Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Приближенное выражение для уююиой характеристика преломлявшей поверхности вращения. Пусть е = вя ( т' + ух) + с, (х' + у') х — . (30) где ся, с„...— пастоянныс, является уравнением прелом тя1ащсй поверхности вращепээя, отнесенным к декартовон системе координат, нишчо которой О совладает с осевой точкой (называемой полюсом) поверхности, а ось е направлена вдоль осн симметрии Если чере. г обаэнаююь рндч,г Кривизны поверхности у полкюа (считающийся положите ~ьпыхк ног ш и аерхпасть обращена выпх клостью к свету, распространнюшг,нсн вдоль положи- ,У„,В,) " Уйвймнх тельного направления оси е), то а ун"' ' 1/2г (31) ,к Для сферзчсш ай поверхности у е радиуса г пмеехчс, 1!8г'. В случае пронлюльпои поверхности вращения ° о нно написать рнс, 4 4 угноннл хнрннтернсгнхн врьхонлнюнхее иан рхнисгн нрнюоыя с„— -„—,, (1 -г Ь), (32) Т О,,О;О,,а„еа няянямтяя н я р где константа Ь (иногда называеМая коэффициентом деформиции) счухшт грЧбай перон откчонення форчы повсрхнастн ат сферической Уравнение (30), зыражснпас через г н Ь, принимает вид = — + а,, (1 — и) хя+уя (хя —,' ух)х (33) Пусть по обе стороны от поверхности вршпения среды оч~ ар шны и обладают показателями преломления п, н и, Отнесем угчопхю харахнгрнстнку к координатным системам, осн которых параллельны <хам системы с началом в точке О, а начала расположены в оссвых точках Оя(0, О, о„) н О,(0, О, о,) (и,(0, ия .
О, г~О на рис 44). Если Р— точка пересечеэшя падаюшшо лчча с преломлнюшей поверхностью, а ()„н О,— основания перпендш .ярон, оплденных из О, н О, на палаюший и пречоиленпый лу ~н, та, со ш но (26), )гловая характеристика т равна т= Яяр)+(РОг1=(хр„-ууя+(г — и )тя) —,'хр, +уох+ = и,) нй), (34) где (х, у, е) — координаты точки Р в системе координат нача.чом в О. а (р„д„, тя), (рь д„т,) — лучевые компоненты падающего и преломленного в точке Р лучей.
Координаты (х, у, г) можно исключить из (34) с помашыа закона прелом- ления, Закон преломлснив, согласно п, 3,2,2, эквивалентен утверждению, что 143 хигьктегистическне Функции гьмкльтоал -. и -о„! =Чо Ч> '< (Збг = ">о >и> ) Из этих уравнений следует, что х= — г " Р' +Лх, у= — д — оч' + Лу, т > — т> (37) где Лх и Лу вел>шипы третьего порядка по Р, Ч, х'г, )7>гг Г!наставляя (37) в (35), получим формулу для з, выраженную через лучевые компоненты: о о е=з(т т)о((ро Р>)+(Чо Ч>) )+ л т (Лх(ро РЭ+ +Лу(Ч Ч ))+ 8 1 — т ) ((Р' Р')+(Ч Ч )7,+ ° . (38) Г(ля нахождения разло>кения Т с точнастьк> да членов четвертого порядка включительно нет необходимости вычислять величины Лх и Лу, так как после подстановкя (37) и (38) в (34) члсны, содержащие Лх и Лч, оказ>на>лгл>ся более высокого, чем четвертый, порядка малости, и поэтому нмп можно пренебречь.
В результате (34) 'принимает вид Т (Р„у„т;, Р„Чм т>) = — т,п,+т,п,+ +'>(>л д> ) ((Ро Р>) +(Ч~ Ч>) ) 8 (л> т Р ЬР Р>) +(Чо Ч>) ] ' (39) (ли то) Выражение (39] является разложением угловой характеристики до членов четвертага порядка нключнтельно, прпчео эта характеристика рассматривается как функция всех шести лучевых компонент. Две компопенть можно исключить с помощью равенства (6).
Из (5) найдем — (Р +Чо),(Р тЧ ) + (40). Зл> ал", и, следовательно, >л> — то и,— ио [ Зло(л,— ло)(Р" +Чо)+ Зл („, д„>(Р*+Чо) ! Подставляя эта в (39), получим 7 (Ро Ч; Р> Ч>) — >'>и — г>опо-~-. т л > ((Ро — Р>)" +(Чо — Ч>) ) -'; а >т '>о) +, (Ро ., Чо) —.— (Р> 1-Ч>)— Хло д> ло) ло (41) (42) вектор 8)(р,— Єׄ— Ч„т„— т,) нормален к преломлиющей поверхности в точке Р.
Следовательно, если (ЗЗ) записать в виде Р(х, у, а)— = а + и (1л й)-'; ... =О, хо+у> (хо+ко>> (35) геОнетРическья теОРин Оптических ИЗОЕРАжений .(еж 4 144 Р*+ ув= а' Р* с)-41 = ел и Роро + Чог(1 =в'. (43) Можно поквявть в Окове общем вчдс, что углонвя хврвкгсрнсонкв любой среды, врвщвгсхыю снчмсгрнчкой огноснюныоо осн г, кнвнснг ог четырех псрочвнных, входящнх талька в орох коыбнпвпняь (42). Дхя доквчвгвхьснов этого аспоныувм реоухьгвг, полученный ниже, н 4 3 1.
сосавсно ко1орому любая 41111кпн» Р(хо, уо; хы у,), нннарнангная относнггльно вращв~кн осю1 вокруг нвчваа коордааат в нноскостн.ху, зависят ныьхо ог всанчнн трех скалярных нпщывсдсннй го=хо 1 Уь го'го=аьхо+У~У1 о ° го=4туь двух векторов го(хо уо) н г,(х,. у,). Ечнгоя го н г, просккнямн векторов распространенна Ео (Ро, гго, гко) н 21(о1 41, гнг) нв нхоскосгн.гх. кохучнм 1Рсбгсмык Рсвухьгог. Подставляя (43) в (49) ьи выделяя члены одного порядка, пол учим оконча- тельно т(рю д,; Ры У,)=т +т +т +... где т' =п,а,— п,ао \ ооо Ткв=г(но+Япо бтво, Тн' = — Жао —, 8оо чь тв'+ би'ел+ Ранов'+ Убгнв' (44) Г г сч 8= — ь! — +— 2 (аг — ло но г я — н 1+Ь 11 н, 4(л — но)о '(2(н,— н,) п,~ Зно ' — (1,' Ь) г 2 (РП поР г Г 1+Ь 1 !) '=- — ~ — + — -~ 4(н,— ло)о (нг — ло ~в нь) ' 2 (л,— н,)' (йо — ло й11 (43) 4 1.б.
Приближенное выражение хлн угловой харантернстнки отражающей поверхности вращения. Разложение угловой характеристики отражающей поверхности вращения до членов четвертого порядка включительно можно провести аналогичным способом. Однако нет необходимости повторять гюлностью все вычислении. Если использонать те же обозначения, что и выше (ср. рис. 4,4 и 4.5), то все уравнения из и. 4.1.4 до соотношения (39) включительно остаются прежними; следовательно, для огпражвощсй поверхности арап(снигг (39) является также угловой харакопгрнстикай, расом тринасмай хах функция всех шеста лучевых компонент.
Однако Ори исключении то и т, из (39) с помощью двух соотношений, связывающих лучевые компоненты, дпя т (как функции четырех лученыл компонснт) в случаях прсломляющсй и отражающей нонсрлностей получаются два различных выражении, Если обозначить показатель преломления Как мы видим. четыре переменные ры рю р, и аг входят в зто выражение только в комбинациях а 4а) нлвлльнок отоврлжгнпг х Т'"' = — л (а„. ~ - а,), Тнр = А.'ив + Узво'+ и'пя, (47) Тп'=Ми'+а'о'+у'ни+3'и-о'+я'ихсгл+К'сопл, ) где .4' -,-' ~ —,' +а,~, г ~ г «+а') Ф!' =— 2в ' 1+э '1 аа а 15л~ Л ( Врл , (1.„)," Яа-' И-1 Ь 15ял ( 2 (48) 4 4.2.
Идеальное отобраакенне Рассмотрим распространение света от точечного источника, расположенисно н точке Р„, в среде с показателем прело аления и (х, у, г) Иг Р„ выходит беско1пагное число лучеп, ио, вообще говоря, !срез любую другую точку среды проходит калечное пх число Однако в ве! оторьгс частных случаях улгегся найти тгкио точку Р„чсрсз катар) ю тоже проходит бесконсчнос количество лу рей Эгя точка Р, называется слригватлчгагхил! (или резкил) изображеипсм Р,. 10 и Ьарв.
Э Вальг среды, в которой распространяются лучи, через а, то вместо (40] найдем 1 х 1 (46) Для второго из этих соотноще- «ф у нии выбран отрвнательный корень оьо — р«л- (рт О ), поскольку отражениый луч попадает обратно в зу область, па ко!опон он при птиг (гк О), пс!этому у (глбл !!У)г р направляющии косин!с отраженного луча относительно положительного напргвчения г, а следовательно, н т отрипгрельны Погьолька (10) переходит в (461 при замене л„— и, и, можно з !- ь почит!а чтс угловая сираитеригтика Рва 4 5 Углав в хлрлвтлрватвкл ахра.
трразксио!Чесг лавгрхивгоги грасс(гяр! р, мматав павархааггв:р.а!савв РтоиатРиваЕЛСаЯ ЬиК фУЯК1)ия ЧЕ«ЛЫРгХ т' О, Оа О Оа т а, «а аа ла лучгоь«х аолтокгнт ра. уа, р, и у„погучается из угловой хараквиригтики врелпнлчюи(еи аооерхиости орищгклч, если полосни««о, и,= — а,— л Гл1сдоватсльно, лля слзчля огрглсешщ имеем !4Е геаметРическля тгария Оптических и аоврлженнй (гл 4 Идеальны>) оптический прибор дает для каждой точка Р„трехмерной области. назынасмои пространством предмета, стигчатичссьое н юбрлже,п;е Р, Совокупность гошл н«абр 'женин опрсдехят вргнв>линовав иж>брожения Ооогвстств юшнс точки в шнх двхх областях пазывшотся соирямвниыжи В общем случ г Рг > ХС УЧН, ВыхадяпЩЕ в.
Р, доьтишпт пространствг гшопрзження, например, некоторые лучи задери.ется 'гнафрагчон прибора 1овпрят, что лучи, еасггггаюпгие пространства изобрел сная, велев>П В Пояс прибора Если Р, описыьж.г в пространстве >грелмета кРниую С„то Р, описывает сопр»- жанн)ю кривую г, Обе крнвыс не обязатехьно геозетрнчсскн пг>зойыы,ц>)> другу Если ю,моия кривая О, в прострзншьг пргдеета геометрически падоб>,з своему изображению, тг> говорят, что егп области идгп >ыео отобрал,ают др>г друга гак>го же образом могкно опредечить ндеальнос отображение идля поверхностен Оптические приборы, чающяе ндеальныс изображении в указанноч смысле, предстлвляют значите >ьный интерес, па«том> мы сформулвруем некоторые об пуне георепы, опвк чщнег.я ь идеальному, алн па крайпсй маре резкому, отображег> гю трех>>срных предчетов Б п 4 О 3 будут кратка нз.гожены некогоры« результаты исследования рсзкого отображения двумерных предметов (поверхностей) 4.2.!. Общие теоремы.
Оптическая система ух, дающая стигматическое изобр же пп трехмерного предмета, часто назьшасггя ибсолютнил прибором Будет гоказвна, что е ибгогютиом приборо впп>ит'гки. длина «гобои врившг, лвжиири в >гргютрг>нвгггггг иъюрвжгиия, Рввиг> «шпи'гт,шг г>гине ви>зев изобрл>нс вия Впервые этл тсопемг бы >а сйюрмхлировапа в К453 г Млг,сввт,гом )9, )01 для гастпого случая, когда и пространство предмета, и прпстранс"гво изображения однородьы Позднее Брунс 1П1, Клеил 15, !21 (см таьл е бгг 1131) н Лкбман 1!41 дали более д> Зз ---. строгое докззвтельлгво ') р" ",— - дг Как было потом показано 4) Кара еодорн 1161, зта теорем,> Оказывается вправе,>лизой не Рзе з б Абео,оотзый озгечесекй прибор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
