Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Решение однородного уравнения (8.20) ищем в виде Подставив эту функцию в левую часть уравнения (8.20), получим характеристическое уравнение И+4р4=0, По правилам извлечения корней из отрицательных и мнимых чисел модуль числа А равен корню четвертой степени модуля подкоренного числа, т, е, ~/4~', а аргумент числа Й вЂ” аргументу подкоренного числа, деленному на показатель корня, т.
е. и+2па 4 следовательно, А представляет собой комплексное число Й у'4р4 ~соз + ""+с зш 4 4 Придавая. и значения О, 1, 2, 3, получим четыре корня характеристического уравнения: ' /г1 — — р+~с; А~ — — — Р+~~'; Аэ — р — ~~; й =р — ~г. Следовательно, общее решение однородного уравнения (8.20) имеет вид Ю Ф а=С е®~+М +Се~ Р+Р) +С е( — Р— И +С еФ вЂ” Р) и е-Рд'(С еФх+С е — ~рх)+.е~х (СдеФ" + С4е 'Р~), «8 21) где С1, ффС, — постоянные интегрирования (комплексные).
Частное решение уравнения с правой частью Ф зависит от закона распределения поверхностных нагрузок р, и р~. Обычно на практике нагрузки р, и р, или постоянны, или изменяются по х, по линейному или квадратичному закону. Ограничиваясь только этими случаями и учитывая, что при указанных услоД4р дфТ ДЭр виях Р1 = О и — "=О Р'= О получим для я следующее дх~ ~ф~4 Д,~З выражение: Для практических целей общее решение уравнения (8.20), представленное в виде (8.21), недостаточно удобно; поэтому его йреобразуют к другому виду, причем для длинных и для коротких оболочек это преобразование делается по-разному 6 2 и 3).
Остановимся на вопросе о постоянных интегрирования, Для определения постоянных необходимо использовать граничные усло-. вия на краях оболочки. На каждом краю обычно бывают заданы два условия. Если край жестко заделан (рис. 8.7, а), то на краю должно быть: в=О и —,„— =О. Продолжение табл. 8-1 е з(сов 3 — а!п 5) е ~(сов 3+ е1п з) е ~э1п$ - 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 ' 5,8 5,9 6,0 6,1' 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8. 6,9 7,0 0„0028 0,0029 0,0029 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0024 0,0022 0,0020 0,0018 0,0017 0,0015 О,ОО13 0,0011 0,0010 0,0008 0,0007 — 0,0042 — 0,0035 — 0,0029 — 0„0023 — 0,0018 — 0,0014 — 0,0010 -0,0007 -0,0004 — О,ООО2 0,0001 О,ОООЗ 0.0004 0,0005 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 — 0,0014 — О,ЩК6 — 0 0000 0,0005 .
0,0010 0,0013 0,0015 0,0017 0,0018 0,0019 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0015 0,0014 0,0013 0,0069 0,0064 0,0058 0,0052 0,0046 0,0041 0,0036 0,003! 0,0026 0,0022 0,0018 0,0015 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 ОЯ01 Растягивающие усилия при х = 0 Т„=ЬОрй Н/см; Т~- 15рЬ Н/см. Напряжения в опасной гочке у заделки: а„= — "„е + ~ — 1Ь4р+ЬОр =204р Н/сме М„° 6 Т„ о,=,' + — =46р+1Ьр=61р Н~см', У Ь а,.— О; оз„~ — — — Ип„— а~)з+ (аг — о Р+(о — а )Ч =182р Н/смз. 1 В сечениях цилиндра, удаленных от заделки, изгибающие моменты обращаются в нуль, а растягивающие усилия принимают значения Т„=ЫрЬ Н/см; Т~=100рй Н~см, Соответствующие им напряжения о„=ЬОр Н/см'„о~=100р Н/смз; аэ„,=87р Н(смз. Результать1 расчета показывают, что эквивалентное напряжение в сечении у заделки в 2 с лишним раза больше, чем вдали от заделки.
Зона изгибных напря- Согласно граничным условиям, с учетом зависимостей (8.27) и (8.28) получим ава уравнения: Мо- Яю — — — — = 0 Хф 20рз решив которые, найдем Ю~Рргз(1-ф2) р ( р ~ Мо — „— „~, ~1 Ю = 2рМо Р 1~ о— 2 Далее, по формулам (8.27) — (8.31) определяем радиальное перемещение и внутренние силовые факторы: и =~ — (1 — ф2) 11 — е Р" (з1п рх+соз Рх)р ЕЬ И вЂ” Р—. (1-р~2) е Р» (соз Рх — з$п рх), М~ рМ„,, Х ф~- Т~ = рг ~1 — (1 — ф2) е Р» (з1п ~х+соз ~х)]; На рис.
8.9, б приведены эпюры а, М„и Т~, построенные при следующих числовых данных: Э(1 — ) г *10ОЬ; р=03; Д= =1285 —, Наибольшие изгибающие моменты возникают при х *О М„=2,57 ° 10 зргз Н ° см/см; М~ 0,77 ° 10 зргз Н ° см/см.
$1 3~' 1' -г 1 2 1 жений, однако, очень мала и на раслоя~ии — г от заделки изгибные напряжения уже обращаются в нуль. Пример 8.2. Определить напряжения в цилиндре„рассмотренном в предыдущем примере, считая, что днище имеет толщину, соизмеримую с толщиной стенки цилиндра. 11 Вояршиноа Отделим мысленно цилиндр от днища, как показано на рис. 8.10, а, и примем точку пересечения срединных поверхностей О за точку сопряжения. Такой способ разделения позволяет записать условия сопряжения в наиболее простой форме. Осевую силу в цилиндре определим из условия равновесия днища: раг» Т,Дпг; Т рг Остальные два силовых фактора в сечении должны быть определены из условий совместности д рмаций цилиндра и днища: при х= 0 и„= 0 деформацией растяжения днища пренебрегаеы); при х 0 бц Направления отсчетов углов, принятые за положительные, указаны на рис. 8.10, 6.
Рис. 8.1О Перемещения края цилиндра, согласно зависимостям (8.27) и (8.28), Мо Юо Р Рг» о + + (х Ъ) Й?~» 20~» 2 ЕЬ.' Мо Яо ф 2?Р' Угол поворота нормали на краю днища определяется по одному иэ методов, рассмотренных в гл. Б, $ 4, 6. В данном случае рг» Мог г /рг» нн 81?1(1+р) 01(1+,1в) О1(1+р) ~ 8 о где 01 — изгибная жесткость днища. Уравнейия совместности деформаций после подстановки в них значений перемещений принимают вид — + — + 1 — — — = О; Мо Юо р рг» 21?р» 20р» 2 ЕЬ Мо «3о Мог рг» Ж 21?Р 1? (1+и) Ю1 (1+и) ' При составлении уравнений совместности деформаций необходимо следить аа правильностью знаков. В часгности, е уравнении, выражающем равенство углов, момент М„должен входить в правую и левую части равенства обязательно с противоположными знаками.
Решение системы двух 'полученных уравнений при числовых значениях Ь = 1 сы; й, = 4 см; г = 100 см; р = 0,3; Е = 2 10~ К/см» 0,1285 1/см; П. 0,0916Е ЕИ 12 (1 — рв) = 0,1832 ° Ю~ Н ° см; Е/~в 12 (1 — рР) приводят к следующим результатам: Ио~31,2 ° 10 дарг» Н ° см/см; © — 0,435рг К/см. Заметим, что при абсолютно жесткоы днище Мо 2,БЧ ° 10»Ргв Н ° см/см. Следовательно, за счет податливости днища изгибающий момент на краю цилиндра возрастает в данном случае более чем в 10 раз. Эго объясняется тем,.
что днище, прогибаясь, как бы выворачивает край цилиндра. Эпюры изгибающих моментов приве- «1~~~~Р' дены на рис. 8.11. Наибольшие напряжения в центре днища 0,175рг» б о,.=а~ — — ', =656р Н/см». ~1 и „($ Наибольшие напряжения в цилиндре — около края рг 0,0312рг». 6 о — + ',в ЙОр+ 1872р тр В г'» 1922р Н/сыв; ' рг р0,031 2рг» ° 6 о~ р — + ° Рис. 6.11 15р+562р Н/см». Растягивающие напряжения в цилиндре вдали от края м о 50р Н/см» рг О~ ав — и~ 100р К/см». рг Ь Пример 8.$. Длинный тонкостенный цилиндр нагружен в некотором сечении кольцевой силой Р (рис.
8.12, а). К такой расчетной схеме приводится, в частности, задача о деформациях трубы с наложенным на нее бандажом или трубы с кольцевым ребром или диаф рагмой. Для правой половины трубы, учитывая симметрию нагружения, имеем следующие граничные условия: при х= 0 а~э — О 6Ь при х О Р а х ~ М,=О; Рис. б.И М ф екав Е!ф а М— о~г 2 1Ч г и =ат =-- — = — +— Е г!» г!1 Е 01 328 Отделим мысленно кольцо от цилиндра (рис. 8Лб, б). В сечении действуют неизвестные силовые факторы Х, и Х».
Осевая сила Т„в ааниом случае равна нулю. Для вычисления деформаций кольца используем теорию осесимметричной деформации колец (см. гл, 4, $1). Из уравнений равновесия половины кольца г 1ур.О» 2й — 2раг1+2гХ» — 2 ~ а — г» Иг 0$ Й' 2М вЂ” Х12г+ Х»2г — О 2 определим внутренние силовые факторы в сечении кольца~ га М =Х1г — Х» —. 2 У а1 О,» (гв гв) И раг1+ ' ' — Х г. Зд По силовым факторам вычислим угол поворота сечения в радиальное перемещение точки сопряжения с цилиндром Подставив заданные числовые значения, а также вначения геометрических характеристик сечения кольца ), =а1и — 21и — 0,497 см; г» 10 г1 7,8 ~Р г 2з 10 !а= - — 1и — » — — 1п — ° О 166 сма 12 г1 12 7,8 выразим перемещения точки сопряжения через Х, и Х»1 ~р — 48,2 — — — 48,2 рад; Х Х и.
— 482 — — 643+ ' см Х~ Х» 5,18 ° 10» Е ' Е ',Е Вычислим деформаций цилиндра. Совместйв начало координат с левым торцом цилиндра и направив ось х вправо, получим следующие граничные условия: х '0 М Х6 х О Я=Х»1 х=! Я О. Вычислим значения параметров Р и рЯ: р= ~ »Ь» =0,718 1/см; О=2,87. '/3 (1 — 1») Так как р! ~ 3, то цилиндр следует рассматривать как короткий. При расчете примем, что на цилиндр действует некоторое приведенное равномерное давление р„равное сумме внутреннего давления р и инерционной нагрузки за счет вращения, т. е.
'~О)»гЬ Р1 'Р+ — %8 Н/см». Ы Так как Т,. О, те частным решенкемф221 будер р г» и — сопй. ЕЬ При Ю Х»а Мхо = Х1 и цг = — функция в 1см. уравнение «8.40)1 принирг» ЕЬ мает вид ~'1 Фх)+ — бо1'» (Р) + — — ~'з (~х) +- — Х 1 1 х1 1 О Р» ф Х вЂ” Р» (Дх) + —. Х» Р1Г» 0 ЕЬ У .Пва последних граничных условия о учетом зависимостей (8.42) и (8.43) приводят к двум уравнениям — 4 О- — 1~» 9!) — — 6,Р» Фг) + 1~, (рг)+ Р1Г 4 Х1 ЕЬ 6 Д~» 1 — 4 Ъ вЂ” — ) 1' Ф4)- — 1'»(Р!) — — Р (р0+ Р1г» 1 46, 4Х1 ЕЬ ) рр» 4 где Е1 — матрица перехода от 1~ (РА) — 1' (Ра 1 Р1Ь» — 4РА~'4 (РА) 1 О О О О 1 О О ; (8.54) О О ' О «1+» — — — 1~4 (РА) 4Р1 Р» о о о г~„ 4РРА х 1~а ФА) ЩР1Ь, — — Х д Рд к рв (ЬА) 4Р1Р1 — — х лл х ~4 (РА) 4Р1Р1 — — х Р Рм х1~. (РА) начала к концу участка; —., р1 ФА) — "'4 ФА) лл Р»й РАР'-".
РАР1 Р,Р» Р»Р~ ~. — ~'и (Р111) Р Ре '(Р1 ') Р1Р1 1Ра и, (Р1СД вЂ” „1'~ (РА) Р» Подчеркнутое слагаемое учитывает дополнительный изгибающий момент, создаваемый осевой силой на плече, равном разности радиусов 1-го и (» + 1)-го участков. * Таким образом, при переходе от одного участка к другому компоненты вектора состояния пересчитываются согласно равенству Й1 — матрица-столбец.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
