Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Второе условие на основ 6.20 к вид у а основании зависимости (6 10' а основ . ' можно привести д~в д~в д" +Р' д =О. Для прямолинейного края ~~ =0 и 1 я д,, = и, следовательно, вместо ~и ф"а 1 писать зависимости (6 20а) можно на- (6.20а) дйя~ — =О; да' (6.206) а также дэф~ — „, + д,, =9' О. (6.2ов) Для криволинейного, шай нирно закрепленного края равенства (6.20б) и (6.20в) нес неспраПри дейстВии на шарнирно оиертый край пластины распределенного момента и нимает вид см см, вто о рое граничное условие (6.20 ири- Мдд=т Или — -~ — — =' — —, г) — д... +И д =" — 0 ° (6.2ОГ) З.К ай р пластины не закреплен ' ис напряжения 6 т и 'с с р~~ны нул дом~~нов д л ны быт ручивающии и момент М ск ь л етворены одновременно. и три условия о днако, не могут быть до- ПЗ мал ей накладывает на де""р, о; так как гипотеза н еискривляемости нор- ОВ- поэта е~ рмации пластины ластины мог т быть этому на каждом краю и дополнительную связ ь, У У Р раси е й затруднение можно п е юйым ечнойнаг зкой и й на ко .Де стВИтЕльно,Каж нтрис.
6.7, и пар сил можно дую из изображенных 226 о повернуть на 90' и и едс редстаВить В Виде е произведены ~и~ы Р . ~ (Р ри этом Р й=М„~до, . следовательно, (6,21) дамбу м~ ~д„. +Р И вЂ” „.1 Если к незакрепленному краю пластины и илож Риложены изгибающий должны быть заменены след ющим д®Ф д~Ф Р3 -дгР +" дФ П ' =О. (6.22) д дамбу дп дп' +~ Р~ дФ1 Следует заметить, что при преоб азовани Р Разовании Р~спределыюю о ента в рас Рределенн ю попе -.' на концах рассматриваемой а -' неуравновешенные сосредоточе ( о стороны пластины оста - -- ---ру"-=":-- ченные силы( ис, 67 щему моменту в концевых точках, т.
е. Р -М„„; Р, М„„. 8* Р=М„,. СилыР иР+ — ~Во'ГЙВ х. — двух рядом расположенных пар, действуя . ио одной прямой, вычитаются одна из а из другой и дают силу — „~й = дз й. Таким об з разом получается расиределе енная по краю пластины поперечная нагрузка = д "', з. По своему характер зта наг зка ",...Так как на свобо рузка подобна поперечной силе Я, на сво дной кромке поперечная сила от очевидно, должно выполняться ься равенство сила отсутствует, то, Ю,— — — 0 дмП8 Ф д~ или.с учетом зависимостей (6.12) и (6.16); д.
дат дз1з д Ув д. д +д: + д. д,д. И вЂ” 4)=о Это равенство п ст ред авляет собой второе граничное .,' свободного к ая пе ное условие для д~® рм, первое же условие имеет вид М = О или д... + края — д тельно, граничные условия дл бо + р —,=О, сле оват я сво диого с д~~~ У® дсР +~ дз в пределах от — — до —. Учитывая что а а 2 2' $ а/2 тдх тдх сов — сои — Их=О (т ~т) — а/2 И Б результате подстановки найденного значения С „функция и ~см. Уравнение (6.37)) принимает вид тп .
пл цп — яп— 16р 2 балх ппу Ы~ =— ~,~вр а сои — со~ ° Жй ~ — + у ~а сов' — Дх— тпх а а 2 э получим а/2 ° ° р(х, у)соз~™~Их= — ' 7 С со,, ~~у — а/2 л=3 Правую и левую части этого равенства умножим на соя —" Ь Ь Ь и проинтегрируем в пределах от — — до — тогда- 2 2' а/2 Ь/2 р(х, у)сов — сои — "" Нхйу= — -С,.
— а/2 — 6/2 сюда найдем коэффициент произвольного члена ряда (6.35): а2 Ь2 с 4 аь р (х~ у) со~ — сов — "„" Дх~у. (6 36» — а/2 — Ь/2 у для н~~рузки, определяемой уравненем функция в известна, то, применяя принцип независимости действии сил, можно записать функцию ы для нагрузки р (х, у), представленной в виде двойного ряда '(6.35): 1 ~ ~ч Сщ„каях лйу т 1л=! й +~щ (6.37» Зто решение в двойных тригонометрических рядах было полчено Навье. олуРассмотрим в качестве примера пластину, нагруженную равномерным давлением р.
Поформуле(6.36) при р (х, у) = р = сопз1 найдем а 2 Ь/2 4р 1" тпх плу 16 . тл С „= —,— ~ сов — сов — дхИу= „, р„и!п — з~п---; — а/2 — Ь/2 и'тл 2 2 ' здесь и, и =1, 3, 5, ...; ип — — = +-1; ь1п -- =-~-1. Максимальный прогиб в центре пластины при х = О и у = О 81п — яп— ~ ии~ — + —, ~а (6.39) Этот ряд быстро сходится, уже первое приближение является удовлетворительным: ::в частности, для квадратной пластины со стооной а: и,(х у~ = '~' и, (х) в1п— Ьщ (6.40) 1 ГДЕ Ж (Х) — НЕИЗВЕСтНая фУнкЦИЯ от х. ..р ° ч ф,), = — = О,ОО416 —, 4ра~ раа о ~ер Ъ то время как точное значение прогиба рд4 цуо — — ОФОО406 а. Погрешность первого приближения состав- Рис. 6.11 : ляет 2,50/о.
Решение в двойных рядах для прямоугольной шарнирно опер- .той пластины, нагруже ой сосредоточенной силой в произвольной ,'.точке или давлением, иложенным на участке поверхности, рассмотрено в книге 121). Решение в двойных тригонометрических рядах является доста' точно простым и удобным, однако оно пригодно только для пластин, "у которых все четыре края закреплены шарнирно.
Более универсальный метод решения задачи об изгибе прямо. угольной пластины в одинарных рядах предложен М. Леви. Предположим, что у прямоугольной пластины (рис.6.11) два противоположных края (при у = О и при у = о) закреплены шарнирно, а два других закреплены как угодно; нагрузка — равномерное ' давление р.
Оси координат выбраны так, как показано на рис. 6,11, Искомую функцию в (х, у) представляют в виде ряда Очевидно, что ряд (6.40) удовлетворяет граничным условиям при У=О си=О; 0 Уи~ дф и при У=Ь и=О; — =О. У® ду~ Для того чтобы ряд (6.40) удовлетворял также дифференциальному уравнению (6.18) и граничным условиям на двух других краях, необходимо соответствующим образом подобрать функцию щ (х).
Подставим ряд (6.40) в дифференциальное уравнение (6.18). Вычислим левую часть уравнения ОЭ ЯО ,щ д~в д~в %1 Фв» . Йлу %1 ЮФ . Му ~ в =+ — т, — „п!и — — ~ в~ — в1П— дхз ду~,~й АР - Ь ~й " Ь~ Ь »~1 »ы 1 »=1 1~Р Ф~» ~~йщ» ~колй Рла + — иъ» Йп —. ~'й дх~ ~Ьй Ьа Ь4 ».1 (6.41) л Р» (х) адп — 81п — "у ду. Ь Ь Р(х. У) Б1п Ьуйу= Приняв во внимание, что ь Алу Ь кап' — ду = —; Ь 2' ь в1п — Б1п — = О ° Ьу .- Алу Ь Ь где д~~ получим ь Р» — — — Р(х, У) з1п Ь ЙУ 2 .
йлу (6.43) при Р ~(э У) Р сом. Р»=Ъ вЂ” (1 — соз АЯ). Если А че ю„ 2р 'ОР» =0 'иА — неч но торА — — ж 4р Пр дставим В виде аналогичного Ряда праВую ча,ь уравнения Р= ~,Рд (Х) 81П вЂ” ". (6.42) »~1 Для определения коэффициента произвольного члена этого ряда Аду умножим правую и левую части равенства (6.42) на ып — и. про- Ь интегрируем от О до Ь: ь ь Следовательно, слагаемые, соответствующие четным Й, в решении будут отсутствовать. После подстановки выражений (6.41) — (6.43) в дифференциальное уравнение (6.18) оно принимает вид йлу 81п — = Ь Д4цц ДЙЯ~» ~4дй Й4Я4 » -2 — — + — мЪ а,4 ы ь Ь »=1,З,Б 4р .
Юлу 0йл Ь У вЂ” мп —. » 1,3,5 ° ° ° Это уравнение распадается на ряд обыкновенных дифференциаль.ных уравнений. Напишем Ье уравнение ряда Д4в» У» Жа й'п4 4р —" — 2 —" — + —.~~ = ~, Нха Ихи Ьз Ь л (6.44) Не останавливаясь на этапах интегрирования этого уравнения, напишем его общий интеграл Алх Ьи Йлх Йюх Щ(х) = Сд» сп — +С~» Яп Ь + Сз» вЂ” сп — + Йлх Йпх 4рЬ~ (6.45) С агаемые, содержащие постоянные Сд», С~». Св»1С4» представляют собой общее решение однородного уравнения. Последний член ',:,есть частное решение уравнения (6.44) с правой частью. С учетом .';равенства (6.45) функция а (х, у) принимает вид Йлх , Йлх Ь~х Ал,х в (х, у) = ~~~~~ [С, 'и — + С,'~ Бй — + С,» — сп — + » 5 балх Йтх 4рЬ4 +С4а — вЬ вЂ” +— ~лу ип —.
Ь (6.46) дц( дзЯ~ при х 0 — 0 и -;,— О. з этих условий следует, что См» = О и Се» = 0 (функции Ь Ь Ь -; 811 — и — с11 — - нечетные . балх Ат~х Йлх 235 Ь Теперь необходимо подобрать постоянные С,», См, Сэ», С4» таким -образом, чтобы были удовлетворены граничные условия на двух других краях пластины при х= +- 2 Предположим, что два других края жестко заделаны; тогда функ.' ция а должна быть четной относительно х (упругая поверхность сим; метрична относительно оси у).
Следовательно, Ьм С1» зЬ вЂ” + С,„, Ь2 ~Й вЂ” + — с11 Йла Ала дла Ь2 Ь2 Ь2 =О, Ф решение которых дает йла Юла Ала аЬ вЂ” + — и†2Ь 2Ь 2Ь 4РЬ4 с„= —— Дбл6Ц Для определения двух остальных постоянных необходимо использовать граничные условия на боковых сторонах: при х= -- и =О; д — — О. Эти условия приводят к двум уравнениям йла йла йла 4РЬ4 С1» сй — + С4» — з1! — + = О; Ь2 Ь2 Ь2 Юла ную равномерным давлением (рис. 6.12). Выбрав начало координат : в центре пластины, запишем уравнение контурной линии (уравнение - эллипса) (6.49) ~ Р~ "* + У.' 1) ~ ~~,. +-~,— — 1), (6.51) При жесткой заделке в контурных точках должны выполняться граничные условия (6.19); Нетрудно проверить, что этим условиям :, удовлетворяет следующая функция: и = Гыр — -- + — — — 1 (6.5О) :- где в, — прогиб в центре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
