Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 27
Текст из файла (страница 27)
По функции о с помощью зависимостей (9.22) — (9.26) определяют внутренние силовые факторы. Перемещения точек срединной поверхности о и в вычисляют на основании зависимостей (9.17) и (9.18). Напряжения находят по внутренним силовым факторам согласно формулам: . Нагрузку д„в свою очередь, следует приравнять— Яе, т. е. — сдвигающей силе на краю оболочки. Таким образом, Л, = — ' — '~' . (9.43) д«р Рис.
9.6 Рис. 9.7 2Р дд —— — сов Ьр, ЙГ А1 =ба (О); Аи =й~(О) — „,; й А~~й „~~~и э 5~ (0) Й' А,„=— А (9.45) 370 направлении. При соблюдении этого условия перемещения ж, и иа связаны' зависимостью (9.13), из которой, следует: о = — ~ и, Йр. «9А2) Для преобразования'радиальной нагрузки до (см. рис. '9.6, и) в- эквивалентную касательную нагрузку 50 отсечем от оболочки узкое кольцо (рис, 9.6, о). Деформация нерастяжимого кольца должна удовлетворять дифференциальному уравнению (4.52).
Рассматривая правую часть этого уравнения, можно заметить, что деформация кольца не изменит- Ь ся, если радиальную нагрузку д, = д, заменить касательной нагрузкой "й Уравнение (9.43) используется для преобразования радиальной нагрузки в касательную. Если, например, нагрузка о, будет задана в виде ряда «„=~«,~0~|А, 1 то эквивалентная'ей касательная нагрузка будет 5, = ~ д~ «Б 1п йр. (9.44) ! Отметим, что постоянные интегрирования в выражении (9.37) пропорциональны четырем начальным параметрам: о (О), и (О), Т„(О) и 5. (О). Зависимости между постоянными интегрирования и начальными параметрами нетрудно получить на основании. равенств (9.18), (9.22), (9,25) и (9.37) с учетом свойств функций Крылова (8.34) и (8.35): Пример 9Л.
Оболочка нагружена Двумя осевыми силами Р, приложенными диаметрально противрположно на верхнем торце, и равномерной нагрузкой до = Р ) — на нижнем торце (рис, 9.7, а). $Р' Разложим нагрузку, действующую на верхний торец, в ряд Фурье: Ч~д 2Р д= — + ~ — соз Йр.
аг ~~~ я~ Ь=2,4,Е В данном случае следует взять только четные значения А, так как нагрузка сииметрична также относительно плоскости «р = 90'. Первое, слагаемое соответствует равномерной составляющей нагрузки „которая .: вместе с нагрузкой, приложенной к нижнему торцу, вызывает равномерное сжатие ': .цилиндра (рис. 9.7, б), Второй и последующие члены ряда (при й = 2, 4, 6...) соответствуют само; уравновешенным нагрузкам вида приложенным к верхнему торцу (рис.
9,7, а). Так как нагрузка симметрична относительно плоскости «р = О и оболочка короткая 1=1,2г~г -~- — 10г, то выражения функций о и о~ следует взять па формулам (9.31) и (9.37). Запишем уравнения граничных условий: при х=О Т„=О; 5=0; 2 Р при х =! Я = О; Т вЂ” — — созйр. л г В данном случае все четыре условия — силовые. Согласно этим условиям-, на основании уравнений (9.22), (9,25) и (9.45) АзФ=О' А4д=о' . э®") ° Аа««= АА, ~~я (Ь0 "1та Ф~О 1'4 (Ь!) — ~Ъ(рве)Ъ' '" "Е~з (Ь0 ~4 (ЬΠ— ~а (Р~~Н' . откуда (1р+1) л . (й — 1) л яп 8!и 4+1 + й — 1 4 Чщах 3 л — яп 2(р+ (1ыах я() =.
Ьй э1п 1~(р = "" (р 2 й=! 8 Ч 12 %пах яп 4~р — — — яп 6(р+— 15 л 35 л 63 (р рпах — яп8~р — ... Л откуда %(пах Ча= П о=О; и=О При %пах1 Ра=— 4г2ЕЬ ' откуда Следовательно, ~п~ах Й =.— х ха 2 — 3 — +— 1 1а Б1п (р. При Йп ~(1+1) ф яп Цй — 1) ~р] 2(А+Ц + 2(й — ц %пах = Ьр'Дв где Д~ — параметр, определяемый по формуле (9.34). Через Арр обозначена величина РИ ЩягЧЪ' Вычислив А~ р, Ай)о прн й = 2, 4, 6, ..., нетрудно по формуле (9.31) найти значения функции а н по формулам (9.22) — (9.26) — значения внутренних усилий.
Следует заметить, что в точках приложения сосредоточенных сил ряды расходятся и осевое усилие Т„обращается в бесконечность. В действительности же это усилие конечно, так как силы Р фактически Ь=-г „Сру~> приложены не в точке, а распределены по некоторой дуге. Пример 9.2.
Исследовать деформации и напряжения в цилиндрической оболочке, нижний край которой жестко закреплен так, что и = О и о= 0 (рис. 9.8). К верхнему торцу приложена $ь радиальная нагрузка, распределенная согласно 11 закону: ° м при — 90' ~ (р ~ 90' (г = — О,„соэ (р; 90 р 270' ~= О. Нагрузка д считается положительной, если она направлена от центра. Представим нагрузку в виде ряда Рис. 9.8 д = рв+ ~ дв сов Й~р. $ Для определения д, проинтегрируем правую и левую части равенства от О до 360': 9Оо Эбо' ) ( — д осв ар) Й<р+ ( ( — р,„осв ар) бр=а,2вв, о 21О" Для определения д)~ умножим правую и левую части равенства на с и также проинтегрируем от О до 360'.. Оо' З6О' 2 ~ ( — до|вв сов ~р)совй~Й~р= ~ рвсовв~~в~~.
Таким образом, для заданной нагрузки получаем следующий ряд: 4'рп ах рврп(ах ()(п~ах 'р'пах О= — — — — сов р — — сов Вр+ — сов 4~р— я 2 Зп 15л 2%пах 2(р рпах — — совб~р+ — сово~р+ ... 35п 63й Первый член ряда соответствует равномерно распределенной радиальной нагрузке, Деформации и напряжения от этой составляющей вычисляют по формулам теории осссимметричной деформации цилиндрических оболочек (см.
гл. 8). Эти напряжения и деформации сравнительно малы и при удалении от верхнего края быст о затухают. айдем деформации и напряжения от составляющих нагрузки, соответствующих остальным членам ряда. Так как радиальные силы, приложенные к торцу, не могут быть учтены в гца. ничных, условиях непосредственно, их следует заменить эквивалентными сдвигающими силами, определенными по уравнению (9.44): Положительное направление усилия В» противоположно положительному направлению отсчета угла (р.
Рассмотрим составляющую нагрузки, соответствующую А = 1. Параметр р- в этом случае равен нулю и решением дифференциального уравнения, согласно й равенству (9.41), будет выражениЬ ~)1 — — ~р1 яп (р=1Р1+Рах+Рах'+ 04ха1 яп ср. Для определения постоянных используем граничные условия: (р рпах при х = О Г» = 0; 5 =у~ 81п (р= — — яп (р; при х=1 Эти условия с учетом зависимостей (9.22), (9.25), (9.18) приводят к системе уравнений, решение которой дает: %пах Чп(ах п=о о= —; ° 4 12гЯЕр(р в О, 6г'БЕЛ ' Нетрудно проверить, что функция о1 точно соответствует уравнению изогнутой оси оболочки как консольной балки с недеформируемым поперечным сечением, Йг нагруженной пеперечной силой Р=д„„ах —, равной равнодействующей заданной распределенной нагрузки.
Решим эту задачу с учетом деформации кольца, и ич ц л де~ ц б бе р~~~ так и как на полу змоментной тео оболочки «рис 9!1) п щув силу 50 «нормальная сила ак ~ыью не ыазьыи~~ опротивления осевым смещени~~ Силу Р разложим в ряд; в 3 льта нагрузку р; результате получим эквивалентную радиальную Р— сои йр. Рис. 9.И т.
е. без изменени енения формы окружности кольца. Пе еме сос а яются так, как это былО 00~аз но в примере 9.2, т. е. при А = 1 од= — 2 — 3 — +— х хэ бди Е Еа ап (р; рЕз РЕз ср=зО'» ЗЕпгЧХ ЗЕВ„' Р1 — СОВ (ф; О ,1(х=О. РЕ Т- = 1( =Е %=0'» ЛГЯ Ух ~(х =Е) о РЕ Р1 х е (»о» дг2 Д Д~ х где Ух = лг'Ь и У = т(г%— — — момент инерции и момент сопроти оболочки о почки при изгибе. о ротивления сечения 376 Составляющая нагрузки, соответствующая пе вом равномерное растяжение кольца и осесимм ца Осесимметричную деформацию ооопочки.
Этой Сл юи и" едующий член ряда «й — !) соответствует изгибной деформации оболочки без искажения формы ее поперечного сечения е Составляющая прогиба о, на верхнем торце (при 11 = 1) фактически будет больше вычисленной из-за влияния деформаций сдвига. При й = 1 Р Р Я 11' РЕ у а у (.с» 6 ' 1(х=о, «р =90~) ЛХЬ6 Р— СОЗ Ь~. лг Так как длина оболочки невелика, следует применить выражение функции 6~ (9.37) с четырьмя постоянными интегрирования. Запишем граничные условия на верхнем торце: при х= О Тх~ —— О, следовательно на основании третьего уравнения (9.45), Аз~ = О; при х = О 5~ = 50~, = 50~ В!п А (» (50д — интенсивность А-Й составляющей силы взаимодействия оболочки с кольцом).
Из второго условия на основании четвертого уравнения (9.45) .следует А4й = ~дд~д ° " "~'Ф Еще два граничных условия заданы на нижнем торце: при х= Е о=О или А~дР~ ф»~1)+АЙ»,Р, фАЕ)+Ад $' ф~Е)=О; при х=1 И=О или — А,д4$4 (~д1)+Арф!~~ (~)фЕ)+А4ф1, 3 (~ДЕ) =О, откуда — ~'4 ФйЕ) ~'~(ЬЕ)+ ~'2 «ЬЕ) ~'з ФйЕ) А Ц(В„Е)+4~, ф„1) К, ф„1) (ЬЕ) 1~з Ф»,1)+4~~4 9~,1) 1~~ (ЬЕ)+41~2 9АЕ) !' 4 9ЙЕ) Заменив функции Крылова их выражениями (8.32), после несложных преобразований получим зЬ ф1,1) сЬ (ЦЕ) — жп ф~Е) сов ф~Е) 2 [сЬ' ФФ+ ' Ф ЕН з! ' (ЬЕ)+ 81п'(ЬЕ) 2 1сЬ~ ф~Е)+сов ф~Е)~ Для определения оставшейся неизвестной величины 50~ необходимо использовать уравнение совместности деформаций оболочки и кольца.
Запишем выражение функции о~ при х = Одля оболочки о~ — 6~ яп Ьр = А~~ Б1п Ьр ~(х-О) (х-О) 11 (~„Е) д, у 1) 81п (ЬЕ) соз (РаН . Е'~0~ щ = Аи = — 2 ~ Ь2 9~1) + сов' Фа1)1 г'Е" или При заданных числовых значениях (см. рис. 9.10) перемещение торца за счет изгиба о = — 18,9 1О 4 см и за счет сдвигах(т) = — 9,4-10 4см. 1(х = О, [р =-9О') 1 Результаты вычислений показывают, что пренебрежение деформациями сдвига при определении прогиба приводит к существенной погрешности. Перейдем к вычислению перемещений и напряжений, соответствующих й-й составляющей нагрузки + Ча+ — — =О, А~1 с!ф о="А~ о) =~А~ о) ~'и ~~ илн -яу Э 'т Рис. 9.12 вид ьо!з ( — — — - «!ой 3Егой Это уравнение содержит две неизвестные величины: бд и 8 . Вто ненне с теми же неизвестными необхо н кольца.
ыми нео ходимо получить, рассматривая деформации дирференциальнае уравнение «4.52) упр гой линии Ди: н . Ругой линии кругового кольца при етом зависимости (9.!У) запишем в следующем виде: где Х ВН~ ' — — — момент поперечного сечения кольца э д~ — касательная составляющая распр дел Й ре енно нагрузки; в данном случае до = Зи = Зоь з1л щ д1 — нормальная составляющая распределе Й нно нагрузки; в данном случае Ч1 = Ча = — — соз Ьр .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
