Бояршинов С.В. - Основы строительной механики мащин (1071565), страница 5
Текст из файла (страница 5)
ва начало отсчета: Ю« '-) )' 20 ООО (6,8 ° 0,4 ° 7,3+ 7,3 ° 0,4 * 3,65) ~ ),л «)«,~ ~ /' 394 О 4 з ЭП1ор1,1 этих напри)ке«пш показаны па рис, 1,42. Пример 1.9. 12И. Вычислить иапряжеция в швеллере, изображенном ца рис. 1.43. Лацо: Р = 50 ООО Н; л = 1 и. Размеры поперечного слче«П1Я указацы на чертеже; там же приведе)га 9пкфа ГлавиоЙ сскториальной площади. Характеристики профили: ) =19,,) см"-; ./,=823 см4; .1, = 79 см4; 1л)= 3720 см««; Г С7 р 2ООМ Ю„,Н ° лк кр «)-10 = 0,02027 1/см. Из граничных условий найдем постоянные С, и С~; а=О, Е/„=В„; Е1„аС,=Во; С,= «:лсдоватсльно, х1 4~ 2 — — с!1 аг а1 сЬ,,- а1 зЬМО=61„-,6 =Воа в11 ах — с1з аг Ы з с11— гл = у а+- — Й = 46,7 дб Н ° см, см, 1 2 тде Π— вес на единицу длины стержня.
-топ Л4ОИ й Н сн Ю 6~и~ ЯЯД-21ОО 1050 ~~Д~~1530 РЯО -36000 8,=ШООВ.70' Рис. 7Л4 Эп|оры этих величин по длине швеллера, построенные при значениях параметров а = 0,02027 1/см, а1 == 2,027, приведены на рис. 1А4 Нормальные напряжения в поперечных сечениях швеллера вычислякп по формуле (1.68). Эпюры распределения напряжений по сечению вблизи торца швеллера приведены на рис.
1.45. Б скобках указаны значения напряжений, подсчитанные по формуле теории внсцснтрснного растяжспия без учета бимомента. Пример 1.1О. Тонкостенный стержень коробчатого незамкнутого профиля, жестко задсланцый одним концом (рис. 1,46, а), находится под действием сил тяжести. Опрсдслнзь напрнжсння в стержне и нлртнкальнос псрсмсщение центра профиля на свободном торце. Г1оложсинс цл пзра кручсцня Х' профиля показано на рнс. 1,46, а.
11а рнс, 1.46, 6 изображена эшора главной сскториальной площади. Х а1закзз рнс гики профил я: 200 ,/„..—. Ь~;м ~„.У„) — —. 1632 . 1Ф - Р см";,Г - = 20ОР ем""; — э $1) а=-4,04- 10 '~ 1~см; Ы=0,485;,/,-=-1,08. 10"М ем~. 11оскольку центр тяжсстн и центр кручения нс совпадают, под действием сил тяжести возникает равномерно распределенный крутящий момент интенсив- ности Если через у обозначить удсльиый вес материала, то Ч = 7Г =-. 712200 И/'с м. «-хема иагружсния стсржпи прнвсдсна на рис.
1,46, а. Нагрузка д создаст ~ЕВГЕНИИ ОКОЛО задеЛки н ниба~ощнй момен~ " -е М --, =--1,44 ° 1О"уМ 11. см. Глава 2 1п--- г 1=-Т вЂ” — ', 1п Р.2) Рис. 2.1 р!к. 2.2 где Г 1и— Г ~. ~-(1,— ~,,) Ь (2.1) ОО ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫЕ ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ $ 1.
Вывод основных зависимостей Задача о напряжениях и деформациях в толстостенном цилиндре при постоянных по длине внутреннем и наружном давлениях, известная под названием задачи Ляме, рассматривается В КУРСЕ „СОпРОтИВЛЕНИЕ МатЕРИаЛОВ". В ДаННОй ГЛаВЕ Эта ЗаДаЧа рассмотрена более подробно, причем основное внимание уделено вопросам, связанным с техническими приложениями задачи Лиме, Рассмотрен также случай неравномерного осесимметричного нагрева толстостен11ого цилиндра. Введем Обозначения: г, и г,, — внутреп1шй и наружный радиусы цилиндра; г — текущий Радиус; р, и р., — внутреннее и наружное да~л~~~я; 1! и 1, — температура на внутре!!ней и на наружной поверхности.
Тепловое состояние предполагается стационарным (температура во времени постоянна), В этом случае тепловой поток Я, проходящий через произвольный цилиндрический слой, не зависит ог радиуса г. Уравнение теплопроводности для бесконечно тонкого цилиндрического слоя можно записать в следующем виде; Х Л2лг1 юг Х вЂ” коэффициент тепло проводности; Дг и 2лг~ — тол1Ц1(нс! и пл01цадь ПОверхности слоя; ~Й вЂ” перепад температур в слое. Разделив переменные и обозначив, = — С„ получим диффеа дг ренциальное уравнение й =- С, —;, интегралом которого является выражение 1=С,1пг+С,.
Постоянные С, и С, определим по граничным условиям: при г=г, 1=1,; при г=г, ~=~,. Окон пател ьно С1едовател1но, прн стацно1П1рпом тепловом 1)ежпме 'гемператра ~ изменяется ПО тол1цн1!е стенки но лоп!Рифм!Р1ескому закону. - При исследовашш напряже1шого состоя1шя нцявнол!ермо нагретого цилиндра первое слагаемое в вь!Ражешш ~2.1) можно отбросить, так как Опо соответствует равномерному нагреву, не вызывающему 11апряжений. Поэтому в дальнейшем будем считать, что температура изменяется по радиусу согласно закону где Т =: — ~, — 1'.
Влияние Ос!=симметричного неравномернОГО нагрева на нап женное со! Тоя1н1е ци чиндра объясняетс51 тем !то внутренние бол е нагретые слои, стремясь расп1риитьс, давят на наружные ы и вых Растяжение. В свою Очередь, наружные слои сопроти— ляясь а т Растяжению, вызывают сжатие внутренних слоев. 1ВВ об ем 1Ц СЛУЧаЕ в пРОИЗВОЛЬНОИ ТОЧКЕ СТЕНКИ ЦИЛИНДРа ВОЗНИ- В Р Ое напря)кенпое состоян1!с, ПО граням элемента Объем кает т1)ехосное . ) деиствуют нормальные на пряже! ш я: о — радиаль1 а ЬНОЕ, РУ ое и о. — Осевое. Касательные напряжения ввиду ос63ой симмет и 4.3 равны нулю„ р и и постоянства давлении и температуры по длине уравнение равновесия выделенного элемента объема.
Составим а зяв сумму и о у у роекции всех сил на направление радиуса, получим И (а,г) — а, О. Р.з) ДРУГИЕ УраВнен1 Ч б - ния Рав11овесия удовлетворяются тождестве!то вестн то ы получить н у едоста101цне уравне1!Ня дл51 Определе!!!151 неиз Рис. 2 2 - иА рассмотрим деформации элемента обьема. ца ных напряжений начи показано „ол Оже ° не элсме!1Та до и после иагружения. Обоз м через и па иа Р д льное перемещение произвольной! точ .и При высоком внутреннем давллши расчет цилиндра на прочность ведут но предельной нагрузке, За предельное данлеин ° принимают такое виутрл иее давлс иис, прн котором пластическая деформация раснространяется иа всю толщину стен1и.
Величии» предельного внутреннего давления определяется методами теории пластичности. Так, например, для цилиндра с днищами, изготовленного из пластичного материала, не обладающего упрочнением, предельное внутреннее давление определяют по следующей формуле. 2а, г2 р„„= —.' 1п — -.
11 1,г-. ° (2.33) Задавшись некоторым коэффициентом запаса прочности и, можно по задашюму давлению р вычислить требуемое предельное давление рпр ~ рг1е затем по зависимости (2.33) найти 1п — ' и далее радиус г . Таким 2 образом, можно подобрать размеры трубы на любое внутреннее давление, Пример 2.1. Определить толщину стенки стального цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления. Дано г1 = — 2см; а, = 2,4 ° 10' Н/см'.
Расчет произвести для двух значений давления: р = 6000 Н/см'и р = 12 000 Н/см'. При р = 6000 Н~си' расчет выполним двумя мсгодамн. 1 1. По методу допускаемых напряжений. Примем коэффициент запаса по пределу текучести л, = 2. Тогда [а) = и $ = 1,2-10' Н~смз. По формулс (2.32) [а] = 2,?2, г1 [а~ — р $3 откуда г, = 2,72 г, = 5,44 см. 2. По предельной нагрузке, Коэфс1и1циснт запаса и по предельной нагрузке возьмем равным трем, тогда предельное давление р„р=лр=18 ООО Н/см-". Подставив значения р„и о, в формулу (2.33), получим 2,4. 104 ° 2 1~3 г, откуда 1и — =0„65; — =1,92; г,— 2г,=4 см.
г» г~ Сравнение результатов показывает, что расчет по методу допускаемых напряжении даст завышенное значение толщины сгснкн. Г1римснеинс '~того ',1стода в данном случае 11сцслссооора и!о. При р = 12 ООО 1Гсм" выполнить расчет цилиндра но миоду допускаемых напряжсннй нсвозмо кно. Расчет по предельной нагрузкс даст слсдующнс рсзультатьн прн н = 3 р„,=лр=3,6 ° 104 11/см'-'. По формуле (2.33) р„„1'3 3,6.10' 1'З = 1,3, г1 2ат 2 - 2,4 . 10' — ~ =3,67; г~ г =3,67 г1 — 7,4 см. Зависимости (2.32), (2.33) справедливы.
если материал цилиндра пластичный. Если же материал хрупкий, прочность цилиндра должна оцениваться по коэффициенту запаса, вычислешюму как отношение предела прочности материала к эквивалентному напряжению. Последнее определяется по главным напряжениям на основании соответствующей теории прочности (например, теории прочности Мора). В некоторых конструкциях толстостенные трубы работают в условиях, не допускающих возникновения остаточных деформаций (например, стволы огнестрельного оружия). Величину давления до которого цилиндр будет работать упруго, можно повысить различными способами, Один из способов, называемый автоскреплением состоит в том, что после изготовления цилиндр опрессовыва1от Высоким внутрен3!им давлением, вызывающим начальную пластическую деформацию.
При нагружении рабочим давлением такой цилиндр будет работать упруго до более высокого давления, чем неопрессованный цилиндр. Расчет автоскрепленных цилиндров рассматривается в курсе теории пластичности. Другой способ состоит в применении составных цилиндров, изготовленных из двух или трех труб, насаженных одна на другую с натягом. Расчет таких составных цилиндров изложен в ~ 3.
Второй частньй случай. На цилиндр действует только наружное давление (р, =- О и р, = р). По формулам (2.24), (2,25), (2.27) получим ст,,=-- — р,, -' ., 1 (2.34) В» (2.35) г;. — г-, О Р' (2.36) 2 1 Соответствующие эпюры напряжений приведены на рис. 2.4. Анализируя эпюры, легко установить, что наиболее напряженными точками также являются внутренние. При уменьшении диаметра внутреннего отверстия, т. е. при ~~ -+ О, окружное напряжение в наружных точках стремится - ~ величине — р, а во внутренних точках к — 2р. Сопоставим эти значения с соответствующими значениями для сплошнОго цилиндра, нагруженного наружным давлением. Б сплош- Ь'-'+ а'-' Р+ Я Ь' — а' с'-' — Ь2 или лГ (с"- — Ь"-) (Р— а-') 4Ьа (с2 — а2) (2.39а) к 2Ь( х !' У+а~ 1 'с'+Ь- '~,1 1-[т + Е 2 Ь2 +Р'~ ~' ~ (2.396) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
