Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 33
Текст из файла (страница 33)
як (36) ),й5, = ),й5ы где !> н У,— интенсивности на 35, н й5„со<>тветственно. Следовательно, вегичина ! й5 остается лостот<ной адель трубки лучей. Это соотношение выражает закон итпгнсиэноста а гго>нгтрт г' ° Аг ческой атиикг Поз ке будет показано, что в лх ухх однород>юв среде световые лучи А имеют вид прямых линий. Закон интенсивности в этом случае мож- а' . . Но прсдсгннн>ь в носко.>ько иной А форме. Предположим сначала, что | гг й5„ а следовательно, н абе огра- У к ничсны отрезками линий кривизны рлг=йг4е>е( (рнс.
3 3). если >х, и А»' — главные Рйг4йг =-Л;ег РалиУсы кРивизны отРезков А,В, и „фто ф 31! 123 НРиэзижение Очень ЕОРО«кггх длин но1н — гр' У+ дгаг) У йтаб — „= О. з с Это можно переписать следующим образом: грз сух (-нгаб с9х ихгаб!п — „=О.
с Введем теперь оператор (37) д — =йгас) У йгаб, ах (38) где т — параметр, характеризующий положение вдоль луча. Тогда (37) примет вид а с — 1п — „= — >7г,у, дз и после интегрирования находим у = лехр х - — ~ (>лет'г(т~. Однако из (38), (15) и (25) следует, что г(т = —,-" —, = — г(есух =- — г(з, НЕР ! (Нелл,У'>г лг л (39) и мы получим окончательное выражение для отношения интенсивностей в двух произвольных точках луча в виде егз (40) Сх л,,) гл ' ~ л, ) л Уг здесь интегрирование пронодится вдоль луча "). 3.1.3. Распространение векторных амплнтул.
Мы видели, что в случае достаточно коротких влип волн распространение энергии можно описать с помосцью простой гидродинамической модели, полностью хдракзеризующсися вещественной скалярной функиией уг, которая служит решением уравнения эйкоиала (15> По трэдиини считается, что в гсометричсской оптике рассматри. ваюся именно такая приближсннан картина распространения энергии, в кото. рой попользовались понязяя луча и нолиивыл фронгов. Другими словами, поляризлция света не рассматривалась Это, без сомнения, объясниг"ген тем, что простые заковы геометрической оптики, относящиеся к лучам и волновым фронтам, были нзвестны из экспсркмснтов задолго до появления электромагнитной тсорнн свг га Однако можно, н с нашей точки зрения вполне естественно, расширить рамки геометра сеской оптики, включив в иее нскоторыс геометрическиее законы, связанные с распространением векторных амплит)д е и )х, Эти законы легко получить нз волновых уравнении (!6) н (!7).
Поскольку функция ~У удовлетворяет уравнению эиконала, К = О, и мы видим, что ирн достаточно бо.сьшнх >г„(мачых )м) в уравнениях (16) и (!7) остаются сшшь члены, содержащие !. Следоватсльсю, в рассматрнвасмом приближении векторные амплитуды н эйкоиал связаны мс кду собой сгютноисе- *) Клево !НО! Лакеева, что атношенне ннтенснвнсстез 140) можно вырвзнть через ннтсгрсл, солсржзынн ггювныс рвдвусы крнвнгны соотвстстсувлггвх волновых Фсонтав Формула кленнз ннннстсв сю,.ыснаым ылзощснлсн соогнаыеннв (34) ллн неодггаронной среды.
Ом. также 117!. Возвращаясь к общему случюо произвольного пучка лучей (искривленных или прямых), мыможем, воспользовавшисьфункцней дх, записать в явном виде соотношения для изменении интенсивности вдоль ка.кдого луча. Подставляя з из (22) в (29) и используя тождества бгч ич = и бс««+ч.йгвб и, бгч йгаг> — Рг, получим (и 3 ОснОВН геаметвнчсской Оптики пнями ) = О. Если снова воспользоваться оператором дгдт, определенным (38), то уравнения ~ =- О примут внд дс-' ! (»рэ У вЂ” пРР) е-1-(е пгад )пи) пгад У=О, (41) дг 2 ), дт — + — г дэсу — — ) )г+(Ь нгад 1пл) нгад9'=О.
ди ! (, дьлв) Это и ссгь искомые урпененнт переноса, описывающие изменения е и )» вдоль каждого луча Чтобы лучше понять нх физический смысл, необходимо отдельно рассмотреть изменения этих векторов по вели шве и направлению. Умпожнм (41) сьалярно на е" н к полученному уравнению прибавим комплексно сопрягксппос.
Это дает д— ,(е е*)+( (г' У вЂ” д" ") е е*=-О. (43) Учитывая тождество д!» и» = ид)»»+» пгадп, разность (ртйс — д (1нр)гдт) можно записать следугощим образом (гэсу — — 'г'=- (гэгу — игадэу.игад!пр=рдгу ( — нгадсу). (44) дт (р интегрируя (43) вдоль луче, получим для отношения величин е е* в любых двух точках луча соотношение )г »э —,*= ехр — ) р дг» ( — нгадУ) дт (= (сс),'- ( 3 гу'» =схр( — ) )I — д»» ~ — ягад ьу) дз). (45) г (р Эмг соотношсвяс можно прсесгвввть в в формв яоторвя палучвстся, сслв (43) эвпнслть в виде Г ~" ( — '")1=-" в яятсгряроввть вдоль лу м Фэетвксскн соашошспвс (4ьв) являстся лвшь ввай формой выра (42) жспвя (40) лля язмевсввя ввтсясвввасгя в слал»от яз нега, сс.»н вспользовзть вмрвжсявс 2с сг, ! — — См,>=- — (с в*) л ' Впп в формулу Максвелла ер=пэ Аналог!!пимы образом получим —:-- '-) -:-"(-™м) "~ !Нь),,) У р (46) Рассмотрим теперь изменение комплексных единичных векторов с ь уе с* )гй ь' вдоль каждого луча Подстановка в (41) дает дп ) )дппс с*) дгп!»! дт 2 ( дт дт — + — ( — + рэзу — — ( н+(и нгад!ил) ягад ау =О.
Согласно (43) выражение в квадратных скобках равно нулю„н мы имеем — — — ), 1У, дт" ' дз (48) 125 % 311 ИРиелижениг Очень кОРОтких длин ВОлн и аналогично ей бе „вЂ” ==-и — „= — (у угад !пи) йгаб Об. (49» Эгя соотнопбення и представляют законы изменения и и ч вдоль луча *). В частности, для однородной среды (и = сопз1) (45) и (49) сводятся к выражеяиям ОИЯЬ=-дт,ьдб = О, т. е. Ееюпоры и и ч е эпюл случае остаюпия пастояилегыи вдоль каждого луча, Наконец, отмстям, что для гармонической но времени однородной плоской ЕОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ С(беде У=- пь г, а е, 5, е и и постоянны; следовательно, в уравнении (15) К вЂ” 1..= М вЂ” О.
Поэтому такая волна (еезависпчо от ее частотьб) строго подчиняется законам гщшетречесаой оптики. 3.1.4. Обобщения геометрической оптики и пределы ее применимости. Выводы предыдуиьих рагдебюз бпносилбзсь к строго монохроматичсскому полю. Такое поле, которое можно рассматривать как фурье-компоненту произвольного поля, создает гармонический осциллятор или набор подобных осцилляторов с одинаковой частотой. В оптике обычно нмеьот дело с источником, излучающим свет в узком, но конечном диапазоне частот. Такой источник малою рассматривать как ИЕГюр, большого числа гарыопическнх осцилляторов, частоты которых псзпздают в указанный диапазон. Пля вычисления интенсивности света в какой-то точке Р необходимо просуьемяровать все поля, созданные каждым осциллятороьб (ЭЛЕ- ментом источника), т.
е. Е=-~Е„, Н ==5',Нь (50) тобда интенсивность определяется (в вещественнолб представлении) соотношениелб 1(Р)=(<5>1=4п(<ЕХН>(:= 4 ~ э <Е, хН > (=- =--4(~ <е.хн.>+ ~ <е„хн.> ~. (5П 6 «ю б Во многих оптнчесиих задачах можно допустить, что вторая сумма в (5!) равна нулю (в этих случаях говорят, что поля пелогерепгллеб)1 тогда 1(Р)= — ~~'<Е„ХНЛ>~=~~<ИЛ>~, (52) где 5э — вектор Пойитинга, соответствующий п.му элементу нсточникз. Сейчас мы еще ие в состоянии выяснить условия, при которьж оправдано пренебрежение вторым членом и формуле (51), однако ыы это сделаем позже при рассмотрении частичной когерентиости (сы гл !О). Пусть 53 — небольшая часть волиовогбз фронта, соответствующего какомуто определеппомь элеыебпу источника.
ь1ерез 55 проходят трубки лучей, исхо. дящих от каждого элемента источника, центральные лучи этих трубок заполняют конус с тслссныы углом 6Н (рнс. 3.4). Если уюзл раствора конусадостаточ- *) Вырбэбеее ~ (48) и (49) ебпересеа ебперлретеруются е иееееледоееа геометрии. Если рассмотреть сееэеетеьез ююее Левее, эльзе прегтрэесгее, е еетерем элемент ддиеы дается еи биелбеьееы Й =лев=я )Сллб.) Ерб+Ееб те геометрлческле световые луче е этом престречетее саееэдэют е гееделеческлмн лниелме, в сеетееюеиел !48) е !49), еэе "ложно лееээыть, сеедеюльетьуют е тем, бте эеьтюрьб е е э леремеюбюгсе шель беждоб е .туча лареблельие (В смысле леев-ь1иеша) самим себе (см. (185 1171, стр бзб-!88 е 1911). [гл 3 основы геоматгичаской оптики 126 ио мал, то можно пренебречь зависимостью бз от направления и записать (52) в виде 1(Р) =~) <8„>) ~)„.
(58) Теперь положнм, что число элементов (осцилляторов) настолько велико, что их распределение без существенной ошибки можно считать пепрерывным, Вклад от каждого элемента бесконечно мал, однако суммарный эффект конечен. В этом случае сумма (интеграл) пропорциональна 60, т. е. 1(Р) =- В6О, Вр7лргрдгг Рас. Э.4.
К выводу закова антезсзззостз з геочетрзческаз оптике дзя пекогзреитиога источ- ника коне щыь Размеров. и полньй (усредпеппый по г .е,спи) поток энергии 6Р, проходящий через элемент 62 в единицу времени, рдосп 6Р =Вй[) 65. (54) Последняя формула играет важную роль в фогометрии и будет использована позже. Рассмотрим теперь кратко пределы применимости геометрической оптики. Уравнение эйкопала бьшо получено в предположенпи, что членами, стоящими в правых частях соотношений (11) и (12), можно пренебречь. Если допустить что безразмерные ветичнны з, р н [йгаб.,7[ порядка единипы, то, как мы видим, пренебрежение указанными выше членами оправдано, когда изменения е н [з нз расстояниях, сравнимых с длииои волны, малы по сравнению с самими величинами е и [г.
Это уи;овне нарушзегся, например, на границах тени, так как там интенсивность (а сзгедоеатетьно, е и Ь) резко меняется. Нельзя также ожидать, что геометрическая оптика даст правилыюе описание полей вблизи точек, где интенсивность имеет резкий максимум (например, в фокусе, см. 5 88). Уравнения переноса (41) и (42) для комплексных векторных амплитуд е и [т были выведены в предположении, что функция У удовлетворяет уравнению эйконала, а члены )ы[ М(е, з, и[ и Х[М ([з, Р, е) 1 малы по сРавнению с 11-(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
