Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Подставив под знаки интегралов выражения напряжений и деформаций и выполнив интегрирование по толщине пластины и по сечению ребра, получим ц =з 1+"" "+'" ' Рэ1 Ыв — 2 (1 — Р) — —— Й» г Нг 2хИг; У„~= 1+ — А — — + — ° — — — 2 (1 — р~~ - — ° — 2дгйг, г 2 «1» г или 12ез 1+ ~р 1~О,»е У - — (1+К(г -е)~]АЧ, где Π— энергия деформации пластины без ребер; 1 — интеграл по длине ребер — Ыг. где Я вЂ” момент инерции сечения ребра относительно нейтральной линии1 3 3,+Р ~Е~-е)»; /, — момент инерции сечения ребра относительно его собственной центральной оси; г — расстояние от центра тяжести сечения ребра до срединной плоскости С пластины (высота ребер принята постоянной по радиусу). На основании второго допущения можно написать. ым=Аи, где ж — прогиб аналогичной пластины без ребер; А — неопределенный параметр Тогда выражения энергии деформации пластины и ребер принимают вид Напряжения в ребре при г = а и г = 2,5й а = Š— — (г — е) = 0,0595 — Е 12,5Ь вЂ” 0,2046) = 1,49 — „,.
Иб Р Р На наружном контуре при г = Ь = 10а б= — ~ =0' ~-- = — — „, =-00156 функциями ~,, ~, ... Приравняв нулю работу давления р на этих перемещениях, получим следующую систему уравнений: 5рй йу1,~х, у)=О; ху ~ ~ рахау~,(х, у)-О; Следовательно, в точках, расположенных у наружного края, напряжения меньше, чем у внутреннего края. да .) да~ дан) — +2 — +— д~4 д,тйду~ дуа — — =О Р й (6.97) Функция ы(х, у) должна удовлетворять этому уравнению, а также граничным условиям на краях пластины. Зададимся функцией э в виде ряда (6.95). При подстановке этого ряда в дифференциальное уравнение (6.97) левая часть уравнения не обращается в нуль, а превращается в некоторую-функцию от х, у, а1, а„...: '4" у ' ')=в:+~а а +а — а~О Эту функцию — ошибку можно представить как некоторое л дополнительное давление р, отнесенное к жесткости 1?: А=в Р 0' Для того чтобы выбранная функция и) мало отличалась от действительной, следует подобрать параметры а,, а, ...
так, чтобы дол полнительное (несбалансированное) давление р, насколько возможно мало отличалось от нуля. Для' этого необходимо, чтобы работа давления р на возможных перемещениях была равна нулю, В данном случае возможными являются перемещения, определяемые 262 2. Метод Галеркана. Этот метод, так же как и метод Ритца, широко применяется для приближенного решения задач строительной механики машин и, в частности, для расчета пластин. Решение с помощью этого метода часто получается более простым, так как он не требует вычисления потенциальной энергии системы, иногда, однако, метод Галеркина дает большую погрешность, чем метод Ритца, а в некоторых случаях он вообще не применим (например, в задачах о деформациях пластин с ребрами).
Поясним сущность метода Галеркина на примере изгиба пластины. Подставим дифференциальное уравнение упругой поверхности пластины (6.18) в следующем виде: или в другом виде 1~А(х, у, а1, а, ...)~,(х, у)НхИу=О. ~ ~Е(х, у, а„а, ...)Д,(х, у) Шхду=О. (6.99) Пример 6.5. Определить прогиб прямоугольной пластины, жестко заделанной по контуру и нагоужениой равномерным давлением. Обозначив стороны пластины через а и Ь и выбрав начало координат в центре, зададимся уравнением упругой поверхности в виде 1+сов 1+сов Ь Эта функция удовлетворяет граничным условиям на краях; да и — 0' дх ди) и — =О. дф й при х=-~-— 2 Ь при у =+-— 2 Уравнения (6.99) известны под названием уравнений Галеркина.
Решение задач по методу Галеркина практически сводится к следующему. Задавшись функцией и (х,- у), удовлетворяющей граничным условиям и содержащей неопределяемые параметры а„а„ следует подставить ее в дифференциальное уравнение (6,97). Затем левую часть уравнения Ь (х, у, а„а ) надо умножить поочередно на ~, (х, у) и ~', (х, у), проинтегрировать по всей области и интегралы приравнять нулю. В результате получим систему уравнений, из которой определяются параметры а„а, ... При бесконечном числе членов ряда (6.95) метод Галеркина позволяет получить точное решение задачи (при условии, что система функций ~, (х, у), ~а (х, у) ...
будет полной). Если же взять один или несколько членов ряда, то- получится приближенное решение. Это решение будет тем точнее, чем ближе будет выбранная функция к действительной. Следует заметить, что функция и должна удовлетворять по возможности всем граничным условиям на краях, как геометрическим, так и силовым. При неудовлетворении хотя бы части граничных условий решение по методу Галеркина дает большую погрешность, чем решение по методу Ритца. Глава 7. отличается от точного эначения Вычисленный прогиб в центре пластины 66рьф рье о= 16з-64Р 0,00403 Р во = 0,00406— р~4 О меньше чем на 1%. Подсчитаем изгибающие моменты. В центре пластины по условию симметрии и =и = и ~~+~~ ВЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОВОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ следовательно, 9 рЬ~ (1+ 0,3) М~о= — ' ' = 0,0457 рЬэ. Точное же значение момента ~Ихо = Оэ0479 рЬа.
Здесь погрешность составляет 4,5%. Для повышения точности решения следует взять более мелкую сетку. Примеры расчета пластин методом конечных разностей при других вариантах закрепления краев рассмотрены в работах 17, 251. При исследовании изгиба сложных пластин наряду с теоретическими методами широко применяют экспериментальные методы исследования. Е числу наиболее эффективных экспериментальных методов следует отнести метод муаровых полос, получивший развитие за последние годы. Сущность метода в том, что сетку параллельных линий, отраженную от зеркальной поверхности пластины, фотографируют дважды на одну и ту же пластинку, один раз до и второй раз после деформации.
Две системы линий, перекрещиваясь, образуют на фотографии муаровые полосы. По расположению этих полос при двух взаимно перпендикулярных положениях фотографируемой сетки можно определить форму упругой поверхности и далее расчетным путем найти напряжения. Более подробные сведения об экспериментальных методах исследования изгиба пластин можно найти в работе 1271.
$1. Некоторые геометричеекие свойстве нове~эхйостей В~Фэщения Оболочкой называется тело, ограниченное двумя близкими криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с размерами самих поверхностей (рис. 7.Ц. Формы оболочек весьма разнообразны и различаются видом срединной поверхности, т.
е. поверхности, равноудаленной от внутренней и наружной лицевых поверхностей. Характерной особенностью оболочек является то, что они имеют неплоскую срединную поверхность. Наибольшее распространение получили оболочки, Рис. 7Л а, б срединная поверхность которых представляет собой поверхность тела вращения (цилиндр, сфера, конус и т. д.). Оболочки других видов сложнее; в настоящем курсе они не рассматриваются.
Оболочка вращения представлена на рис. 7.1. Линии; образующиеся при пересечении поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Один меридиан на чертеже обозначей АМВ. Линии, перпендикулярные меридианам, представляют собой окружности и называются параллелями. Каждая точка поверхности может быть задана как точка пересечения некоторого меридиана и некоторой параллели.
Так, например, чтобы задать положение точки М, достаточно задать угол ~, 271 отсчитываемый от некоторого пулевого меридиана, и расстояние з, отсчитываемое от края оболочки вдоль меридиана. Координаты ~р, в, называемые гауссовыми координатами, наиболее удобны при изучении свойств поверхностей вращения.
Иногда вместо координаты 8 более удобно использовать угловую координату 6, представляющую собой угол между осью вращения х и нормалью к поверхности оболочки. В некоторых случаях применяют также цилиндрические координаты ~, х, г (х отсчитывается вдоль оси оболочки; г — от, . оси вращения), а также декартовы координаты х; у=гсоз~; г=гв$пу. Поверхность вращения может быть задана аналитически, в явной форме г г(х), или в параметрической ~~ме г= г(з) г=г(6) или х =х(з) х=х (6) Рассмотрим меридиональное сечение оболочки (рис.
7.1, 6). Радиус кривизны меридиана обозначим через й . На чертеже этот радиус соответствует отрезку О1М. Радиус кривизны в направлении, перпендикулярном меридиану, обозначим через Я». Этот радиус равен отрезку нормали, заключенному между рассматриваемой точкой и осью вращения; на чертеже радиус Л5 соответствует отрезку О~М.
Действительно, ~и на параллели взять две рядом расположенные точки М и Ь (см. рис. 7.1, а) и восставить нормали к поверхности, то эти нормали пересекутся на оси вращения в точке О,. Следовательно, последняя будет центром кривизны. Радиусы К .и Я» называют главными радиусами кривизны поверхности вращения. Эти радиусы обладают свойством экстремальности; это значит, что радиус кривизны в любом другом направлении, наклонном к меридиану, имеет среднюю величину между Ю'„„и Й,. Кроме радиусов кривизны поверхности Р„, и Я», в дальнейшем потребуется еще радиус параллели, проходящей через рассматриваемую точку. Этот радиус г = О,М связан с радиусом кривизны Р» зависимостью г=й» ип6. (7.1) Радиусы Р„„Я» и угол 6 являются фунКциями з.
Для того чтобы они в совокупности определяли поверхность вращения, необходимо, чтобы они подчинялись определенной зависимости. Из чертежа рис. 7Л, б следует ! дг=»йсоз 6 или, учитывая равенство (7.1), И ф» вал 6) =соя 9. Лифференшюуя левую часть равенства как произведение и учитывая, что — — = —, получим .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
