Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Теория стесненного кручения замкнутых профилей изложена в работе ~211, В некоторых случаях депланация тонкостенных замкнутых профилей вообще не возникает, следовательно, не может быть и стесненного кручения. В частности, не дает депланации замкнутый профиль постоянной толщины, контур которого представляет собой многоугольник, описанный около круга. Действительно, для такого профиля ~1'1 кр т= — = сопй 2~6 д 5'г г= — „=- сопМ; М„рБ 6 = — ОЭ = Р'Я, ~фг6 Ф где Я вЂ” периметр, а я — координата произвольной точки, отсчиты знаемая вдоль контура.
Подставив эти величины в уравнение (1.4), найдем, что осевсм .'. Смещение в произвольной точке равно нулю. Также не дает деплапации прямоугольный замкнутый профиль, которого толщина стенки на коротких сторонах меньше, чем % 15 в . =0ы =47,2 ° О см. шдх бах Рис. 1,14 и~= ~ и!ы, (1.34) и, кроме того, ~1х соъ я = Рис. 1.15 дф БШ С6= дз ' со — 1(у с~х — х ~~1. (1.35) Сопоставив полученные значения со энячлшями для аналогичного замкнутого профиля (см. рис. 1.9), можно увидеть, что угол закр~'чивання для незамкнутого профиля получается приблизительно в 130 раэ больше, чем для замкнутого, а напряжение т „„больше в 20 раз. Для опрсдслсиня дспланации выберем положение полюса Р и начала отсчета О в одной и той жс точкс, как показано на рнс. 1.14, б.
Построим зпюру сскториаль- ной площади. На каждом участке зпюра будет линейной, так как расстояние г от полюса до касательной к контуру в пределах участка остается постоянным. Для участка ОЛ к = О и а =- О. О Для участка ОВ г-= - =106 Прн движении от Л к В радиус-вектор покры- 2 вает площадь ~~, треугольника РЛВ, равную БОо'.
Сскторнальная площадь равна удвоенно1 площади ~ ...т. е. в = 100о'. Аналогично, для участка ВС г = В = 106, в. = в„+ 21„рс = 2006. Эпюра и показана на рис. 1.14, б. Так как осевое смещение пропорционально секториальной площади, то зиюра осевого смещения подобна эпюре ш. Наибольшей величины смещение (по отношению к точке О) достигает в точке С: 101инр и,=он .= — = 0,2 си. — — ц~-. > При одинаковых значснийх крутящего момента величина наибольшего осевого смсщсиня в этОм случае нолучастси В 1ЬОО раз болыпс> чем и случае замкну того нрофил».
Ряспредслсннс осевых сменсеннй, показанное на зпюрс рис. 1.14, б, соответствует тому случаю, когда эа нсподвижную образующую принята образующая, проходящая чсрсз точку О. Иример 1.5. Опрсдслить дспланацию сече- Р,О Р,О ний, возникающую прн свободном кручении двутавра № 20 1рис, 1.15, а).
1 Иа рис. 1.15, б показан аскелетя двутавра; 1 отмечено положение полюса Р и начала от- 1 счета О и постросна зпюра сскториальной пло- 1 1 щади 0). Наибольшсй вслнчнпы оссвос смсщспне до- ф стнгасг и угловых точках Характер дсформации двутавра при чистом кручении показан на рис. 1.15, в. Отметим, что брусья, имеющие тавровос или угловое ссчснис (рнс. 1.16, а и 6), при шстом кручении не дают дспланацин. Действительно, сслн поместить полюс Р и начало отсчета О в узловой ~очке, то для всех тачск сечения получим секториальную площадь, равную нулю, а следовательно, будут равны нулю и осевые смещения ю. 5 3.
Секториалъные характеристики тонкостенных врофилей В ~ 1 было дано определение секториальрой площади о, как удвоепнои площади сектора, ограниченного частью контура 05 и двумя радиусами РО и Р5, проведенными из пол|оса Р (см. рис. 1.6). Каждой точке контура соответствует определенное зна- чение где я — координата точки 5, отсчитываемая от точки 0 вдоль контура. Зиик секториальной площади считается положительным, если при движении по контуру от О до 5 радиус-вектор вращается по часовой стрелке. Выберем систему координаг х, р с началом в точке Р и выразим в через декартовы координаты х и д.
Согласно чертежу (рис. 1.17) г= — К,Ч вЂ” М~=-дсоьсс — хкп1а Подставив эти величины под знак интеграла в уравнение (1.34), получим 1 И~ ~ 2 /й ~ , ~, Ы~ ~ ~ l „= — о1ЛС'-'+ 2 ~зу — + 2ЬС2 — ИС 6 Ь-х», 0,47 б,й" , , Ю ° ~ — у'~ц - — 1 Я ~) е 12 4 Е д1 Рис, 1,23 г) 6~Р ,1„= х~»1Г = 2 — ' — (Ьф+26,6) х', д 1 6. Не~щ~р~~~ричн Я УУ~ Я2~ 4/ „. 616+ 666~ ' При о1 = 6~ ЗО расслоить, т. е.
представить в виде суммы двух эпюр, как показано на рис. 1.21, а штрихоиыии лиииялш. Применяя правило Верещагина, найдем 3. Тавровый и угловой профили (см. рис. 1.16). Если расположить полюс на пересечении сторон профиля, то секториальиая плошадь для любой точки контура будет равна нулю. Б этом случае условия (1.41), (1.42), (1,43) выполняются при любых осях х и у.
Центр кручения таких профилей лежит в узловой точке и главная секториальиая площадь для всех точек контура равна нулю. Главный сскториальный момент инерции также равен нулю. л 4. Швеллер. Выбрав полюс Р, и начало отсчета О и определив положение центра тяжести С, строим энк~ры в1,, х и у (рис. 1,22, а, б и а). Г1ерсмножив эпюры по правилу Верещагина, получим ~ ш 1»~1х»11 МРо 5 = а уй'=- — ' "° 6)~ф Так как в данном случае оси х и у — главные и центральные, то для определения расстояний а и Ь используем формулы (1А4а) и (1.45а): ПолОЖение центра кр1 чения Р швеллера показано на рис. 1.22, ~с; там же приведена эгпо1га секториальной площади, построенная при полюс», совмещенном с центром кручения. 'Гак как эта эпю1и1 обрагиосцмметричиа относительно оси х, то ~ 01~Д1 =О И С=О.
) Следовательно, эта эпюра является эпюрой главной секториальной площади. Умножение эпюры н на саму себя по правилу Верещагина дает величциу У„: профиль (рис. 1.23, и). Координаты центра тяжести 4 ° 2+8 4 хс = 4+1(~+~1 — — 1,82 см; 1О. 5+4 1О у» = 4 1 1~1+ц — — 4уО9 см Рав полюс Р1 и начало отс'ы1а О и шокцец угл»1вой точке постро~~,~ (рис 1 23 и) д тс1кгкс эпю1)ы к и Д (рис 1 4~3 о ц д) изводная. Поскольку момент чистого кручения М,~ пропорционален 6, он также не должен иметь разрывов.
()тс1ода следует, что скач- ф) 1 КООбраЗНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ КрутящЕГО МОМЕНта ца иЕЛНЧццу У~ прОИС- ходит только за счет момента стесненного кручения ~И„1см. уравпения (1.54)1, поэтому на границе участков должна скачкообразно изменяться вторая производная функции 6 на величину Ж, Ю вЂ” — — а й~„. Чтобы це определять большого количества постоянных, примецщот метод начальных параметров.
Этот метод позволяет получить цостояцпые интегрирования, одинаковые для всех участков, т. е. всего две посгояццые С, ц С,, Последние целесообразно выразить через нвкоторые величины % уу в начальном сечении стержня, и а именно через относительный угол закручивания 6„, бимомент В, и крутящий момент М„р,. Так как две из этих трек велид 7 чин обычно бывают известны, задача определения постоянных а~ фактически сводится к решению Одного уравнения с одним ценза вестпым, составляемого ца Основании граничных условий в конечном сечении стержни. Согласно методу начальных параметров выражение функРис. 1,28 ции 6 записывается таким об- разом, чтобы для каждого следующего участка полностью повторилось выражение функции 6 предыдущего участка и добавлялись только новые слагаемые, учитывающие нагрузки, приложенные ца граиице участков. Эти слагаемые подбираются так, чтобы условия сопряжения участков удовлетворялись при Одних и тех же значениях ПОстояцных, что достигается добавлением к частному решепию некоторой части общего решения соответствующего однородного уравнения.
Поясним сказанное на примере стержня, изображенного ца рис. 1.28. Запишем функцию 6 для первого участка 1см. формулы (1.59), (1.6О)1 ~о 6~ — С1 й аг+ С., СЬаг+ —. Кр Функцию 6 для второго участка=представим в следующем виде: 01~ =6~+0и. Очевидно, ч го О ~1 должна быть выбрана так, чтобы ца втором участке удовлетворялось дифференциал ь~~ое ~ ра,ц„ц и ° щобы при переходе через границу участков (при г --: „,) „ф ц . я 6 и ее нерв ~ прои вод ая б ~„— непрерывны, а вторая производная изменялась скачком (~И11 велйчину 6У,.;р всем этим условиям удовлетворяет выражение ЧЦ Щ 6ц — —." — — ' СЬ ~а (г — а,)~. 6У,;р 6.)„р Цторое слагаемое этого выражения представляет собой цекотору~о ЧаСтЬ ОбщЕГО рЕшЕНця ОднородцОГО ураВНЕНИя; СЛЕДОВатЕЛьцО, добавление этого слагаемого влияет только ца величину постоянцых интегрирования.
В дашюм случае это слагаемое подобрано так, чтобы условия сопряжения участков выполнялись при одних и тех же постоянных С1 и С,, Точно так же можно рассмотреть условия сопряжения второго, третьего и последующих участков, В результате получим следую- щее общее «универсальное) выражение для всех участков стержня (сы. рис, 1.28): '1% А 9=С,Фаг+С СЬа~+ —.о + —:' ~1 — спа(г — а,)]+ 1 уч. 1 1 11 уч, 1 «Я +; ' ~! — СЬ а (г — а,) ~ -';-...
1 И1 уч. (1.61) Рассмотрим более подробно вопрос о граничных условиях, используемых для Определения постоянных С, и С,. Если торец стержня свободен, то на торце о = — О, следовательно, согласно уравнениям (1 51), (1,52), В = О и — „=О. ~10 дг Если торец стержня жестко заделан, то невозможна депланация, следовательно, и = — О и 0 =--= О (см. зависимость (1.47). Осевые смещения и относительный угол закручивании равны также нулю в сечении, равцоудалеццом от концов стержня при приложении к нему нагрузки, симметричной относительно середины стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
