может быть получено на основании моментной теории, в которой учитываются изгибающие моменты в стенке оболочки как в продольном, так и в поперечном направлении. Однако практическое решение задач по моментной теории.связано со сложными вычислениями. Более просто задачи о несимметричной деформации цилиндрических оболочек решаются по полубезмюментной теории В. 3. Власова ~8, 9]. В этой теории, кроме общих гипотез теории оболочек Кирхгофа — Ляна, введены дополнительные допущения.
1. Прйнимается, что нормальные напряжения в сечениях, перпендикулярных оси оболочки, равномерно распределены но толщине 362 , стенки (но переменны по окружности). Для пояснения этого допу-. :, щения на рис. 9.2, а показано действительное распределение напряжений, возникающих при изгибе тонкостенного цилиндра, а на рис.
9.2, б — распределение напряжений, принимаемое вданной теории. Первое допущение можно с~рмулировать также иначе: изгибающий момент М„в стенке оболочки в продольном направлении считается равным нулю, т. е, нормальные напряжения в поперечных сечениях оболочки приводятся только к осевому усилию Т„, интенсивность которого переменна по окружности. ° 2. Касательные напряжения т„„перпендикулярные срединной поверхности, и соответствующая им поперечная сила 9„принимаются равными нулю. Касательные напряжения т„„направленные по окружности„ считаются равномерно распределенными по толщине стенки. Эти Рис. 9.2 .," Р Ф напряжения приводятся к сдвигающей силе 5, интенсивность .
которой также переменна по окружности. 3. Оболочка считается нерастяжймой в окружном направлении. Относительное удлинение срединной поверхности в окружном направлении принимается равным нулю. 4. Угловая деформация срединной поверхности также принимается равной нулю. Это допущение аналогично допущению, принимаемому в теории стесненного кручения тонкостенных стержней, согласно которому угловая деформация срединной поверхности считается равной нулю, несмотря на наличие касательных напряжений стесненного кручения.
5. Взаимное влияние продольной и поперечной деформации не учитывается, т. е; коэффициент Пуассона считается равным нулю. Введение всех перечисленных гипотез равносильно замене реальной оболочки расчетной схемой (рис. 9.3), в которой оболочка представляется как- совокупность большого числа отдельных нерастяжимых колец, связанных между собою шарнирными связями, запрещающими относительные перемещения в осевом и окружном направлениях, но не передающими радиально направленных поперечных сил и изгибающих моментов.
Уравнения полубезмоментной теории В. 3. Власова можно также получить исходя из уравнений общей теории несимметрич- 363 ной деформации цилиндрических оболочек, отбросив в них некоторые второстепенные слагаемые И81. В дальнейшем, однако, будем основываться на сформулированных выше допущениях., Приведем краткий вывод основных зависимостей рассматриваемой теории.
Выделим из оболочки бесконечно малый элемент (рис. 9,4) и составим уравнения его равновесия. Согласно принятым допущениям по граням элемента, перпендикулярным оси оболочки, действуют только растягиваю- Н щая сила Т„и сдвигаю- ~ ~~ Р ~Ф~х ~ гФ+РКх~'ФФ~ щая сила 8.
В продольном сечении возникают: нор- 'Й мал ьная сила Т~, сдви- Мфх+ Мффб Ю гающая сила 5, а также '% поперечная сила Ц и изгибающий момент М~. 6х фМи)6р у-ЯИхИу Ю *р- ЩФ)Фф Рис. У.г Рис 9.4 С увеличением координат на дх и Й~ все эти силовые факторы получают соответствующие приращения, как показано на рис. 9.4. Кроме внутренних силовых факторов, на выделенный элемент действует поверхностная нагрузка, имеющая радиальную составляющую р„осевую составляющую р, и окружную составляющую р,, Приравняв нулю суммы проекций всех сил на нормаль к поверхности, на продольную ось х, и на касательную к окружности, 8 также сумму моментов относительно оси х„получим следующую систему уравнений; — +Т~ — р,г=О; д(~~ дф дт дЗ вЂ” "г+ — + р,г=О; дх д~р дт, М вЂ” + — г — ф+Рзг = О; д~ф д~ дМ~ — — Я,г=О.
д~р (9-1) (9.2) (9.3) (9,4) В этих уравнениях слагаемые более высокого порядка отброшены, а также учтено, что з~п Йр = с6р, соз Йр = 1. Четыре уравнения равновесия содержат пять неизвестных силовых.факторов: приведем эту систему к одному уравнению с двумя неизвестными. Выразив из уравнения (9.1) силу Т~ подставим ее в уравнение (9.3).
— —, + — ' г+ — г — Ч+р,г =О. дЩ др1 дЯ (9.5) Р Разделим далее уравнение (9.5) на г и продифференцируем по ~, а'уравнение (9.2) продифференцируем по х, после чего вычтем одно уравнение из другого: д'Я~ дйр1 дЯ~ дрз д~Т„др~ — —, + — — — + — — — — '~г — — 'г=О. где дф где йу дх2 дх Это уравнение, с учетом равенства (9-.4), можно представить также в следующем виде: д.т„1 ~д4М, д М,~ д2Р, др, др. — + — ~ — + — ~= — — — +— (9.7) дх~ гз ~ д<р4 дф ~ где дх г д~р' Введем обозначение дифференциального оператора В.
3. Власова: (9.6) (9.9) д0 И> (9.1 1) ду ди (9.12) Так как согласно принятым допущениям е~ = О и у„, = О, то из уравнений (9.11) и (9.12) следует д0 (9,13) ди дО г дф дх (9.14) — + — =Й Д4 дЯ (9 8) д~4 д(рВ 1 тогда уравнение равновесия (9.7) запишется более кратко: сРТ ох~ г~ х 1 ц(м) д Р1 дР2 дРз где дх гйр ' Перейдем к выводу уравнений деформаций и перемещений. На рис. 9,5 показан элемент срединной поверхности и обозначены компоненты перемещений: ы — радиальное„и — осевое, о — окружное. Приращения перемещений, соответствующие приращениям координат дх и д~р, указаны на том же рисунке. Выразим относительные линейные деформации а„и е~ и угловую деформацию у„~ через перемещения ди '"=д ' (9.1О) Определим угол поворота нормали ~$ в окружном направлении.
При перемещении точки М по окружности на расстояние о (см. рис. 9.5) нормаль поворачивается на угол —;при перемещении двух соседних по окружности точек М и ~ в радиальном направлении, соответственно, на ы и ы + — ~Ьр поворот нормали составляет ди д~~ ду — —. Следовательно, полный угол поворота нормали в окружном г д~р направлении о дФ Ф= — —— г где ' Изменение кривизны окружности при деформации равно производной от угла ф по длине дуги 1 1 дф 1 до Ув Х а г 'г дф гР дф дф (9.15) (9.16) Используя зависимости (9.13) — (9.16), выразим перемещения и и ж, а также изменение кривизны х ~+ ~~ через окружное перемещение о." 9~ и+ Фх - в= — --' (9.17) д~ 1 Ч+ Фх до и = — — г йр', (9.18) и дх дй~ ~ Напишем уравнения упругости, ~+ у связывающие внутренние силовые фак- торы и деформации.
Согласно закону 9 ф~й Гука (при р = О) Т„= ЕАе„= ЕА д"„-, (9.20) М~ — — — Е,Хк. (9.21) 4 Для оболочки с постоянной тол- щиной стенки, изготовленной из. изот- ропного материала Рис. 9.5 у~э Е1=ЕЗ=Е' Ь1=6' 3= 12. Для ортотропных оболочек величина Ь1Е, представляет собой жесткость при растяжении в продольном направлении, отнесенную к единице длины окружности, а величина Е,1 — жесткость при изгибе в окружном направлении, такще отнесенную к единице длины. Для оболочки, подкрепленной изнутри кольцевыми ребрами, величина Х равна моменту инерции Т-образного сечения, соответствующего одному шагу ребер, отнесенному к величине шага.
Для "= большей общности будем рассматривать оболочку как ортотропную и считать, что Я, ~'= Е, Запишем выражения силовых факторов Т„и М, через окружное перемещение о. Из уравнений (9.18) — (9.21) следует дйо Т„= — — „, гЕ161 йр; (9.22) Остальные внутренние силовые факторы гакже можно выразить через о, воспользовавшись уравнениями равновесия (9,1), (9.2) и (9.4): (9.23) дМ~ Е23 Уо д'о Е~3 Ю = д = — --' — + — = — — — ' й (о); (9.24) гд~ Р д~ф дф гздт„ 8 = — —" г Йр — р,г фр = д» г'Е1Ь1йр Иф — р,гор; (9.25) Т~= Р1г- — = Р1г+ — --- ~ (о) дЯ~ ' Ер3 д дф дф (9.26) Неопределенные функции от ~р, получившиеся при интегрирова- нии по х, отброшены, так как функции и, Т„и 5 должны быть периодическими. Теперь все внутренние силовые факторы и перемещения выра жены через функцию о, Для определения этой функции используем уравнение равновесия (9.9).
Подставив в него выражения (9.22) и (9.23) и продифференцировав по ср, получим разрешающее урав- нение (9.28) т„7'Ф МФ, . 8 Ь 1 ~1 Ь Ь~/6' 7»~ Ь ' (9.29) 367 дао Е23 ,— ЕА+ —,',— Ий (о) = — Р(х, ~р), (9.27) '-;=.. где Р (х, «р) — функция поверхностной нагрузки; Р(~ ф) = — — — +— дзР1' д1Ра д~Ра Р дф гдх д~р г~ дф' Уравнение (9.27) интегрируют в рядах; заданные нагрузки раскладываются в ряды Фурье; функция о находится также в 'виде ряда. Содержащиеся в решении постоянные интегрирования определяют по граничным условиям на торцах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
