Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 40
Текст из файла (страница 40)
тде сс — постоннная интегрирования. Соагноюение (17) является уравнением лучей в полярных координатах. Поэтому лля однопараметрического сеысйстна лучей, проходящих через задаин)го гочкУ Ро(г», 0„), пыссч » г 1 ге — а го — о' (18) г яп ( — а) г, мо 18 — я) !51 и! 4.2! идеальное отоаелжеяие г)арх поверхностей..Чоказателъство эюй теоремы можно найти и работах !27, 29!. Здесь вы подробно ряссмотрич только простой случай резкого отображения сферической пгзверхвости, представтяюшии наибольший практический питерсе. Исследуем преломление лучси па поверхносгн твердой однородной сферы 5, ~гаходящейся и однородной сред~. Пуп~а Π— точк ~, где расположен цеи.р сферы, г — ее радиус н и и и' — показатели преломления счкпяегсгвеяно мшсрпала сферы и окру:кающев ее среды. ЭЭалее пусть АΠ— луч, падагощнй иа сферу. С щщоагьлл глсдукяиил рассуждспиг) легко определить направление ирелоьиенно~ о, ~ уча ОВ Пусть 5„и 5г — сферы, центры которых находятся в О, а радиусы равны (21) Если Є— точка пересечения АО с 5„и Р,— то гка, в кагорой пересекаются пк и' лжи Рос 4 З Пролоилоиие аа сферической оолесхаос я.
Алианатяческио точки, ОРл и 5„то ОР, является преломленным лучом. Последнее следует из построения (рнс. 4 9), гз ьак (22) Кроме, того, С ЯОР, = < ООРо (25) Таким образом, треугольники ООР„и ОРД подобны, н, следовательно, щ2 ор„ (24) ажч, йб и где <р„— (ООР, н Ч,= (ОЭОР, — соответственно углы падения и препон чения. Величины углов фо н ф, удовлетворяют закону преломления, и иоэ~ому пряная Г!Р, представляет собой преломленный луч. Из построения видно, что все лучи, выходящие' из точки Р, па 5,, дают «виртуальное! от нггшгическое ггзображеипе и точке Рь расположеннои в месте пересечения радиуса ОРл со сферой 5, Следовательно, сфера 5, представляет гобой стигжати кское ггзображеяиг 5„п иаоборот.
Удобно выразить (24) в несколько иной форме. Если обозначгггь через О„и й, углы, которые сопряженные лучи образуют с линией РоРь т. с. бо= =~ ОР,О и О, (ОР1(1, то, поскольку рассмотренные выше треугольники подобны, О,= ф1 и О,=- вы следовательно, мой, л' — =- — = сопз1. зюно и Уравнсние (25) чв.тяегся частным случаем так називаемогс условия спидола, значение которого будет объяснено в 4 4.5, Согласно терминологии, принятой [гл. 4 гьометтичкскля ткогня оптических изовглженнй 132 в 4 4.5, тачни Р, и Р, называются алланатическиии точками сферической поверхности Я.
Касс будет показано в 4 б.б, при конструировании некоторых видов объективов микроскопов нспользчетсл существование апланатических точек преломлнющсй сфернческои поверхности. й 4.3. Проективное преобразование (колликсвпия) прн наличии аисиальнай симметрии Выше было показано, что идеальное отображение трехмерных объектов друг в друга можно агупсестьить лишь с помощью проектпнпосо преобразования, поскольку последнее и!»ессбрззуег линии в линии Свопства просктилпых преобразоиаплй важны даже в тек случаях, когда »еловая, ьсабхадимыг шя достижения идсальссаго отображения, выполнены пс полностью, поскачьку, как будет показано пазднсс, агабражснкс прслмета гпобои оптическан снстеыоп осуществляется, па крайнвл мерв в сжрмсм прибссиэеении, с помшпью преобр,саовання такого рода. 11оэтом), прежде чсы выводить законы построения пюбражений в реальных оптических снстсмах, полезло исследозач ь общие своиствн проектинных преобразований Хати такое прсдваритсльное рассмотрение.
носит чисто геометрический характер, удобно по вазлюжносгп сохранять асп ическую терминологию. 4.3.!. Общие формулы. Пусть (х, у, г) — координаты точки Р в пространсс не предмета и (х', у', г') — коорднначъс точки Р' в пространстве ичобрзженпл в одной в той же произвольно выбранной декартовои спгтслсе координат. Проективпое пржчбразавзнссе этих двух областей друг в друга осущессвляется с поьющью следующих соотношенви: х' =- Ес(Е» У' = ЕУЕ», г' =- Е»(Е» тле Е, = а,х га Ь,у+ с,г -;- с(, (1 = О, 1, 2, 3), (2) Две точки, координаты которых связаны соотноспением (1), называются сопряженной парой. Раарешая (1) относительно х, у, г, получим соотношения такого же тапа, а нменпо х -.= Е;(Е;, у = Е,'1Е;, г =- Е;!Е[ь (3) где Е; = а,'х' + Ь;у' + с,'г ' + с(', Из (!) следует, чго изобрз копие любой точки, лезкащей в плоскости Е,=О, находится на бесксэнечпагч и.
Аналогично нз (3) выл екает, по все точкл предмет, изображения кагорых лсэкач в плоскости 1'„-О, расположеньс па бескоссгчнскчи. Плоскость Е,=О называется фекально»1 плагкосслаю прастрансслви ссргс)мсссш, а плоскость Е„=Π— фоки.и пои плагссастаю праглсрансписа изображения ). Лучи. паралле,сьные в ссрастранстве предмета, пре»бра суются и лучи, пересекающиеся в нека»оров сачке, лежащей в фокальной плоскости Г,'= О. Лучи же, выходящие нз точки. расположенной з фокальной плоскости Е» — — О, преобразуются и пучок параллельных лучеи В пекоторил с.ч) чаях обе фокзльпые плоскости нзхочячся па бесконечности Г1ресчбрллсспанн»с так»по рода называются асусрссниымсс ьлп тглсикопи втлими !1рп телескопа »вских преобразованиях всегда Гс и О н Гс=~с О, так как конечным значением (х, у, г) должньс ссютнетсчвовать конечные значения (х', у', г').
Разумеется, это возможно лишь в том случае, если и,=- Ь;= а;=О и а„'= Ь;=- с,' О. ') Здесь термины сфакссль»сэя пласксеть» и а!агчмысыатачкз» янам 'ссекал»ка анан аммщ, чач прн рлааиатранни ьариклишс кангруэьпян (см и 3 2 31 я латкгмюи иски» лрснае лучей (си.
аьжа, Ь ч 6). в 4.3) пгозктнзяок пгковглзовлане пги зксвкльиой сиччетгии (53 Поскольку большинство оптических систем состоит из поверхностей вращении с общей осью (такпс системы обычно на»ь»вак»чся ценз»ра»ровонньскг»), особую роль з оптике играет жгучий акитльной сил»»нутрии. Тогда из симмшрии системы следует, что изображение любой точки Рв лежит в плоскости, проходягггей через эту точку и ось симметпнп; поэтому при изучении свойств соотзсгстпукшшх проскчивных»чрсобразовг»нпйлчож»о ограничиться рассмотрениеч точи<, лелхаи~»чх в такой лкрпбиоипльной плоскости. Пусть эта плоскость совпадает с плоскосгью уд а ось г нлпрзплепз вдоль оси симметрпя.
Тогда п>ч»ха (О, у, г) в пространстве предмета преобразуется в точку (О, р', гг) в пространстве иэображении, где р Ь»у Рв,к'ч-п,, учу+а,к+и, з'= ' закуса»-~.уа' У»у+галл Ло Из симметрии снсгемы вытекает, что т' не меняется при замене у па — у. Зто ноэможно только в том случае, если Ь,= Ь,= О. Далее ясно, что прп замене у на у координата у' меняется на — у', откуда следует, что с,= г(»= О. Следовательно, (4) принимает знд ь»у , аа» Ч- и, (5) »'а» ' лв' оыл-ла' Эти уравнения содержат пять постоянных, однако важны только их отношении. Тзкнв» обрюзг, проектплныг преоброъчеаы»т лри наличии аксиалькой сик.четрпи харак»пгрпзугоггюл чспп»»рь.кя ггггрп,ке»про.»»и.
Разрешая [5) относительно к и у, получим свив - »ла у' — у„» Ч- а, Д= (б) Ь» ва»' †' аа»' †Из соотношенйй (5) и (б) вытекает, по фокальные плоскости описываются Л Ркс. ПЮ. Корзксоввчые точка о пав»косач оптической скскмы. ка ыоа в кокто; 'и, 'и — глава», вво Ккоччвыа. о»о»чав»о. уравнениями Га==.с з+»(а =-О, г,==с т' — с,=О; следовательно, они пересекаютось под прямым углом в точках, координаты которых равны з=- — ба/с„т'.= со»с,. (т) Зги точки называются глаеиыни»)»окупали и обозна гены на рис.
4.10 через с и Р". Теперь кюкдое пространство (пространство предмета и пространство изображения) удобно отнести к своей системе координат, поместив их начала в главные фокусы, т. с. положив —;т уа(,=с,г, (8) Тогда выражение (5) принимает вид у, и' ° шгв —,и, ва д с»д гкомктгнчкскля тсагня опт нчаскик нзовгажкиий 154 [гл. 4 Обозначим Ьв / .ьвн» вЂ” г»Л св * /впв В результате уравнения для преобразований запишутся в простой форме, а именно !' Е (!0) Второс пз з»их уравнении, ЛЕ'=- //'„обычно иазывавот уропигнигм Нькипони. Посшянная / измывается Фопуснывв рпссгптвнвтвв и пространстве прголивпи, а /' — фокусным рив спючногм г просппронтгввг изобрижгнил.
Для фиксированных плоскостей предмета и изобра копия находим из (10) ( ') л" » у' / х' (11) Ю', а=»в.вв !' Х р Эга величина называется поперечным упгливсниглв. Далее получим следующее выражение,шя прт/оаьнонв уввгвовгнин, не завнснпвее о1 У н 1": Лх' х' /р хи йх х хв /р. Из (! 1) и (12) видно, что величины продольного и поперечного увеличения связаньв соов ношг.нисм ке' /','ну'1 (13) / »нр /г=т Поскольку величина поперечного увеличения зависит только от Я, но не от У, фигура, расположенная в плоскости, перпендикулярной к оси, преобразует- ся а фнг)ру, геоькприческн подобо!во исходтг ву ной.
Поперечное увеличение равно едишшс, если Я =- / и Я'= /'. Эти плоскости назвчвакптя глав- ныли нлисйиничнычи пвагкогпвплвт на рнс. 4.!О и и и 4.!1 онп обозначены буквамн 21 п Я'. Точки нх пересечения с осью (в н /р называются злаки ными или ж)иничными точками, Пусть Д вЂ” расстояние от оси, на котором луч, выходящий из точки (О, О, Л), пересекает главную плоскость в пространстве предмета.
Рис. в.!», в'гвйвк ~вгксв ьппе»е Оопряжснный луч пересекает друг) ю главную льи"г тьв"к язь"пл'к"ки" плоскоспь на таком же расстояяин Ь' /в от осн: углы у и у', которые составляют лучи с осью 7, задаются соотношениями (см. рис. 4.10) а а !Ву= —, !йу'= —. / — я' /' — х'' Отношспнг !кт / Е Л !кт /' — х' / ж (! !) называется !впвоплн угеливгниглв илп кон/вфицигнтом гходимости. Эта вели шна пе завися» ог /в н й' и равна е»ннннг» ест и У = — /' н У'= — /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
