Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 13
Текст из файла (страница 13)
= — Д (О') + Я (180')). пЕ,1 „ По табл. 4.3 находим 5 (О'-) = 0,13497; 5 (180') = 0,09873. Следовательно, що = в «Во = — (0,13497+ 0,09873) = 0,0744 — ° Ргз Ргз лЕ1„, ' ' ' Е3„' Ргз Ав=во +«~~во =0,1488 —. Е'~х Аналогично при Ргз в9о. =— пЕ~х % — 90' 2'«(90') = — 2 ( — 0,1073) = 0„0684 Рг пЕ3„ ргз бсп=2жцу = 0,1368 —. Е'~х Пример 4.1О. Определить перемещение точки А кольца, изображен на ри' 421 Используя уравнения равновесия. вычислим Реакции опор Р 1~« = 1~з = —. Выберем начало отсчета угла «р в нижней точке. Согл 3 висимости (4.63) запишем выражение радиального перемещения Ргз в= Св(п «р+Всоз«р —— пЕ.~ „ ~ («р — 180 ) +=- «' («Р ЗО ) + — В («р — 330 ) 1 1 $'3 )'з силы Р, Й„йз в данном случае отрицательные.
Йа основании симметрии нагрузки 2«~но = — 0,137 —, Ргз Е'~х Рещение по споеобу Бицено — Граммеля. Искомое радиальное перемещение в этом случае определяют по формуле (4.63). Так как кольцо не закреплено, то постоянные В и С следует приравнять нулю. Последнее слагаемое ввиду отсутствия касательных сил также следует отбросить; в результате получим относительно вертикали постоянную С следует приравнять нулю, Для определения постоянной В используем условие: ю = — О при «р = 30'„из которого следует ~ (150о)+ ~ (О')+ — 5 (60') 1, 1 ~а $~3 Рг» В соэ ЗО' —— пЕУ =О.
После подстановки числовых значений найдем В Ргз В = 0,105 —. пЕ1х Искомое перемещение в точке А 5 (Оо)+ — 5 (150') + —. 5 (150') 1, 1 ф~З 3:3 ргз Ргз ил —— 0,105 — сов 180' —— пЕ3» пЕ3» Ргз = О,ЗОЗ вЂ”. пЕ~» Пример 4.11. Определить перемещения точек кольца, нагруженного касательными силами и моментом (рис. 4.22).
Рис. 4.21 Воспользуемся методом Бицено — Граммеля. Дополнив формулу (4.63) слагаемым вида (4.67), вычислим радиальное перемещение в точках Е, С, К: М гз Ы 2г ~Е,/„~ Ц (90с) + Р (Оо) О. 2г пЕ3» пЕ,1„, — У (90') Мгз Мгз 1(0 ) Ц (180 )+ — ~ — Я (90 )) — — О,О ~С 2г п1?3„2г пЕ3х пЕ3» Е3» М гз, М г1 (30 ) «ц (150'))+ —,1 — Й (60')) = 0 26 К= 2г дЯ~„2г пЕ3» Аналогично можно вЫчислить перемещения и в других точках. Эпюру перемещений см. на рис.
4.22. Угловую координату следует всегда отсчитывать по кратчайшему расстоянию между рассматриваемой точкой и нагрузкой. При этом следует учитывать, что функции 0 и Ф обратно симметричные. Если данная нагрузка приложена за расатриваемой точкой (по бтношению к выбранному направлению отсчета угла «1), то функции У и Й берутсй со знаком плюс; если же нагрузка приложена до р ассматриваемой точки, то знаки У и Й изменяются на обратные. ЕЗх(г — р») гр откуда ~в Щ В Рис. 4.О Рис. 4.24 149 Прим(»р 4.$2.
Кольцо, опирающееся иа три опоры, нагружено силой Р (рис. 4.23). В данном случае можно написать только два уравнения равновесия: ~1 = ~»' г' 3 И1 — +Я» Р. 2 Дополнительные уравнения получим иэ условия равенства нулю радиального перемещения на опорах. Начало отсчета угла ~ выберем в точке А. Применим формулу (4.63).
На осно- вании симметрии нагружения постоянную С следует Р приравнять нулю. Тогда Рг» ц)„В О'- — З (18О')— лЕ.1х Я»г» Я~ г» ° — — Я (О') — 2 1 В (ЖР) О' аЕУх яЕ/х Рг» в = В со» ЗО' — — 8 (15О')— лЕУ„ Р г» Я~ гз ~ гз — — -'д †.") (М) — » 8 (30') — » 8(6О')=О. й йЕ'~х ДЕ~х ва Е~х Подставив взятые по табл 4 3 значения функции Я и решив систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными, найдем Р1 Й» О 386Р' Я» = 0,332Р В О 1826 —. Ргв яЕ3,;, Перемещение точки приложения силы Р юе В сое 180е — — Я (1Ю) — 2 — Я (1Я)) — — Я (О') — О,~ й»г», Я1г» Рг» Рг» пЕ~х 4Е ~х й) Е~х Ррах Пример 4 13.
Рассмотрим более сложную задачу о деформации плоского кольца. На рис. 4.24, а изображено кольцо проушины, опирающееся иа жесткий цилиндрический палец и нагруженное силой Р. Обозначим 㻠— радиус пальца; г, и г †' внутренней и Средний радиусы кольца. Особенносгь данной задачи состоит в том, что контакт между кольцом и пальцем вначале возникает только в одной точке, затем с увеличением нагрузки зона контакта расширяется и кольцо постепенно прилегает к пальцу (рис. 4.24, 9. Вначале, когда кольцо находится под действием двух сосредоточенных сил Ф, изгибающий момент и кривизна в точке контакта могут быть легко определены методами, рассмотренными в примере 4.9: Рг 1 1 Рг М = — — = — + —. я Ф р г ДЕух' В тот момент, когда кольцо начнет прилегать к пальцу (палец считается абсолютно жестким),.
кривизна его средней линии и величина силн Р составляют: 1 (г — р») пах )а Ф р» д р »» ° го+— 2 На второй стадии нагружения возникают два участка (рис. 4.24, б). На участке АВ кольцо плотно прилегает к пальцу; на остальном участке имеется зазор. Примем следующие допущения: кольцо — нерастяжимое и тоикоеч палец— абсолютно жесткий; силы трения пренебрежимо малы. ~Рассмотрим отдельно палец и каждый иэ участков кольца (рис. 4.
4, а). Вначале расмотрим участок АВ. Поскольку на этом участке кривизна постоянна, то изгибающий момент также постоянный: Угол наклона нормали на границе между участками до деформации обозначим через а. После деформации угол а изменится на величину 6~, которую можно . определить по условию нерастяжимости кольца: ©г=(~х+'~в) Р р р» 6 и —. В р» Так как М = М» = соп»$ и д» =* 0 (силы трения не учитываются), то на основании уравнений равновесия (4.45): 1Ч Ф Я='О й= соп»1; д= —,М вЂ”. Определим еще перемещения и) и о~ точки В. Я Приравняв нулю сумину проекци" О О К ЖО (рис 4 24 а) на нормалью и на касатель ую ~найдем и) — — гг-(г — р') со» а — р' соз 6~] = — (г — р') (1-сое и) ~в- — ~г- г — р о =р' з1п 6 — (г -р') »$п, сс =(г — р') (а — а1п а)а ов= в à — ре где соа 6 — 1; аа Он — Ьн и Перейдем к рассмотрению участка ВО (см.
рис. 4.24, в). Силовые факторы в точке В обозначим М ~, М~ и Я . Из условий сопряжения участков следует, что М = М». Выберем начало отсчета угла и) на границе между участками. Изгибающи й момент в текущем сечении М М'+й г(1-сов ~р)-Я ~ »оп). нулю прогиб на опорах: . — Я (45')+ — Т (4Р) 1 . 1 Е3„ 6334р р) „э у А+Всаво +С а(по + ЕХ„ — В (90')+ — Т (90') + й~„р [28 (45 )+25 (135 )) О,ОЗЗΠ—. Суммарный максимальный прогиб %~э ~ -у,— у„-0,0810 —.
лЕЯ „' — З(0)+ — Т(О) + 1 1 Е'~х б укр + ~ [У (90') — У(45')— иЕ3» — З (180') + — т (180') о Е" х ~'~~Р Я (О )+ — Т(О') 1 1 ЕЗ» Ы„ Р) гз у „= А [- В ссв 45'-]- С 41п 45 +— ( — у) си~ % 3~ 2%. (и ' 44 ° 2 ' 2 Е~х Д (90о)+ Рис. 4.27 14аб Пример 4.16. Кольцо круглого поперечного сечения нагружено четырьмя сосредоточенными радиальными моментамн (рис.
4.27). Определить осевые смещения и угол поворота сечений К и Е. В данном случае 64 = 0,8 ЕХ». Вертикальные перемещения сечений К ,й Е определим по уравнению (4.83): Ук= ~ ~,~ +Е~ [Я (О')+28 (90')+ Я (180')] =~-Р~ 0,0430 —; %И 1 1 О О . ЖГ 83 а~ Углы поворота сечений в радйальной плоскости согласно уравнению (4.84). ОУ 422пВ( +„~~ [3 (О)+23 (80')+В (180И+по( Р' (О)+ + 2У (90')+ 1' (18О')) = 2,58 64 4 — + — [23(45')+23(135')]+ [2У(45')+2)'(135-1] = 1,69 —.
Изгибающие моменты в сечениях К и Е в данном примере легко определяются ао уравнениям равновесия половины кольца 1 Пример 4.1В. Кольцо, опирающееся на три опоры, нагружено сосредоточенными осевыми силамн Р н нагрузкой д (рнс. 4.28). Определить перемещения Гуг сечений К и Ф. В данном случае ~Рю в уравнении (4.83) следует сохранить слагаемые, содержащие постоянные А, 8, С. Эти постоянные должны быть определены по условиям равенства нуао прогиба на опорах. Совместим начало отсчета угла 8р с точкой А. Из уравнений-равновесия. кольца следует, что реакции опор равны нулю Приравняем ду~ Д (135о)+ 1 Т ( Що) + " ф (4547) — О (Оо) Е1 6,Х„р,пЕ1„ дга — У (135') + (/ (180')] + [3 (45О) — Е (О') — Я (135')+ 3 (180')[ 01 пб,l „а ( — Р) у =А+Всоз 135 +С яп 135'+2 дг~ — [- и (О )+ и (45 )+и (180 ) и (135 )] + — [ — 3 (О )-]- Кр + Е (45')+ Я (180') — Я (135')) Ф; ( — Р) к у А [ Всс4225'+С в[п 225'+— (1 (Ооо)„]„(1 (135о)] 1 а [3 (00~) Я (45 ) — 3 (80~+3(135')] =О.
п01' Подставив табличные значения функций 3, Т, К Ю н положив б.)„р=. 0,8 Е3» (поперечное сечение — круглое), а затем решив систему трех уравнений относительно А, В, С, получим А = — 0,082 а; В = — 0,130 а; С =.-0,678 а, РР гла а лЕ.1» ' Ф дай З (18ОО')+ 1 Т (18О') + ~~~ [+~(90') — У(45')— Е1„ б~ р Ц(и.( С(135)] ]. У' [г(и) — 3(45')-3(ОО)+3(135%]=1,135 а; пои„ Р р) гэ у =А+В сов 315'+С а1п 315'+2 Г((уу) ~+ а' [ — и (О')+и (45')+У (18()) — и (135')]+ 'У [ 3 (У).] 3 (45О)-[-3 (130') — 3 (135')] Оэ775 а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
