Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для безмоментного состоянйя, соответствующего частному решению разрешающих уравнений, выше было найдено Е-О; Г-О; Т -Т,= — '=Т -24,8р. тв — 2~ — вд 1 Иожно также считать г, ~, тогда Т Т Р~ Угол поворота нормали на краю оболочки в этом-состоянии равен нулю, а радиальное перемещение Р— 50 ° 24,8Р=(1 — О,з) Р .ЕЬ~' ~ 1 -"д~ ЕО3 Е Вычислим линейное и угловое перемещения на краю оболочки, возникающие при действии нагрузок М„,д и Яд. В этом случае частное решение Равно нулю и остается только общее решение системы однородных уравнений (10.91).
Параметр А согласно формуле (10.87): О 3 16'601 5О Я аа„=~ 2 — 26,07. Учитывая, что заданная оболочка замкнута в вершине, следует постоянные С« и С~ приравнять нулю. Остальные две постоянные надо подобрать так, чтобы изгибающий момент и поперечная сила на краю были равны соответственно М д и Ц~д. По формулам (10.93) определим функции Х,, У„Х; и 1'; при 9= — ° 2 ° Хд =0,9668 10дд; У~ — — — 3,9429 - 10дд; Хд = 49~43 ' 10дд; Уд =~в — 81,54 ° 10дд. растягивающие усилия (С«Хд — Сд 1'д) — — 33,1Щ+ 11,01М 1 ИФ ЕР й $/12 (1 — 1Р) ~и-О и радиальное перемещение 1 -~-й Ж- — ( — 5530а+ 1Вм и д.
ЕЬ Е апишем уравнения совместности деформаций оболочки и колыи: $об+ 5 об $н боб+ ~об=%~ или в развернутом виде 290.10«Р 5530'д+1835М '=305. 10«р -~4080 д+7650 — ' ° 1840~~ 1220~~~ 760 5 10« Р +7650~~ ~ 19130 ~~~ Е Решение этой системы уравнений приводит к следующим результатам: М„,д — — — 33,8р Н/см; Яд = — 10,7р Н/см.
Наибольшие напряжении возникают в наружной точке оболочки при 6 = 90'. М«~ — — — 33,8Р Н см/см; Т~д=.24,8р Н ° см/см; Мд АМ„а —— — 10,1Р Н ° см/см; Т~ Т~+ Т,„ ° 24,ВР— 33,189д+ 11,01М„,д 8,0р Н/см; с — — — = 2330р Н/см«' Т,д М~6 ФВ Ид«й /д /д« е, е~ „— — ~~«690р К/см«.
Т, М6 Изгибные напряжения в оболочке носят местный характер и по мере удаления от края быстро убывают. Если материал оболочки пластичный, то эти напряжения могут вызвать лишь небольшие пластические деформации стенки оболочки около края.
За предельное допустимое давление в данном случае следует принять такое, при котором начнутся пластические деформации во фланце. Наибольшее напряжение во фланце У МН!2 Ц = — 460р, г 1в1 г163 где Л( = 39,9р+ ба — — — 495р; М = 1990Р+50М +20д — 84р. в Сопоставив максимальное напряжение во фланце с пределом текучести материала, можно установить предельно допустимое давление.
1 Заметим, что деформации сферической оболочки в рассмотренном примере могут быть вычислены более прост(о — приближенным методом учета краевого эффекта (метод Штаермана — Геккелера). Остановимся на особенностях расчета пологих сферических оболочек. Общая теория пологих оболочек, основанная на введении некоторых дополнительных допущений, справедливых при малых значениях угла О, разработана В. 3. Власовым [9, 13]. Рассмотрим сферическую оболочку с малым углом подъема. Считая приближенно-, что сна О = 1/О, представим разрешающие уравнения (!0.74) и (10.75) в следующем виде: ба' 1 Н~ 1 Д6, + 6 Д6 — 6, Ч=ЕЬОй+Фаю; габт 1 (от 1 рр (10.95) -+ — — — — 6= — —-- 062 6 д6 62 1~! (слагаемые, содержащие р, ввиду их малости отброшены). Частное решение этих уравнений такое же, как и для оболочек с большим углом подъема [см.
зависимости (10.81) — (10.84)). Для получения общего решения системы однородных уравнений приведем их к одному дифференциальному уравнению относительно комплексной функции ф . ~ 12(1 — ~Р) ЕЬЭ 1 Д'ЙО 1 ДО' 1 в в — + — — — — — о — г2Ио =О д62 6 д6 62 1 где решение которого имеет следующий вид: в =(С,+гСг)(Ьег1(Й)~'2 6)+г'Ье(1(ЙФ 2 9)+ +( С,.(-(С,) [1се1,(Й 3/2 6) — йег1 (6 У2 6)1 Разделив это уравнение на действительную и мнимую части, получим () = [С,Ьег,(Й)/2 6)+С,Ье1,(Й)'2 9)+ $Г12 (1 Р2) 1 1 +С,(гег,(Й)/2 6)+С,(ге!,(Й)~2 9)]; 6=С,Ьег,(Й)~ 2 6) — С,Ье(,(Й)~'2 6)+ + С, (гег, (Й )/ 2 6) — С, (ге!, (Й $г2 9), (10.96) где Й-Ф'3(! — !') )' т Рис. 10.И Для замкнутого купола постоянные С, и С4 следует принять равными нулю.
Остальные постоянные определяют по краевым условиям. Пример 10.5. Рассчитать цилиндрический резервуар со сферическим днищем (10.13, а), находящийся под действием равномерного внутреннего давления р. Дано; ~ = 173,5 см; й = 1 см: Й = 1000 см. Путем замены независимой переменной согласно рав н у — г'2И0' = г' это уравнение приводится к уравнению Бесселя индекса 1: (~»а ИО в г' —,+г- — +(г'- Ца =О дИ Й р~' т~=т Остальные два силовых фактора должны быть определены по условиям сопряжения цилиндра и днища: ~» дн оц $» $0ц или а!»Мн вг0%. Отделив днище от цилиндра, приложим силовые факторы взаимодействия Мо, Я„Тд (рис. 10.13, б). Из условия равновесия днища Наибольшее изгибное напряжение Моб 740 ° б о~ ~,„— „Π— р = 4450р, Наибольшее напряжение сжатия в окружном направлении в зоне сопряжения У~к ~5~ их = — = — 197 р.
Напряжения в цилиндре в точках, удаленных от днища, а»= — = 87р; о~= — =174р. рг 2А ' Ь Высокие окружные напряжения в зоне сопряжения цилиндра и днища могут привести к возникновению пластических деформаций, а также к потере устойчивости и образованию складок. Для снижения напряжений край цилиндра целесообразно усилить кольцом, воспринимающим радиальную силу, передаваемую со стороны днища. $4. Приближенный метод учета краевого эффекта (метод Штаермана — Геккелера1 На рис. 10.14, а и б изображены оболочки вращения, нагруженные по краю распределенными нагрузками М, и Я,.
Первая оболочка — пологая. При осесимметричном изгибе такой оболочки радиальные перемещения точек и соответствующие им окружные деформации растяжения около края — малы. Поэтому 3~~ ~РУ ДОР Ш - — —, =ЕМ', 6; 1~~ 0~6 Я~У ~т ~6 (10.97) (10.98) основания.
Аналогичное явление быстрого затухания деформаций около края было отмечено в осесимметрично нагруженной цилиндрической оболочке (см. гл. 8). На указанной аналогии основан эффективный метод расчета оболочек вращения с большим углом подъема, нагруженных краевыми нагрузками. В .этом методе использованы следующие допущения: !. Все функции, характеризующие напряжения и деформации в оболочке около края, а также их первые производные малы по сравнению с их старшими производными.
Это допущение основано на том факте, что рассматриваемые функции содержат множитель вида е ~", где ю — угол или дуга, отсчитываемая от рассматриваемого края оболочки, Й вЂ” параметр. При дифференцировании этих функций параметр й выходит каждый раз в виде множителя. Так как все эти функции — быстрозатухающие, то величина параметра А велика, поэтому значения первых производных намного больше, чем значения самих функций, а значение вторых производных — соответственно больше, чем первых. На этом основании члены, содержащие сами функции и их первые производные в левых частях разрешающих уравнений (10.26) и (10.28), отбрасываются.
Функция Ф в правой части уравнения (10.26) в данном случае равна нулю, так как рассматриваются только краевые нагрузки. В результате разрешающие уравнения (10.26) и (10.28) принимают вид Рис. 10.14 деформации, вызванные изгибающим моментом, затухают медленно, и влияние момента распространяется практически на всю оболочку. Во втором случае угол наклона нормали О велик. Здесь при осесимметричном изгибе окол6 края возникает значительное окружное растяжение; вследствие этого изгибные деформации в оболочке быстро затухают и на небольшом расстоянии от края уже практически полностью отсутствуют.
Влияние окружного растяжения при осесимметричном изгибе оболочки с большим углом подъема подобно влиянию упругого 432 2. Радиусы кривизны Я и Я~ около края принимают постоянными. Это допущение точно выполняется в случае сферической оболочки. Для оболочек других видов это допущение выполняется тем точнее, чем ближе форма оболочки к сферической. Приведем уравнения (10.97) и (10.98) к одному уравнению с одним неизвестным. Продифференцировав уравнение (10.97) дващды с уче- ~йф том второго допущения и подставив —,, в уравнение (10.98), получим разрешающее уравнение краевого эффекта иау й еь (10.99) Введем обозначение: й~~ЕА 12 (1 — р~) К,"-В = й~~Ю или (10.100) (10 101) Тогда уравнение (10.99) принимает вид сИ/ — + 4а'У=О.
аИ4 нем краю направления отсчета углов а и 8 — противоположны, Ю. Ю поэтому И6 Ии ' Заметим, что пренебречь функцией У в этом уравнении по сравнению с ее четвертой производной нельзя, так как множитель 4а' весьма велик. Уравнение (10.101) аналогично однородному уравнению осесимметричной деформации циф~ линдрической оболочки.
Введем новую независимую переменную а, пред- $ ставляющую собой угловую ф координату, отсчитываемую от края оболочки. Если рассматриваетея нижний край (рис. 10.15, а), то Рис. 1О.1Б а=6 — 6 Если рассматривается верхний край (рис. 10.15, б), то угол а отсчитывается в обратную сторону и тогда а=6 — 6„. Так как в обоих этих случаях Д4У АУ й6~ Эа»' то при переходе к новой переменной дифференциальное уравнение (10.101) не изменяет своего вида, т.
е. ;~~;+ 4а'У О. ФУ (10.102) Ввиду того, что функция У с возрастанием угла а должна затухать, второе слагаемое в выражении (10.103), содержащее множитель е"", должно отсутствовать. Поэтому постоянные С, и С, следует приравнять к нулю, тогда У е "(С, ип аа+ С, соз аа).. (10.104) Вычислим производные функции У по 8. При дифференцировании следует учитывать, что на верхнем краю пояса оболочки угол а отсчитывается в сторону возрастания 8 поэтому — — .
На нижсП~ Н~ 46 Ж' 434 Решение дифференциального уравнения (10.102) записывается так же, как Для Длинной цилиндрической оболочки: ° У=е ~" (С» 8~паа+С~созаа)+е~" (С~ Йпаа+Сасозаа). (10.103) ИУ Ы6 -4 ае "~С»(созаа — Йпаа) — ' — Ср (сов аа+ яп аа)); 2а'е "" ~С» ( — соз аа)+С, яп аа~; (10.105) дЧ~ — -л- 2азе "~С» (сов аа+ яп аа)+ + С~ (сов аа — ипаа)~ (знаки, указанные сверху, — для верхнего края, знаки, указанные снизу, — для нижнегс$. Так как в данном случае рассматриваются только, краевые нагрузки, то р, = 0; р, = О; Р (8) = О и Ф (О) = О [см. равенства (10.19) и (10.27)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
