Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 39
Текст из файла (страница 39)
тол> ко лля Однородной, но и для неоднородной апизотропной срсды. При доказательстве ее льв используем метод Кзратеодорк, однако агрлнн чимся расс'зотрепием абсолютных приборов с изотропнымн (во в общем случае неоднородными) пространствах>н прглмета п изображения *з). П) ст А„В„н А,В,— отрезки лх га в пространстве предмета и н пространстве изображения (рнс 4 5), нзходяшегося и поле абсолютного прибора ',и Любая другон лу >, липеинын элемент которого нс гп кланяется существенно от эле мента А,В„А,В, ни по абсолютной вш>инге>ге, ни по направлению, также лсжиг в поле этого прибора Если каж'и пг элемент криоой (которая, как предполагается, имеет непр>рынно паварачиваюшук>ся каг втельную) соышдает с элементом некоторого луча, полвостыо лежащегс> н гвшс >тру>бора )У, то говорят, что зта кривая расположена в поле ле твииивиильив Если заменить ее ломанаи с достаточным чнс«гом отрезкоп, то каждый г-е о>резак будет совпадать с элемеитозг луча, полносгьк> лежащим в палс прибора Оогл,к но прнипппх равного антинеского пути (см.
и. 3,3.3) все лучи, соеди. пяющне т«жку А, с ее изображением А„имеют одинаковую оптическую длину. *) Обзор згчх згелелоззвзз чожзо глюке гмйтз з статье (Щ *') В обычной о>пике ее зеоолелуютез неоезородзие кзтерззлн, однако з мзкрозолеоаой оз>ехе е тзкзиз к пхрехлзиз «лего еиекгг зело (еы „например, 1171) В элекгрознои о тзхл «зоке«,ве >, зрелозлеэзз (еи зрзловееие 2) гзкве вел ктез аузкциез хоордзнзг. Нзюз раееуждензе зоэтову зредетазлзют зе только чисто зкадекзчесзей за>врое. $ 4.2) адезльнос отовгэжьние Обозначим ее через У (А,) и покажем, что фаитически она не зависит от А,. Пусть В, и В,— другая пара сопряженных точек.
Тогда (см. рнс. 4,5) [А,В,] =.= [А„В,] 4-)/(В„) — У(А,). ()) Пусть ф— кривая, соединяюшая А„и В, и лежашая таигеициачыю и поле прибора, а С,— ее изображение. Загзениьч С„чаыанои А,Р ().В. и обозначим нзобрюкеиия точек Р, и ф, через Р, и 9, Променяя (!) к отрезку ломаной А,Р„ получим [Ачр ] = [Аеро] —' ,У(Ро) — У(Ао), и аналогично для других отрезков [1,(),] =[ Д,]-тра.) — У(Р ) [аВ,] = Р,В,]+У(В,) — У((),). Счедовательно, [А,Р,] + [Р,(),] Р [аВ,] = [А.Р.] + [ВЦ + [(),В.] ~- У(В.) — У(Ач). О чевидно, что этот результат можно обобгцить да случай ломаной с любью числом отрезков Ж. Переходя к пределу при У оо так, чтобы длина наиболь- шего отрезка стремилась к нулю, получилч соотношение (., =-(., -г У(Вч) — У (Ач).
(2) где п~дз,>, (.1=~ п,пз с, с, (5) Следовательно, (ч=~Р(х,р,е,— „, — )г(з, драч фч Лхч у '*""д," ш, ш,) с, (б) где Р[хмрозч..,— ) — л,(х, У з) ~/( -~ -~-( — ) -~-( «) — однородная функция первой степени по производным г(х,4йм ду,гУз„и г(б т(з,; более того, Р ие меняется при замене пхгбзм ... на — с(х,Ьпз„,.... Далее из (() имеем з( кэ, аналогичные соотношения получаются для г((дЯз, и дг,гг(зы Следовательно„ используя (7) и (4), получим для Р слсдующо.
выражение: ах, лз, Зг, у Г лх„ дж Кэ„ у (8) где бч — также однородная функпня первой степени нос(х,/йз„,..; более того, Ф пе меняется при замене ьх„'г(зи ... на — дх~Жм, т. е. Зхч Кнэ ЛЫ У l Кхч Кза Зж У 40* нвляются оптическими длинами крияых С, и С,. Покажем теперь, что )г (В,) = — р("(,). Точки па кривых С, и С, находятся ао взаимно однозначном соогвегствин, что можно выразить слсдуюшими соотношениями; Х,=[(лц( Ум з.), Уч=Я(хм Уэ, зо), зч=й(хо Уы а.). (4) Элемент г(з, кривой С, является фуньпией соотвегстаукядего элемента г(зм т.
е. (гл. 4 гроиетРичнскАЯ теОРия Оптических изаБРАженяй !48 Из (2), (6) и (8) имеем ("а — Ф) Азл = 1'(Ал) — Р(Вл)' с, (10) зто свидетельствует о том, что величина криволинейного интеграла в (1О) зависит только от положения крайних точек Ал, В„и не зависит от выбора кривой Сг!. Кривая Со однако, ие является совершенно произвольной, иосшлльку опа должни лежать тангенпияльио я поле прибора. Тем пе менее мы вправе чаключигь, что выражение (и„— Ф) г(зз есть полный диффереипиал от некоторой фуялпии '!', т. е.
дЧ' дг„дЧ' дрл, дЧ' дг„ л,— Ф= — -"1 дт, дз, ду„дз„' дг„дз„' Если заменить здесь производные с!деус(ч„... на — с(лагг(з„..., то правая часть изменит знак, а левая, согласно (9). не из!!спит, юо возможно только в том случае, сели и леван и правы! чисти ттога вырин сная рав гы нулю (Ч'=сап !), следователвно, Ф лз (! 1) Тогда пз соотношения (10) вытекает, что р(Ал) =- )г(Вл), и выражение (2) принимнег вид й,— —.
1, Следавнтгпина, дпя Любой кривой, имсюпщй изображение, незаниселго от того, лежит онд н иоле при- Ю л бора тангенштальио илн нет, справедливо соот- ношение лз!75,! = ) иле(5!. ь, (!2! Это и есть лыоремо Максвелла длл абаьтютного прибора. !Вл л) са чзс.
стрелке ' '! против чзс. стрелки =гВ В Еслз ввести обозначения !Асн !.=гз ! !лВ!! — С! !ВаА!1='-д !В!Аз)='д' то записанные вь.ше ьошпашсния принимают зид уз-1-д=д 4-ол. '! ~!=~с+д откуда следует, что Приведенное здесь лажжззтегшстио сарззегшиво лишь н том с,а ше, лаги» криевя является ыстыолуы Его маьш агшбши!ь!и зу ! и ! р !!зол!пап кр! в . зк!.! жлобам, лик!то была сдеззиа вами рж гг, т е заменить кривую много!таз! ником, стороны которого состоят из отрезков лучед, а ветел! устремить число этих сторон к беснанечнасти.
Из поремы Жбкспетла сразу кс вытекает несколько интсресных следствий. Рассмотрим иебалынай треугольник са сторонами г(лль, г(лл! и дь',", и пусгь дз',", дз!ю и т(з',ю — стороны треугольника, являющегося изобралкснисм исход- нага в абсолютном приборе. зг(атее, пусть л, н л,— показатели преломлении об!шстси, и которых распало кены выбранные треугольники. Гогласно !гареме й(аксвелла (13) Рис. 4.7. К зокзза!ш!лству Ленни теорелгы Максвелла для абсолютного прибора.
Лсин !!3! даг слсдугошсл монсе обпл», ва чрлзвычлоно прасюс а изяшпос пгюзтспьсгво орел!ы М*нс «ззз Пусть есе зу и а! кажгоб южкя предмете дсстиз о! изобрзлксния, в пусть (Аш А,! и (Вл, Вл) — две пиры сопрян сплыл та шк Сагггаспа пред!юлаженжа .шч А„Вл должен прш!тн !срез А, и В, Лу ! В„д„тоже дал!к!к ароити через лти точки ! тсловзтсяьио. кзгюши дьч наг:лел прсдсгавнять ззчк уж !о кривлю тогда и саогиегсгвпи с пр шеннон рлииага оптичсскаго пути получим !Рис 4 7) !АА! " по чзс. стрелке ' л '! против час.
стрелни =гл А 149 $ 4.2) илеАльиоР отаБРА>ксииг (14) где е — расстояние Ап фиьюиронаппой точки О, а пь и о — настоянные Так я среда называется «рыбыш глазов, и ге своисгва бьшп впервые исследованы Максвеллом **) ПО, 2!) В 2 3.2 было показано, что в сфсрически симметричной среде лучи представлякж сигай пласиис кривыс и лежат в плоскостях, прахе>дни!их череа начало координат, а уравнение таких лучей имеет вид (см. (3.2.11)) г> где с — постоянная. Подставляя сюда выражение для и (е) из (14) и полагая р=е!а, )Г=е,>алю (15) получим к(>- Р>)го 0- Р У Р'- К" 1г--Р-)> (16) *) Пик низ«рени «юклз» тачка Р» иреобргзусюя з такую точку Ро лежа>иую на линли, Астор»я сост»»«т Рь с фи»сиро»«иным началом коорляизт О, по ирои»зелени« ОР„ОР, ьст.>«тся посто«июш "*) .>!«ми ! >3! и Сте»А«2 122! Люз гшьрссмыс обобжеияя рзбо>ы гйзксьс ть Слое» С>ст.
тьер» соьсрммт > и >с обои»>«пист«соим >ь«>ызыьз«моь >иль> ту«о>рг«, «тори> плпь>»ия смоей ьссяьпрзьлеьнс.тм и«юл«терское прк»«ненмь «О«>.оьструироььиик ьятсьь с,>н>ичсгьоьюо Ам т ыонь т»««» лмзза, ьп> рзы мсслезпь«иигз Лтлеберго > 12З), иредстззля«т собаа и«- »А«орал«ум сферу > лошгьтс«ем пр>гомлеиия и (г)=- ) 'г — » (о»' г - !). ег«и поместить с« ь ш> оро(ную сзеху с пььььь>ст > "рее я««имя, рзьн»ь> !, то кгялый пздзюп!ик пупок зьр»ллегььыз лу ьм »обере>ся ь резкии фокус. См !24 — 261. и, следовательно, зти треугольники подобны, а отношения соответствующих сторон обратно пропорциональны величинам показателен преломления.
Позтоь>у уг.>ы ывк>зу любымн двуьш ърипымн в предмете не изменяются в его и>г>Г>раз!кении, т. с. такое отображение должно Г>ы>ь ми>)е>рянь>г>. Иг общей геарсчы Лиуянлля (см, ннпрппер, !19]) следует, что кон>рарыныч отображение»> трехмерной обласги в трехмерную область может быть только проек гипиое преобразоваш>е (ьоллнпеапия), иивсрсня '") илн их комбипапьш. Таким образом, ыы >оь.>шля гледуккиу>о теареыь, впервые сфармулировт.ную Карате>>дари. Оои»>ри>«ен>н, гоздисо>;иое обы>лютнь>л>, прибороы, яг >ягтся либо проектиенылс пропарили>ониеи, либо иноергиеа, либо их ьоябиничией Рассмотрим теперь вкратпе сль чай, когда отображение нс только стиг.
ь>язычно, но и идеально, т е любой объект преобразуется в объект, геометрически подобный исходноыу Ясно, гго гакое отображе ше должно быть проеьтивиыы преобразояаппеь>, посьолысу опо преобразует л>пши и липни !20) '1'о д > из (13) следус>, что увези»ение дз,'дз„дхя л«>бых днух отрешенном гиню>н>ех, леменпим равно отн>пани>о покизителей лр>еояиния л,>п,.
В час»юст>, если пь — л, - сапа(, то дз>)е!ь«1, таким образом, идеальное отобрилген,>е дгух од ° проди»>х обяое>леи ь идинакогыли по>сиги>лелями преложлгния друг г друга геееди >прикнопило г япы> елыгге, что иэобриэкание полного>то конгругнтт> прж)- нго>у 1:ли потаенным известным прибором, обеспечнвгюпгнм такое отобрзженяе, является плосьое >еркало (или >.оь>бяпаппя плоскнл зеркал).
Из зтвх обшил рассуждений след)ст, что дзя полу инна нетривиального отображения с>днародных областей с сьдннакавымп ооглыателяьш пр>лаылсшш друг в други нельзя требовать строгого стигматизма илн аолного подобия изображения объекту. ' 4.2.2. «Рыбий глаз» Максвелла. Пргкть>ь> п интересным примером абсолкп ного прибора ыо кно считать < репу, характерна) юшьюся паиазпзелем пре- ломления !гб гвомвтгичвсклв теогия Оптичвских изовехжвиий !Гл.
4 Легко показать, что лб р) 1Г у л о» вЂ” г, в [зг~згп 1 4 тогда (16) можно переписать в виде с ге — а» в)п(0 — я) = =У г . ог о'л, — 4с- (17) Как мы видим, при любом чначснпк парамстраа этоыч уравггепню удовлетворяют г — гы 0 — 0„ где г,. а»г'гю 0,=п-1-0,; (19) отсюда следует, что осе л)учи иэ произвольной точки Р, собираготся в точке Рь лежиик;и на г рлмои, г.оторва союггнягт Р, и О, Ро и Р, рггспггггг>меягг по разные стороны от О, и ггроиэведснгге ОР;ОР, и-'.
рвс 4 8 пуч в «р б гл ° Сге'юва'1'егг»го. ггрьгбий чаз» служт зе М»»свезла, прибором, в котором Отображение осуществляетя прсобразоваюгечг ггноерсии. Отметим, по (17) удои.гстворястся прп г а, 0 — я и г — — и, 0 = и -г -.с, т. е. каждый луч пересекает фикснрованнукг окружность г --. а в противопо- ложвых точках се дкамстра (рнс 4 81. Чтобы получить уравнение лучей в декартовых координатах, положим в (!7) х — — г соз 0 н р = г з(п 0; ~огда с рсозя — хз!пя= (х +б — ае), о)' о'о» вЂ” 4сг или (х+ Ь зш а)е+ (у — Ь соз я)е =..
а'+ Ь-', (20) где Ь = —,'1 аеа — 4С"'. Из соотноюения (20] видно, что каждый луч представляет собой окружность. 4.2.3. Стнгматяческае отображение поверхностей. Ло си поп ггы рассматривали галька идеальное, и ш резкое, пзображсннс трсх сорных областей. 11ьто показано, что если прострзпство предмета н пространство изобрлгкения однородны н обладают одннаковыгги показзтелямн прело. слепня, та ндеа,гьпое отображение должно быть только тривиальным, т. е зеркальным отобрюксп нем предчета Естественно, пгинпкасг вопрос, получается ли щгрнвиальное отобрав спис, если потреоовать, чтобы прибор обеспечива.г идеальное (нли по ьравпен гере ремгое) отобраягение лигпь ггекогорых поверхнослгеи. Зтнм вопросоы ганн»тлея ряд заторов !27 — 301, которые иащлп, что сели лространсома предмета и изооражевия аднг рггдны, тг врощителочгг силчлттрлчлол и о гтес»ол система в обгйе,н случае ") может обеспечить реете отображение не более чем '1 «В глщо г случ»1» вот»»лсоо лл» гого, чтооы нс»люч»ть не»огорые вырткхеняыо слу, ча», ксгх1»дсаль»о Ьгображается все прои»ранет»о орсдяеого (влорггыер, ор» отрав»н»» от »соевого гсрмг'г»1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
