Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Пластина опирается по внутуеннему и наружному краям и нагру- Р 1~ива равномерным давлением р Н/см«. Дано: г, = 0,7 г,; Х= — '-=0,7, г, ак как края пластины могут свободно ворачиваться, то радиальный момент р обоих краях равен нулю. Усилие, создаваемое давлением р, распределяет- между внутренней и наружной опоми. Для определения величины уси- Р Р~ я, действующего на каждую опору, г, необходимо, кроме уравнения статики, г спользовать уравнение перемешений. Последнее следует составить на осн«» аиии равенства нулю вертикального еремещения обоих краев пластины.
Обозначим через Р1 — величину силы, приходящейся на внутреннюю опору. спользуя граничные условия =Оу " О~ щ~ И11 0 и пРименяя второе и четвертое уравнения (5.53), получим систему двух уравнений о двумя неизвестными: — — Ф о Р)+ — --'Ф (~) — — Фм(~)=О: Р, рг9 О «г г,1 г 1 ' П 'Р 0 (6 Р1г.' рг4 .--,=-( — и..()- — ' ь ()+ — '~.,(~)=о. ~г р «г Решение этой системы относительно неизвестных — и Р1 дает г ° ° ° — = — 1,67- 10» ~' ., Р1 0,743рг««.
6 Ю 1 Суммарная нагрузка на пластину в данном случае Р = ри (г„'' — г;") = 1,60рг««. 199 '';,«ф!у'," ф ..;:.4~'. ': ФФ а:::" р» «.'":ли И по формуле (5,65) при «рд= — а, Ф Г 11 ю н~ Напряжение во втором ребре при «~1«= — 2а; й1,=2а; хп«ах Г 1г 2 о = — — =3270 Н~см«. '6 п~ах — г д 2 ргз~ гз() — а) г() — за) . 2 Р~~ + $ ~Р 8 — 9и+Зар, + За(1 — р) Р .заг (1 — эа) + ! ° 6~Е)о~х (1 — Р) (5.76) Постоянные интегрирования С, и С, определяют, как обычно, по граничным условиям.
Изгибающие моменты могут быть вычислены по зависимостям (5.29)1 (5.3О); напряжения — по формулам (5.38). Прогиб пластины может быть В найден интегрированием функции О по уравнению (5.39). г'у Пример 5.10. Определить напряження и прогиб пластины с линейно изменяющейся толщиной, шарнирно Щ', опертой по наружному краю (рис.
Б.26) ~~' '< 1г и нагруженной силой Р. ~~ р Дано: г, = Згд,' Ь1 = 0,1г;, Р 1 д~ 3 Параметр а в данном случае равен щр ~~~~.у единице; уравнение (5.76) принимает вид Рис. БМ 1 С С Рг1к~ 4~~Оо Соответственно, Ргага Щ Рге -з — - — зс.— — — ' Запишем граничные условия; Ю 1 6 при г = г1 М,=О или — + — - — =0; Й' 3 г сФ 1Ф при г= г, = Зг, М„О или — + — — =Р. дг 3 г О Ю После подстановки функций — и— г Й' ЗС Р 1 С 1.С Р вЂ” —,' — — + —.
— -+ — —;+ — -О; г', 2поо 3 г1 3 г', 3 ° 4п0о 3 С~ Р ! С1 1 С~ Р 81г,' 2л0о27 3 Зг, 3 81г', 3 ° 4лОо27 202 Для случая нагружения силой Р, распределенной по внутреннему краю, до аналогии найдем Р Я ~ ~ е 2лг' 61? 1— (5.75) При совместном действии давления р и силы Р общее решение - дифференциального уравнения (5.71) запишется в виде 3 1 Г9а~ 1 Г Э ~ /9а1 — — а+ ь — + () — зла) — — а — — — () — ада) 6=С г 2 1 4 1+Саг! 2 г 4 решение которых дает 10Рг~ 1БРг,' с,- '; с,= — — '.
104хао ' 104ДОо ' Окончательно 10 1Б, г1 г', 1 — — —. — '+ — '- 104 104 га 4го ~ 45 г~ 1 г~ ° ° 104 г4 2 гэ По функции о определим изгибающие моменты Б г, Б Б г~! 13 г 12 156 г2 ~ М,=~) — — +р"— 1 10 г21 — +--- 12 104 г~~ Эпюры моментов приведены на рис. 5.26. Максимальное напряжение прн г= г, Щ(г=гг) 1 г'=гг 1 08 Ь', 39юй,' ' лй~ н при г= га ам!( = ) 37Р6 Р о = "="' = — =О,ба —. ппах (ЗУ )2 39пДз9 п~в ° Максимальный прогиб жп,а„— ~ 6дг =0,29Б Рг', ~~)о За Найденные напряжения интересно сопоставить с напряжениями, вычисленными по теории колец с недеформируемым контуром поперечного сечения (см.
гл. 4, ~$1). По указанной теории напряжения имеют постоянное значение вдоль лучей, выходящих из точки пересечения нейтральной плоскости с осью кольца: ) Мг И, ° ф"-Ь: " где М вЂ” изгибающий момент в поперечном сечении кольца, определяемый по уравнению равновесия половины кольца; "~~* 2д я 1 1а — геометрическая характеристика сечения кольца.' ~~~г Зг1 2к 6у'33 Дг Нг 82 13 -'у.- $ = ьв смз. 18 Г1 1Г г 21 х и г — координаты произвольной точки сечения". для внутренних точек г,„„, = — ; г =г11 Ь~ ЗЬ $)' для наружных точек з — г= Зг~. так 2 20Э Основная трудность численного решения уравнения (5.83) заключается в том, что на основании граничных условий в начальной точке бывают известны только некоторые начальные значения функций Х„Х„Х„Х,.
Остальные же должны быть определены по граничным условиям в наружном краю пластины. Так, например, для пластины, изображенной на рис, 5.26, в начальной точке (при г = г,) известны М, = О. т. е. Хэ1 = О; Я1 — — — —, т. е. Х41=— юг., ' ' ' 2лйо Начальные значения двух остальных функций подлежат определению по граничным условиям при г = Й = г',. В данном примере Мга — — оэ т. е. Хэа=О; в,=О, т. е. Х„=О.
Чтобы решить эту задачу„применяют способ трех расчетов. Вектор состояния Х представляют в виде суммы трех векторов Х = ХС1+ ХС2 + Х, (5.86) где С, и С, — неопределенные коэффициенты. Вектор первого расчета Ж вычисляют без учета распределенной нагрузки, т. е. при Р = О, при этом в начальной точке принимают О -1 Х„= О 0 (при граничных условиях, соответствующих схеме, изображенной на рис. 5.26).
Во втором расчете определяют значения Х также без учета распределенной нагрузки (Р = О), при следующих значениях начальных параметров: 1 О Хи О В первом и втором расчете за единицу поочередно принимают значения тех начальных параметров, которые неизвестны. Третий расчет выполняют с учетом заданных нагрузок (с учетом слагаемого Р) при значении вектора Х,~ в начальной точке: О О О Заметим, что при другой схеме пластины значения начальных параметров будут другие. Если, например, внутренний край пластины жестко заделан, то и = О; 6 = О, а М, и Я неизвестны, следовательно, 0 О О О 1 0 Х1= О О 1 ~ Х11 О О Очевидно, что при начальных параметрах, выбранных указанным способом, суммарный вектор Х 1см. уравнение (5.86)) будет удовлетворять граничным условиям в начальной точке при любых значениях С, и С,. Подбором этих коэффициентов необходимо обеспечить выполнение граничных условий также и в наружной точке пластины.
Для пластины, изображенной на рис. 5.26, например, прн определении С, и С, необходимо использовать следующие два уравнения: ХээС1 + Х32СЯ + Хээ = О~ Х„С +Х„с,+Х,=о. После того, как коэффициенты С, и С, определены, целесообразно еще раз просчитать пластину, приняв действительные значения начальных параметров. По найденным компонентам вектора Х определяют а, О, М, и Я. Момент М~ вычисляют по зависимости (5.49). $7. Круглые конструктивно ортотрфнные пластины Примером таких пластин могут служить пластины с часто расположенными кольцевыми ребрами (рис.
5.27, а), пластины с прямоугольной гофрировкой (рис. 5,27, б) и т. п. Указанные пластины имеют различную жесткость в радиальном и в окружном направлении. Неоднородность упругих свойств пластины по разным направлениям объясняется в данном случае не свойствами материала, который предполагается изотропным, а конструкцией пластины. Поэтому последние и получили название конструктивно ортотропных. Строго говоря, изгибная жесткость таких пластин изменяется по радиусу по периодическому закону; между ребрами жесткость'имеет одно значение, а в местах расположения ребер — другое. Однако, если ребра или гофры расположены достаточно часто, то при исследовании деформаций и напряжений можно считать, что жесткости в радиальном и окружном направлениях имеют некоторые осредненные значения, постоянные или плавно изменяющиеся по радиусу. 207 Отсюда С=о; С=О. О (1+Р) и /~ У ЕаМ О =0~= х.
($ — р) ь гЕ1 ~х, = еЕ1= Рх гЕ, а.„, = еЕ» — — —., Рх (5.107) в нижнем слое — = О. д = С1г+ —,. 4 (И) - С» д~ Граничные условия: при г=г, 6=0; при ~ = г» М,=О или б) ~Ю Ь (1+р) Иа ~1г г Ь =О. (5.108) откуда Еф,' — Е1Ь', 2 (Еф1+Еф») ' (5.109) Л~ Е1~ь.+Еъ~» Рх (5.110) 214 е В этом случае угол поворота нормали всюду равен нулю. Следовательно, плоскость пластины не искажается и деформации равны нулю, Изгибающие моменты и напряжения, однако, в данном случае не равны нулю. Действительно, согласно уравнениям (5.101) — (5.104), 3. Перепад температуры постоянный; внут ренниа край зашрмлен, наружный — свободный.
П остоянные интегрирования: с, "л~ ~ Ь ~х,'+х', Л К)' аЫгЯ Дальнейшее вычисление деРис. 6.2В формаций и напряжений не пред- ставляет трудности. Вопрос о температурных напряжениях и деформациях имеет важное значение для биметаллических пластин (рис. 5.28, а). Вследствие разных коэффициентов линейного расширения слоев такие пластины при нагревании искривляются. Это свойство позволяет использовать биметаллические пластины в качестве чувствительных элементов терморегуляторов.
Рассмотрим вначале изгиб биметаллической пластины под действием момента М„при отсутствии нагрева (рис. 5.28, б). При этом будем предполаг'дъ, что напряженное состояние в пластине — одноосное (это предположение оправдывается, если пластина достаточно узкая). Обозначим через Ь, и й» толщину слоев; Е1 и Е, — модули упругости материалов; и — расстояние от границы слоев до нейтрального слоя; р„— радиус кривизны нейтрального слоя. На основании гипотезы неизменности нормалей г е„= —, Рх где г отсчитывается от нейтрального слоя; положительное направление г — вниз. По деформации определим напряжения: в верхнем слое Положение нейтрального слоя найдем из условия равенства нулю осевой силы Ф.
Последняя равна сумме интегралов от о„по толщине верхнего и нижнего слоев: ~Д (Ь,— а) сЬ,~й+ о.,дг= — — '' — '+а + Е1Ь1 /~ Рх 2 — (ь, +а) — 6 + — ' 2' — а=О, Представим изгибающий момент также в виде суммы интегралов по толщине верхнего и нижнего слоев: Мх = ~ бх,~~~ х+ 1 ~~х, ~й х -(~а+а) ° Д Ф или, с учетом равенств (5.107): где 1, и У» — моменты инерции сечений верхнего и нижнего слоя относительно нейтральной линии (на единицу ширины); у (Ь|+ а)з — аэ ~ (Ь| — и)з+ аэ х1 З Ю х7» = Из уравнения (5,110) определим кривизну нейтрального слоя 1 ~4х Рх ЕА+ Е»~»' (5.
111) установить следующее. Если края пластины свободны, то при нагревании она искривляется в двух направлениях и ее плоская поверхность переходит в сферическую. Радиус кривизны, одинаковый по х и у, может быть вычислен по формуле (5.119). Напряжения, также одинаковые по х и у будут в — раа больше вычнслен- 1 7 1 — 11 ных-по формулам (5.118), Если же пластина имеет накладки, не позволяющие ей искривляться в поперечном направлении, то в ней возникает цилиндрический изгиб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
