Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ЛГ После подстановки знач качений д~ и д, и замены функции о выражением уравнение упругой линии кольца принимает вид Е3 — ( — И+2й4 ~и) р "(»-о) яп ~%+ ~о~ з1п Ьр— РА гтг Последнее уравнение вместе с полученным ран об уравнений с двумя неизвестными: о 5 ее разует систем х у дву А~» ~ц) и ой- Результаты решения этой системы при некоторых знач ения х следующие: Радиальные перемещения нане хнем к (9.! 7); р нем краю оболочки согласно уравнению до ~ ~»-о~= —,у — ~ = ~й!» о1~ соз ~9~ нли ~~» о~ =' ~А«» о1 ~. (9,29).
Осевые усилия и нап яжени ряжения могут быть определены по уравнениям (9.22), Изгибающий момент в кольце, в сечении, где приложена сила Р, согласно ,;уравнению (4.51): Е3 сРв Ы и,, — — — +,„= — ж ~~(х-о) «~ )' г' дЧ' ~» = о~ ( Числовые значения этим величин следующие: ~ ц~,» о, и Тх,» а — с" Изгибающйй момент в опасном сечении кольца М,~ о> — 1500 Н см; соответствующее максимальное напряжение ~И 6 1500 6 а = — — = 450 Н/ем~.
п1ах ВНо 0,5 - 2о Приведем'решение этой же--задачн по безмоментной теории. В гл. 7 (пример 7.6) было получено следующее выражение функции о для цилиндрической й по нижнему краю и нагРУженной по Р " У сдвигающей силой «!о (Ч): ,рд „з 3х '~ ~о 0 — х) бгоИ снбо 1и ~~ и х = О это выРажение принимает Ри о = о,оз ' ~1»-Й ни „ „„ „ авнення совместно с уравнением дефор~~~~ " при задани и заданных числовых величинах приводит к следующим результатам." РИ Ф= ваап Ьр, или Р (х, Р) = ~ Р, 8!п ЬР, ! (9.47) где (9.48) + 87 $оф (9.49) (9.50) о ° ° Ф ° ° о о ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° о ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° + ' И (У вЂ” 1)2Р» — — —. Р» Е1И1гв» = Е1Л1 о о ° о ° ° ° ° ° ° ° ° ° о о ° ° ° ° о ° ° ° ° о ° ° ° ° ° ° Р8 =Р88+8 8Р88 С08 887; ! Ро = Роо+ Х Роо сто АЧ; (9.46) Ро = Роо + ~ Роо 8 !и Йр ° ! 381 380- со~х-о> и Т„, построенные на основании решения по беэмоментной теории, приведе ы на рис.
9.13. Сравнение эпюр показывает, что разница между решениями по безмоментной теории и полубезмоментной теории в данном случае сравнительно невелика. Это объясняется тем, что напряженное состояние рассматриваемой оболочки близко к безмоментному. Совпадение результатов фдет лучшим, если в решении по полубезмоментной теории учесть перемещения за счет сдвигов, вызванных поперечной силой. $ 3. Расчет цилиндричесних оболочен, находящихся под действием поверхностной нагрузки При действии поверхностной нагрузки расчет цилиндрической оболочки по полубезмоментной теории ведут, основываясь на разрешающем уравнении (9.27).
Правая часть этого уравнения представляет собой функцию от поверхностной нагрузки, определяемую равенством (9.28). Предположим, что поверхностная нагрузка симметрична относительно плоскости ~р = О. Тогда составляющие нагрузки р„р,, р, можно разложить в следующие ряды: Подставив эти ряды в равенство (9.28), определим функцик~ нагрузки Внесем выражение (9.47) в правую часть уравнения (9.27); решение последнего найдем также в виде ряда Р=КР888пйР, 1 где Р» — функция только от х.
В результате подстановки ряда (9.49) в уравнение (9.27) последнее принимает следующий вид: Д 88 о ' 8 ) ео~ Рфо (Ро — 8)8~ 8 8 и ЙР = — ~~ 8'8 3 !п А7. 1 1 еь4 гв» 1 Это уравнение приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений: ~ФР, 1 1 Р ° дх4 Е~ 1 + — 2 (2 — 1) ~2= е ~, Р2'ю ~ф~В Е1 1 Первое уравнение системы (9.50) характеризует изгибную деформацию оболочки, не сопровождающуюся искажением формы окружности. Не трудно убедиться, что- напряжения и перемещения, соответствующие этому уравнению, полностью совпадают с найденными по элементарной теории изгиба бруса, Второе и последующие уравнения системы (9Ж) характеризуют деформацию оболочки, связанную с искажением формы поперечного сечения. Рассмотрим к-е уравнение системы (9.5О); с учетом равенства (9.34) это уравнение можно переписать в следующем виде: ж+®" =-Е,,р (").
ФР» (9.51) Общее решение уравнения (9.51) представим в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения Р» и частного решения данного уравнения Р». ~'» = ~'»+ ~'»- (9.52) Решением однородного уравнения Р» являются. выражения (9.35) или (9.37). Частное решение неоднородного уравнения (9.51) зависит от вида поверхностной нагрузки.
Н том случае, когда — Р»-(х) = О, частное решение неоднородного уравнения имеет вид (9.53) Постоянные интегрирования, содержащиеся в выражениях (9.35) или (9,37), выбирают такими, чтобы суммарное решение Р» определяемое по уравнению (9.52), удовлетворяло граничным условиям на торцах.
Пример 9.4. [111. Тонкостенная цилиндрическая труба с днищами, опертая по концам на две опоры, заполнена водой до уровня, определяемого высотою Н (рис. 9,14). Дано: 1 = 4О м; 2г = 3,2 м Н ='0,516 м. Разложим давление в ряд по (~'. Р Р,+ ~ рд сов Ьр. Ф=! Интегрируя правую и левую части равенства от О до 2л, найдем р»'. +чю уг (соз ~р — соз щ,) йр= р62п'„ уг Ро= Р з'и Чо — 2Ч', соз ~р4- 2д Ча Для определения коэффициента р» произвольного члена ряда умножим правую и левую части равенства на соз Ьр и проинтегрируем от О до 2л: ЧЪ 2й уг(сою~ — сов~о) совйуЩ= ~ р~ сов'Йуйр, — «Ро откуда уг2 Р» = — «Оь где з1п А%о соз ~%о й при й4:1: з[п [(1+1) «~Д з[п [«А — 1) ~1 2 (й+ 1) 2 (й — 1) а»=-.-- — — з1п 2Ч~о при 1=1.
Чо 2 4 ' Ь Й вЂ” е уравнение (9.5О) принимает вид сРГ~ — + 4р'Р = 2ьз «д» дх~ » " пЕЬ' Составляющая давления ро, вызывающая осесимметричную деформацию — трубы, не имеет существенного значения и в дальнейшем не рассматривается. Определим функцию поверхностной нагрузки Р. Согласно уравнениям (9.47), : (9.48) при рз = рз*= О и ф1 = р» — яд 18 2'~«о~,И ~~ 2'~«одй~ Р~= —; Р= р — ап Ьр з = ° » — 1 Рис. 9.14 Определить напряжения и деформации, вызванные силами веса жидкости.
Давление воды на цилиндрическую стенку трубы и на днище: при Ч'о ~ Ч~ ~ ЧЪ Р = T (соз Ч вЂ” соз Ч~о)э при, (ро ~ «р ( (2л — щ) р = О. Давление иа днища и на цилиндрическую поверхность можно рассматривать независимо одно от другого. Так как днища имеют большую жесткость при растяжении в своей плоскости и исключают возможность искажения формы окружности около торца, то давление на днища будет вызывать только внецентренное растяжение трубы. Определим деформации трубы, возникающие при действии давления жидкости на цилиндрическую поверхность.
:-:где Ц» определяется по уравнению (9.34). Решение этого дифференциального уравнения можно найти, как обычно, в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного реше-. ния данного уравнения, однако в рассматриваемом примере целесообразно посту' пить иначе, В данной задаче граничные условия симметричные: : при х=Оа=О; Т„,=О; прих=! о О; Т„=О. «Предполагается, что днища не оказывают сопротивления перемещениям, пер' пендикулярным плоскости днища, Давление жидкости на днища здесь не рассмат ривается, оНо может быть учтено отдельно.) На основании зависимостей (9.22) н (9.49) уравнения граничных условий мож:.
но представить в следующем виде: »«о) (хо Так как эти условия несимметричны, то решение следует искать, как обычно, в виде суммы общего решения однородного уравнения (9.37) и частного решения уравнения с правой частью (9.53), т. е.
Ру; А1~У1(~1~х)+А~~У4 (Цх)+ Аз~Уэ (~~х) + + А4А У4 фйх) + 4 ' 2~эуоЪ Определив по граничным условиям постоянные интегрирования и по уравнению (9.49) функцию о, нетрудно вычислить перемещения'н напряжения. На рис. 9.16 изображены эпюры осевых нормальных напряжений в среднем поперечном сечении трубы: а) по элементарной теории изгиба бруса (рис. 9.16, а); б) по теории В. 3. Власова при отсутствии кольца в среднем сечении (по сумме чле- нов ряда до А = 4, рис.9.16,6); в) тоже, но при У наличии жесткого кольца в среднем сечении цилиндра (рис. 9.16, в).
~а рис. 9.17 приведены эпюры осевых.на.пряжений в нижнем растянутом волокне по длине цилиндра для тех же трех случаев. Сопоставив эпюры, можно сделать следующит выводы: 1. Напряжения в оболочке при данной нагрузке сильно отлнча1отся от вычисленных по элементарной теории изгиба бруса. Чтобы пояснить сущность этого отличия, представим заданное давление (рис. 9.18, а) в виде суммы двух нагрузок, показанных на рис. 9.18, б и 8. Первая из них вызывает'изгиб оболочки как балки, а Рис. 9.19 вторая деформацию оболочки, связанную с искажением формы поперечных сечений. Чем меньше толщина стенки, тем более существенное значе'ние имеет деформация второго вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
