Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В этом случае внутренние силовые факторы и перемещения связаны с функцией 1~ следующими зависимостями: У МР азУ (10.106) Йв ЕЬ 46З ' ~', = 6~Г. Мс Ы РМ~', Ка основании малости 6 по сравнению с ее производной слагаемые, содержащие Ю; в выражениях изгибающих моментов отброшены. Запишем уравнения граничных условий для рассматриваемого случая нагружения краевой нагрузкой: при а О М =М при а=0 .Я=Я, или с учетом равенств (10.104), (10.105) и (10.106): Я~О Мо Яв Я~ = т- щ 1С1+ Сй); — »'т 1 Юо = Сь Яф откуда Св Яой~ Сз = -~- — — ЮоК.
ЖиФЬ~ йе В результате дстановки функции У и ее производных, с учетом значений С» и с~, выражения внутренних силовых факторов и перемещений принимают вид Т„, = с1до — 'Кио — тор ~(О= Эо') ~о ЕЬ ~ „ц2а й М~,18З5 5ЗЗОО, Я,е '"(сов ии — в1паи)~ + а во) Мео е (со~ ао + 1~т — в|пав) +-Я,е ~соваи~; (10.107) М„,=М„„е в" (соиаа+Йпаи) 1- ЯФж — е Йп ав; М~ — — рМ~; (10.108) 1 6~о =д 2а%~ М'л ш Тт — — Щ, с1я Ок~ Рис. 10.16 2сЖ~ + — Юо ~ +РЮос~яек т рй 2е М т -аа со~ а~о+ — — то ~~д Яй ЮО220ев(созаи+ 31пасо) На краю оболочки при и = 0 ,р ~ ввво1~в~в+ ~о1~ввв аХ) + 2аЮ ' Верхние знаки относятся к верхнему краю пояса оболочки, а нижние — соответственно к нижнему.
При действии на оболочку произвольной осесимметричной нагрузки к решению, определяемому равенствами (10.107), надо добавить еще частное решение неоднородной задачи, которое в большинстве случаев определяется по безмоментной теории. Точность расчета, выполненного по изложенному методу, тем выше, чем ближе угол наклона нормали на краю оболочки к 90' и чем меньше величина'~~ ~г .
Практически этим методом можно пользоваться, если угол на краю 8„~ 35'. П ример 10.6. Определить перемещения на краю сферической оболочки, изображенной на рис, 10,12, б. Дано: Я„, = Я~ = Я = 50 см; Ь = 0,3 см. Воспользуемся изложенной теорией краевого эффекта. Вычислив параметр а 1см. формулу (10,100)1 и изгибную жесткость О: З(1 — ро) " ~Л З(1 — р,) в~и~ = ~ ю В= ЕИ =2,475 10 зЕ Н см, 12 (1 — р~) по формулам (10.100) определим 6, е о, $ при 6 = 90'. Знаки берем нижние: М„ц,К Я ф~ М „ц 1220 Ц11840 о %1 ~ 1 3и1 + 1 аЮ 2аЮ Е Эти значения совпадают с полученными в примере 10.3, где та же задача была решена на основе точных уравнений.
Высокая точность решения по методу Штаермана — Геккелера в данном случае объясняется тем, что угол О „равен 90' и радиусы кривизны имеют постоянное значение. Пример 10.7. Сравнить значения внутренних силовых факторов и напряжений в сферическом куполе для четырех вариантов граничных условий (рис. 10.16); а) купол нагружен по краю только нормальной меридиональной силой— безмоментное напряженное состояние (рис. 10.16, а) б) край купола жестко заделан (рис. 10.16, б); в) край шарнирно закреплен (рис. 10.16, а); г) край свободно опирается на плоскость (рис. 10.16, г). Дано: К = ЗОВ", а„= з5.
В первом варианте возникают только нормальные усилия Т,„и Т~. Согласно уравнению Лапласа при Я,„= й~ = Я По углу 6 эти усилия постоянны (рис. 10.17, и). Напряжения РЯ о~=о = — — = — 15р Ш и относительное окружное удлинение ~г — И~в Р ( — Р) 105 Р ЕЬ 2ЕЬ ' Е также по углуб постоянны. Угол поворота нормалей в этом состоянии равен нулю (д = О). Рассмотренное беэмоментное напряженное состояние оболочки соответствует частному решению разрешающих уравнений, =7,04 найдем г~глвах — 15 ~Р' ~5~пых 15 6Р' -72, б) Рис.
10.17 ~~(1 — Р) 0 2ЕЬ вЂ” Я~2а+ р4~~ сад 35' откуда 6Ь =ЯщдО и 0,--2,57 10- рй--0,77рЬ. Запишем граничные условия для второго варианта: при 6 35' 6 6+Ь=О; при 6 35' вс е~+ву О. Подставив в эти граничные условия значения 6 и е~, а также 6 и е~, согласно зависимостям (10,108), получим два уравнения: МтР ЮФ' а аП 2аЧ? — — Ь2а+ ИЬ с~а 85'— М~,фаз Ж (1 — 1~) й 2ЕЬ =О В результате решения этих уравнений при Я ЗОЛ, сад 35'= 1,4281, р О,З, Я,= — 1.59рЬ; М„щ — — — 3,38рЬ'.
~р~ Далее по формулам (1 ., используя табличные значения функций (см. табл. 8.1), нетрудно определить внутренние силовые факторы при промежуточных значениях угла 6 и построить соответствующие эпюры (рис. 10.17, б). Аналогично, но более просто рассчитывается третий вариант. * В этом случае граничные условия следующие: при 6=35' М „=О; при 6=35 вг=вг+вг=О.
В На основании второго условия с учетом последней формулы (10.108): Эпюры внутренних силовых факторов для третьего варианта приведены нв р ..Р7,. Наконец, в последнем четвертом варианте в силу того, что купол свободно опирается на плоскость, изгибающий момент и сила распора на краю купола равны нулю, т. е. при 6=35' М,=О; при 6=35 Т~,соз35' — Язз1п 35'=О. Согласно второму условию, реакция опоры имеет только вертикальную составляющую, интенсивность которой определяется по уравнению равновесия Л вЂ”" З,б9рй. Р~ з1п'6к Спроектировав эту реакцию на направление нормали к поверхности оболочки, найдем поперечную силу на краю Яо — — — Л соз 6„ — 8,59рЬ соз 35' — 7,03рй.
Подставив в формулы (10.107) М~= Ои Я, =. — 7,03 рй и добавив частное решение, получим значения силовых факторов, указанные на эпюрах рис. 10.17, г. Вычислим максимальные напряжения при различных вариантах закрепления. В первом варианте (см. рнс. 10 16, а) напряжения о,в и с~ постоянны как по углу 6, так и пе толщине оболочки и составляют о~ = о,в = — 1Бр (безмоментное напряженное состояние). Во втором варианте (см. рис.
10.16, б) максимальное напряжение возникает около края: с „„„= -„-+ —,, 12,Уф+20,3р 33,0р. т,„М„,6 В окружном направлении напряжения значительно меньше. В третьем варианте (см. рис. 10.16, в) наибольшие напряжения возникают на некотором удалении от края и составляют В четвертом варианте (см. рис. 10.16, г) наибольшее напряжение возникает аа счет окружного растяжения гг~,„а„= 83,9р. Напряжения изгиба в этом случае имеют максимальное значение на некотором расстоянии от~края и достигают величины о~ = ~ 55р или с учетом меридионального усилия о,„п,„, — — 71р. Как показывают результаты расчетов, наиболее неблагоприятный вариант— четвертый. Это объясняется тем, что при свободном опирании купола не обеспечено восприятие силы распора, вследствие чего оболочка находится в состоянии, наиболее далеком от безмоментного. Рассмотрим вопрос о применении метода Штаермана — Геккелера к расчету конической оболочки. Поскольку угол О в этом случае постоянный, он не может быть принят в качестве независимой переменной.
За независимую переменную необходимо принять координату л, отсчитываемую вдоль образующей. , После перехода от переменной В к переменной 8 на основании се отношений д (е) Нагрузка р„направлена перпендикулярно оси оболочки. Разложив ее на нормальную и касательную составляющие, получим = р йп 6 — ~~,а3Р, (1+а в1п 6) вш 6 И 1 (10.141) ЬуоиЮ» (1+а вш 6) сОв 6 И Э где 7, — удельйый вес материала оболочки; ао — угловая скорость оболочки.
пиЕ= Введем величину Я„равную интенсивности поперечной ил силы р = О. Эту величину можно легко определить, составив уравнение равновесия части оболочки, отсеченной по окружности радиуса» = Ро. Так, например, для оболочки, изображенной на рис. 10.20, а, при р = сопв1 (10.143) Для оболочки с днищами, частично заполненной вращающейся жидкостью, при наличии давления р, (см.
рис. 10.20, б) Йе Я) ДД»р + Р2'"о» 2Ы~» 6'Р Подставив под знак интеграла выражение (10.139) и выполнив интегрирование, получим ир (10.144) 3 аметим, что в работе [18] вместо величины 9о используется . величина А, связанная с 9о зависимостью А = — — Яо (10.145) При действии одних только краевых нагрузок и и о или при действии инерционной нагрузки за счет вращения самой оболочки величина ~„очевидно, равна нулю.
Вычислим осевое усилие Р (О) в текущем сечении, приходящееся на единицу полярного угла: Г Р'(0) = — 2тЖ»Яо — р2л»И» = (10.142) »в — я~2 7жиж =~~о(оо+Ро — "+— 2 2 »4 — ~И = йоЮо+ Рой»2а в)п 6 (2+ав1п 6) 2 тжНЖ + 4 ~~Ъх в1п 6 (2+а в(п 0) 2 1 — у +2ав1п6+авв1п'6 . о (10.146) Подставив Р (О) в формулу (10.134) и приняв во внимание равенства Ро+» в)п 6 1+а в1п 6 ~ =о= ~о ~= '„.„, =~о + Ъ~о'ж, в „Ьуояф» (1 + а вш 6) вш 6 Р~ =Р+Р~~ =Р. + (»' — »',)+ И а Ф получим выражение функции Р (О) в общем виде, т. е. при одно- временном действии всех рассмотренных нагрузок р Я» — рой»а (3+2 а Ып 6) а вшр 6 (1+ а в1п 6) + 2 (1+ а вш 6) + Ужажйза д(1+а в1п6) ~ — —..., (3+ 2а в1п 6) + 2 + 5 + 5 а о1П 6+ — а'оопо 6+а' о!по 6~ 15 + ~' " ' (1+ а в(п 6)в.
Й (10.147) Продифференцировав уравнение (10.138) по О и подставив выражение (10.148), получим разрешающее уравнение тороидальной оболочки, не содержащее особенности: (1+ав1п6) —,— асов 6 — „-+г2~Р йп6 Р= д~Р дР = — о 2йо соо 6 ~ (6), (10.149) 1 (6) = о 2Й' — '+ — '' — —, + — + в~~о Р»а»о Уж~ож~~о»о 1»р 5 а 2 д 2Я', 2 + — ав1п 0+ — а' 6+2ав в1по 6 15 ° 27 2 4 — " ''(1+ а в1п 0) Ы (10.150) Напишем еще выражения силовых факторов и перемещений в зависимости от функции К На основании формул (10.135) с учетом равенства у ~ (6) Кр (1+а в1п 6) вами 6 6 о о Разрешающее уравнение (10.138) и входящая в него функция Р (О) имеют особенность: при Π— О слагаемые, содержащие в1п О, в знаменателе обращаются в бесконечность.
Для устранения этой особенности заменим комплексную переменную Т новой комплексной переменной Р согласно зависимости ~Т (1+Ь в1п 6)р р .2 Я~ д6 в1п6- а В первом и втором расчете заданную нагрузку не учитываем, т. е. последнее слагаемое в дифференциальном уравнении отбрасываем. Начальные значения вектора Х в первом'и втором расчете принимаем следующие: 0 О 0 Х(0)= 1 Х (0)= О 1 Третий расчет выполняем с учетом заданной нагрузки при нулевых значениях начальных параметров.
Дифференциальное уравнение (10.124) интегрируется на ЭЦБМ по методу Рунге — Кутта по стандартной программе. При решении данной задачи была ЦООО88 — ~ ~дЯ На рис. 10.21, б приведены эпюры меридионального изгибающего момента.
Сплошной линией показана эпюра суммарного момента, а штриховой линией— эпюра, построенная по результатам только третьего расчета. Величина максимального момента, найденная по результатам третьего расчета, т. е. без учета граничных условий, достаточно близка к действительной. В том случае, когда жесткость пластин не бесконечна, сопряжение оболочки с пластиной следует рассматривать как упругую заделку. Отделив оболочку от пластины (рис. 10.21, в), вычислим угол поворота нормали на краю пластины (см. гл. 5): рй3 Х4 (О) ЕЬ%» 8~~ (1+р.) Р,(1+В) ' где В~ — изгибная жесткость пластин. С учетом найденной величины угла 6» примем следующие значения начальных параметров первого, второго и третьего расчетов: 0 ΠΠ— О Е~»~ = Ру~в х~о)=; х(о) — — х~о)= 1 О~ (1+ р,) ° 8О, (1+ р) О 0 О' 1- О Нетрудно проверить, что при этих начальных значениях вектора Х условия сопряжения оболочки и пластины выполняются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
