Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для этого умножим первое уравнение (10.56) на постоянный множитель а и сложим со вторым: 1,,Я)+аЬ~®++ У вЂ” аЕЕ!д66 =О. Перепишем последнее уравнение в следующем виде: Множитель а подберем так, чтобы выражения в квадратных скобках двух последних слагаемых были равны между собой, т. е.
аЕЙ 1яо — —, =1ц и дифференциальное уравнение примет вид ( ),.!Яе$/!2(1 — !р!б О Ь где а — комплексная неизвестная функция; Выполнив интегрирование уравнения (10.57) и разделив комплексную функцию а на действительную и мнимую части, нетрудно Э Ф найти искомые функции д и У. Напишем уравнение (10.57) в развернутом виде Ра 0а 1 ° . 1д6 $~12(1 — 1Р) ° з — 4- — — — а-~ а=О ЫР +~И в Ь ю О $6 А/12 (1 — Р,2) О Дф + Д~ Ь а=О. Произведем замену независимой переменной я иа г согласно равенству ния: 15р 1,01р6 от=04 + 0,4з = 76Р. нагружена краевыми нагрузками по 51 = 100 мм; зз = ЗОО мм; 6 = 0,5 см; я1 60' х =2ф 12(1 — О,Зз) 21,4; х = 2 ~/12(1 — 0,3з) 4 з, !абае = 37,0.
Рис. 10.8 177,6С1 — 108,5Сз =677 Р ° Ев 301,9С, — 988С~ = 1,1 10'— Е ь из которых найдем 678; Сз — 12,20 Е. Граничные условия при х = хг' Сз = — 1934— р Е э С =1903 —. .Е ' =М; (~= — =Р а1п6 ас186 417 После подстановки значений функций Томсона, а также величин 6, Тт, Т, уравнения граничных условий принимают вид 0,903С +1,764С +!09,8 10 'С +668,6 ° 10 С =81,1 4 у еу 177,6С1 — 108,5Са — 2.19 10 4Сз+О 491 . 10-4С 667 Е э 2,629С1+0,931Сз — 1478 10 4Сз — 572 10 4С~= 157,7— Е' 301,9С,— 988сз+6,01.10-4С П 46.10- С вЂ” 11.104 Р 3 ' 4 ю Е Решение этой системы уравнений дает следующие значения постоянных: С1 = — 3.68 = ; Сз= — 12 22 †.-' Сз= — 1935 †; С4 —— 1902 — .
Р Р з е Задачу определения постоянных можно в данном случае упростить, имея в виду, что функции Кегз х и Йе1з х быстро убывают и при х, = 10,7 принимают весьма малые значения. Отбросив во втором и в четвертом уравнениях члены, со- держащие Сз и С4, получим два уравнения с двумя неизвестными: Подставив эти значения в первое и третье уравнения и решив их, найдем остальные две постоянные: Теперь нетрудно по формулам (1 0.72) и (10.73) вычислить внутренние силовые. факторы. На рис. 10.8 приведены зпюры Тт, Т~, М„, М, по длине образующей. Наибольшие напряжения возникают в точках„расположенных ка внутренней поверхности у наружного края: о,=- — + — '= — '+ — ' =(!0,5+40) р=50,5 р: Т~ Мсб 4,25р 1,06р6 Ь Ю 0,4 0,4з а = — ~+ ~ =.
' + — ' (Збр+129р)=165р. Тт Мтб 14,52р 3,43рб Ь Ю 0,4 0,4з В середине образующей при з — 7,2 см напряжения имеют следующие значе- — + ' з =71Р; 24,2р О,ЗР6 0,4 0,4з Пример Ю.2. Коническая оболочка схеме, приведенной на рис. 10.9. Дано: 6 = 60'. Расчеты выполним двумя способами: с помощью таблиц функций Томсона и по асимптотическим формулам (10.69).
Прежде всего по формуле (10.61) вычислим параметр х для нижнего и верхнего края: Ввиду того, что образующие Рис. 10.9 данной оболочки, двстаточно длинные, напряженное состояние около нижнего края можно рассматривать независимо от граничных условий на верхнем краю. Полагая в выражениях (10.70) и (10.71) Сз= С, = О и учитывая, что Ь и Р при заданной краевой нагрузке равны нулю, для области около нижнего края по° лучим ЕЬз 1/ с~ 1Сд,+С,~,В б-- СИз+Сз%. 1 12(1-р,з) Пользуясь таблицами, находим значения функций Томсона индекса 0 при хз = 37,0 и пересчитываем на функции <р~, <рз и их производные: ф = 121,9222 ° 10з; фз =89,8465.
10з с~' =21,0194 . 1Оз; ~; 148 5313 . 10з; — 113,.8935 ° 1Оз; с1, = — 90,9827 ° 10з; ~); = — 14,8630 ° 10з; (р' = — 143,6133 ° 10з. Нетрудно убедиться, что частные решения для этих случаев нагружения полностью совпадают с решениями, которые дает безмоментная теория. Равномерное враи~ение оболочки.
Интенсивность радиальной инерционной нагрузки определяется выражением Ьуо~% яп 6 р= Ее нормальная и касательная составляющие: Ьуо~% я1п2 6 р,= " =А 81гРО; Ьув% яп 6 сов 6 р2 = = А Б1п 6 с08 6 И В где Ьуи% й' Функция Р (0), зависящая от осевой нагрузки, в данном случае равна нулю. Функцию Фз (О) определим по формуле (10.7ц Фа (6) = М~2А з1п 6 соя О+ (1 + р) ИаА йп 6 соя 6 = (3+Р) . =Й А ип26. 2 Частное решение дифференциальных уравнений 6 будем искать в виде, подобном Ф,(9), т. е. Ь=Сип26, где С вЂ” неопределенный множитель. Подставив б в уравнение (10.75) и выполнив несложные преобразования, найдем — О (5+ р,) С ип 26 й Используем теперь уравнение (10.74). Подставив это уравнение в функции Ф, (О), Ь и Р, убеждаемся, что оно удовлетворяется при Ай (3+Р) 2 [О (РЯ вЂ” 25) — ЕЬЯ~] ' Усилия Ц, Т и Т, определяют по формулам (10.23), (10.24) и (10.25), т.
е. д 1 ~. -- А (3+Р) (5+р,) /РсоФ6 "(' — Р') ~ ' (10.84) У Айз1п'6 АЬ.( +Р)(5+Р)~ 26 с= э[п 6+ Пример 10.3. Исследовать напряжения н деформации в замкнутой сферической оболочке, вращающейся с угловой скоростью в. Граничные условия в данном случае следующие: при 6=0 д О; при 6=0 ~=0, $'=0; при 6 =90' 6=0; при 6=90' Я=О, $'=О. Частное решение разрешающих уравнений определяется выражениями (10.83) и (10.84).
Нетрудно проверить, что это частное решение удовлетворяет всем граничным условиям. Это значит, что общее решение соответствующего однородного уравнения в данном случае добавлять не нужно. Таким образом, формулы (10.83) и (10.84) полностью определяют значения усилий в замкнутой вращающейся оболочке. Найдем изгибающие.
моменты. Подставив выражение (10.83) в зависимости (10.10) и (10,11) и положив Й,„= Й~ = й, получим М,„= ' (сов 26+ р, соФ 6); М~ —— ' „(созй 6+ Р сов 26). Радиальные перемещения точек поверхности согласно уравнению (7.35): 1 ~ = е~г = — (Т~ — РТ,х) Р 81п 6. ЕЬ При 6 = 90' Ь (3+Р) (5+Р)1[ 4~~~ Я'12 (1 — Р9 ~ ЕЬ ' Осевые перемещения согласно уравнению (10.34): е 1 ЕЬ вЂ” (T~ — РТ~) яп 6+ д сов 6 (т~ — отсчитывается от полюса). При 6 = 180' по этой формуле получим изменение расстояния между полюсами Ьа(3+Р) (5+ ) 18Й~ (1 — Р) (10.83) Следовательно, искомое частное решение имеет вид У 4~'(3+Р)(5+Р)~ .
2, 2 [ЕЬра+(25 РЯ) 01 81п 26 А (3+р,) (5+р,) У А~а (3+ Р) 2[ЕЖ~+(25 — ~д)О[ ' И вЂ” ~( ~ Р) 81п 26 2ЕЬ На рис. 10.11 изображены эпюры М,„, М~, Т„„Т~, построенные при следующих числовых данных.' Я=40 см; Ь=2 см; в=1000 об/мин; в=105 рад/с; у=7,8 10 ~ Н/смз; Е= 2 ° 10~ Н/сми; р,=0,3, Максимальные напряжения возникают в наружных точках на экваторе обо- лочки Т~ Мгб 2800 25,6 ° б о~ — — — — + ' 1440 Н/см~ ' П16х Ь ЬЯ 2 29 Э Т М~б 85 б о„, 'в — ~ О+ — 130 Н/см~, Ь М Р аУ~= О.
()0.85) Изменение расстояния между полюсами 2~и ~ао ЕЬ 2(! Ф Ьй(3+Р) (5+Р) 18И (1 — р,) = — 7,3 10 з см. отсюда ..~/ 1 .$~ 12(1 — ф) ИО ~ ЕЬа (10.86) й = р'3 () — р~) 4 й (10.87) Рис. 10.11 т,„=о; тогда из уравнения Лапласа Т~ рД ЙА а1п~ 6. При 6 90' Изменение диаметра по экватору 490 = 2 ь (ту Рт )Π— 9О = 5 6 ' 10 Э см Заметим, что в данном случае напряженное состояние оболочки мало отличается от безмоментного; поэтому максимальное напряжение и перемещения можно . с удовлетворительной точностью вычислить по безмоментной теории.
Рассматривая равновесие части оболочки, отсеченной по кругу В = сопз1, найдем- У~ — — ЯА =2810 Н/см; а~ — — — =14!О Н/см~. T~ Получим общее решение системы однородных уравнений (10.80). Анализ этой системы показывает, что вторые слагаемые в левых частях уравнений можно отбросить (вносимая этим погрешность не превышает погрешности, вносимой исходными допущениями) 1151. После исключения этих слагаемых уравнения принимают вид Эти два уравнения можно привести к одному уравнению второго порядка относительно комплексной переменной.
Умножим первое уравнение на неопределенный постоянный множитель а и сложим со вторым: Множитель а подберем так, чтобы произведения, заключенные в квадратные скобки, были равны между собой, т. е. аЕЬК = — —, Ви' знак перед корнем может быть выбран произвольно. Введем обозначения: = — ва=~ ь 12(1 — Р')=~2~" ,й .Р а=6+а Р =Ь+ю',ь, !' У.
(10.88) В результате уравнение (10.85) принимает следующий вид: Е, (а) — (2Й'а 0 (10.89) Это уравнение второго порядка относительно комплексной функции а эквивалентно двум уравнениям второго порядка (10.80) относительно действительных переменных Ь и К Общее решение уравнения (10.89) можно представить в следующем виде: а = (С1+ юС.,) ~Х~ — л У,Д+ (С, + кС4ЦХз — к УД, (1.0.90) а где Х1 — ~У, = а„Х, — ~У, = а, — комплексные функции, являющиеся независимыми частными решениями уравнения (10.89); (С, + 1Ся), (С, + ~С,) — комплексные постоянные ин- тегрирования.
Разделив комплексную функцию (10.90) на вещественну|о и мнимую части и приняв во внимание равенство (10.88), получим Ю следующие выражения для 6 и Р: 6 = С1Х~+ С~У1+ СаХэ+ СФЕРЫ Е/Р. (10.91) Р = г [СаХ1 — Сд 1~1+ С4Ха — Сз Я. $~12 (1 — рУ~ Функции Х, (О), У, (О), Х, (О), У, (О), входящие в фор- мулы (10.91), определяются в результате интегрирования диффе- ИЬ К вЂ” +РЬС1аб о1 Маа= — ~ ~ ~ (С,Х;+С,Г» Я ИРа«Н«г« —.~ — 1п.— =2,614 ° 10 э смв. г ' .12 'г или Реднив эти два уравнения, найдем деформации фланца могут быть вычислены по формулам теории осесимметрич ной деформации колец (см.
гл. 4, $ 1). Геометрические характеристики сечения кольца: 4Р г« Хд — — — = Н1п — =0,0490 см; г гд Внутренние силовые факторы в сечении кольца: Ы=РНгд+Яф= 39,9р+5Щ; М=рг«-Т„до«+М дЛ*дР— =1,99 10 р+М д50+<УО. Н Угол поворота сечения кольца М 1 У = — — 10,7605 ° 10«Р+19,13 10«М,„д+ 7,65 ° 1ЩД Рад. Радиальное перемещение в точке сопряжения с оболочкой аН вЂ” — + — — — ~0,305 ° 10«р+ 4,08 * 1Щ+7,65 ° 10«М,щ1 см. д Запишем уравнение граничнйх условий Е/д« [С«Фд — СдЮ Я 1~ 12(1 — рУ) — 49,43Сд — 81,54С« — — — у 2,022 10 «М„,д) 3,9429С + 0,9668С = — 0,1835 ° 10 7Я~.
С =[5,475 ° 10 «Я~ — 0,714 ° 10 «М~~1— 1 С,=~ — 3,32 ° 10 0 — 2,915 10 'М 3 Е ° д вычислим угол поворота нормали при 6 = 90'. 6 =С Х +С 1' = Е (184од — 122ОМ ) р д 1 Напряженное состояние оболочки целесообразно представить в виде суммы безмоментного состояния, соответствующего нагружению равномерным давлением р и осевой силой Т~дд и моментного состояния, соответствующего нагружению краевыми нагрузками М дд и 9д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
