Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Это следует из аналогии уравнений, описывающих оба эти явления, На рис. 1.5 в качестве примера изображен сосуд прямоугольной формы. Прц вращательном движении жидкости вектор скорости в контурных точках будет направлен вдоль контура (рис. 1.5, а). Наибольшей величины скорость будет достигать в точках, расположенных посредине длинных сторон прямоугольника. Б угло- Ъ<пФ вых точках, а также в центре скорость будет равца нулю. Имешю такое Щ распределение касательных цапряжеццй имест место Рис.
1.5 при кручсциц прямоуголь- ного бруса. Сказаццое будет справедливо и при любой другой форме поперечного сечения. Остановимся на другой важной аналогии кручения, известной под названием мембранной. Представим себе рамку, имеющую такую же форму контура, как и поперечное сечение бруса. На рамку натянута тонкая резиновая или мыльная пленка. При действии на пленку равномерного давления ее плоскость переходит в выпуклую поверхность.
Если натяжение пленки постоянно по плоскости и изгибцая жесткость мембраны пренебрежимо мала, то уравнение упругой поверхности мембраны подобно уравнению, определя1ощему функцию напряжений в задаче о кручении. Из сопоставлсцця уравнений следует, что угол наклона нормали в каждой точке выпуклой поверхности пропорционален величине касательного напряжения в соответствующей точке поперечного сечения; горизонтали поверхности (лицин одинакового прогиба) соответствуют траекториям касательных напряжений (т. е. линиям, вдоль которых направлены касательные напряжения).
Объем, ограниченный поверхностью, пропорционален жесткости бруса ца кручение. Мембранную аналогию широко применяют для экспериментального определения величины напряжений н крутцльцой жесткости брусьев сложного поперечного сечения, При этом используют следующие зависимости: где '9 — измеренный угол наклона пленки, рад; т — касательное напряжение; б — модуль сдвига; 6 — относительный угол закручивании; Т вЂ” натяжение пленки, Н/см; р — давление, Н/см'; о — объем„ограни чецць|й упругой поверхностью мембраны (определяемый экспериментально), Величину — —, входящую в приведенные формулы, определяют Т Р опытным путем на круглой мембране с использованием известных значений напряжений и крутильной жесткости бруса круглого по- перечного сечения.
В качестве примера на рис. 1.5, б изображена выпуклая поверх- ность мембраны и рямоу гольного контура. Как можно видеть, наибольшей величины угол наклона О,„достигает в точке, распо- ложенной посредине длишюй стороны прямоугольника, В угло- вых же точках и в центре прямоугольника угол наклона нормали равен нулю. Рассмотрим вопрос о положении центра кручения и о депланации (искажения плоскости) поперечного сечения. Центром кручения будем называть точку в поперечном сечении, через которую проходит продольная ось и вокруг которой проис- ходит поворот одного поперечного сечения относительно другого.
При свободном кручении в пределах малых деформаций положе- ние центра кручения остается неопределенным. Это объясняется .тем, что любую продольную ось, проходящую через произвольную точку поперечного сечения, можно припять за неподвижную и счи- тать, что в пределах малых деформаций оца це искривляется. При перенесении центра кручения из одной точки в другую добавляется лишь некоторый поворот бруса как жесткого целого относительно поперечных осей.
Обозначим через 6 угол закручивания, отнесенный к единице длины бруса, и через со — перемещение произвольной точки сечения в направлении оси бруса. На рис. 1.6, а и б показан бесконечно ма- лый элемент закрученного бруса, выделенный двумя поперечными и двумя продольными сечениями. На рис. 1.6, и тот же элемент изображен в плане — сплошными линиями до деформации и штри- ховыми — после деформации.
Точки Л и Л, элемента до и после Жформации совмещены. Вследствие деплацации точка 0 получает 9 осевое смещение относительно точки Л, равное йо, и переходит в точку О,. При этом отрезок Ао поворачивается в плоскости 0АВ Ды на угол сс = —. д~ Определим перемещение точки В. При закручивании бруса поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого на угол йр = — бдг вокруг некоторой точки Р. При этом точка В получает смещение по окружности ВВ~ = рбдг и переходит в по- Рис.
1.6 ложение В, (рис. 1.6, б и в). Перемещение точки В в плоскости, касательной к контуру, равно проекции отрезка ВВ, на направление касательной ВВ, = ВВ1 со8 ч, но соз'Ф = —, Р' где г — длина перпендикуляра, опущенного из точки Р на каса- тельную к контуру. Следовательно, ВВ2 = Рб Ж вЂ” = бг»й. '»»,»,, ,„'':;:,.:"разделив это перемещение на АВ -=- дг, получим угол поворота - ~резка АВ в касательной плоскости: $1 = Ог.
Очевидно, что разность углов р и а представляет собой измене, ние прямого угла АГАВ, т. е. угловую деформацию у=р — сс. Подставив значения углов а и Р и выразив угловую деформацию по закону Гука, получим следующую зависимость; т й~» * ;- =бг —— дз ИЛИ йг=-- — — -- + бган. тдя 6 Здесь через т обозначено касательное напряжение в поперечном сечении по направлению касательной к контуру, Величина гсВ, равная удвоенной площади треугольника с основанием ~Ь и высотой г (рис.
1.6, г), представляет собой элемент так называемой сектор иальной площади газ = до. Используя обозначение (1,3) и интегрируя (1.2) по контуру в пределах от О до з, найдем величину осевого смещения точки 5 контура $ з ж~ — — — — +б ЙО = — —,,у т»Й+ бй~. Ыз 1 Я ~ 1 о о Функция ы (з) характеризует депланацию контура. Величина авназывается секториальной площадью и равна удвоенной площади сектора ОРЗ (рис. 1.6, в). Будем считать эту величину положитель- ной, если при обходе контура от точки О к точке 5 движение совер- шается но часовой стрелке (относительно полюса Р), Некоторая неопределенность величины смещения в, связанная с произвольностью выбора центра кручения Р и начала от- счета О, отражает возможность перемещении бруса как жесткого целого в продольном направлении и поворота его относительно поперечных осей.
Перемещение и отсчитывается от плоскости, перпендикулярной продольной оси, проходящей через точку Р (в деформированной системе) и заключающей в себе начало отсчета О. При изменении . положения точек Р и О положение этой плоскости изменяется. Следует заметить„что зависимости (1.2) и (1.4) справедливы для любого поперечного сечения, в том числе и для сплопшого. В по- . следнем случае под т следует понимать составляющую напряжс~ия по направлению касательной к выбранному контуру з, Геометрический фактор жесткости при кручении 4Рб 8 125 ./ = — --- 10364 = д см4. кР— ~ 1 1> Л„р Касательное напРЯжение (постоинное по контУРУ) т= "Р = 1600 ~фсмг, 1~к р Угол закручивания на единицу длины 0 = — = 12.
10- рад/см =— /Икр -б И„р 0,69 град/м. Рис. 1,9 Лля определения депланации сечения поместим полнх Р в центре сечения и выберем начало отсчета секториальной площади в точке О. Запишем координаты ряда точек и аначения секториальной площади ь: для точки О яо=0; Но=0; для точки А Н Бл= — — = 106=2,5 см; 25 о =2~, о, = 506г = -- см 1 8 я тачки 8 д, 50 =з +-- =1,>6=3,75 см; ю =(а +2~~,1~,н=1006г=- ~- см; для точки С'. з =з + - =206=5 см; в .=ю„+2~, ~р~ — — 1506' = -- смг.
С= Н Осевые смещения точек сечения вычислим по формуле 11.4); в точке О ~а=0; в точке Л т~д 1 1111кр (и = — --- -+ Ои = — — — = — 12,5 10 см; '6 А 1Щ 66г в точке д тзн — +во — 0; б в точке С ~~С = — — +бо~ =+ — — — = 125 10 см. с — ~; с= 160 ~6г = Эпюра осевых смещений приведена на рис. 1.9, в.
Осевые смещения„связанные с .деплаиацией сечения, играют существенную раль при стеснеппом кручении, когда депланация ' - торцов не может происходить свободно. В этом случае напряжения и деформации могут сильно отличаться от соответствующих величин при свободном кручении. Исследование стесненного кручения имеет особенно большое значение для открытых профилей. Для Замкнутых профилей этот вопрос менее существенен, так как напряжения, возникающие за счет стеснения депланации, пе великии при удалении от места стеснения депланации быстро затухают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
