Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 34
Текст из файла (страница 34)
й', и, р) [ и 11.(Ь, ог, и, з) [ соответственно. Этп предположения накладывают некоторые дополнительные ограничения не только на первые, но и на вторые производные от е и йь Соответствующие условия довольно громоздки, и мы их рассматривать не будем. Можно, конечно, получить более точное приближение, оставляя в разложениях для полей некоторые члены более высоких порядков *).
Однако практическая ценность такой процедуры для репи;ния задач инструмептальпои оптики весьма сомнительна, поскольку чем ближе мы подхгщим к особым областям, тем больше членов в разложениях надо оставлять, а в точкат, представляющих наиболыпий интерес (в фокусе или на каустической поверхности), ~) Кзлззр 123] прзщюложил, что вклад ст членов змсщего зарядка можно звучать с помзюь~с махезз являющейся обобщсззсм абычззй гсаь1зтрз'мекай зптззз и этой теорзк ззо. дзтс» понятие дифразмрщаммзю луни, псдчаззющзгосг абобщьнизму зрззпззу Ферма Кзщ.
ЛОму такому лучу соответствует псле, и предпззагазтсз, чта последнее чоачяаю таз тем жз ебщмм заказам рзсзрщтрззезня, что я паля з г омзтрачгскза сазаке. Ьызи рассмотрены некзтзрыз приложения атой теории (24, 251 (см также [171), ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛУЧЕЙ 5 3.2! 127 3 3.2. Обсцне свойства лучей 3.2.1. Дифференциальное уравнение яля световых лучей.
Световые лучи бьслн определены как траектории, ортогональные к геометрическим волновым фронтаьс ес/'(х, у, г) = сосы1, и мы показали, что если г есть радиус-вектор произвольной точки луча, а а н дднна луча, отссвтыааемая от,этой точки на нем, то вг л „-== йгабУ. (!) Уравнение (1) описывает поведение лучей с помощью функции ет, однако из него легко получить дифференциальное уравнение, характеризующее лучи непосредствешю показателем преломления и (г). Диф)мренссируя (!) по з, получим „- (и †„ ) = — (йгад сР).
†' Йгас$(йгас$Я вЂ” . 1, 1 1 2л =и йгаб У.йгад (йгад м) = —,„йгаб (агад Яе = — Пгадл'. 2л При этих преобразованиях использовано соотношение (3.1.!5), Таким об. разом вг вгс — (а — ~ =дгади. Ш( вв) (2) Последнее соотношение представляет собой векторную форму дифференциальных уравнений дсш световых лучей. В частности, в Однородной вреде л =сопз! и (2) принимает вкд в)г —,—.= О, вв' Откуда г= мс+Ь; (3) здесь а и Ь вЂ” постояяные векторы, Соотношение (3) это векторное уравнение прялсой линии, направленной по а н проходящей через точку г = Ь. Следовательно, в однородной среде евеснсвьсе лучи яеиясеснсе нрсь»ыисч винияии, В качестве примера, представляющего известный интерес, расмотрнм поведение лучей в среде, обладающей пентралыюй симметрией, т. е, в среде, показатель преломления которой занисит только от расстояния г до фнкснроВас!ИОЙ тОчки О: л.= п (г).
(4) Подобные условия приближенно выполняются в земной атмосфере, еслц учитывается кривизна Земля. Рассмотрим изменение вектора гх [п(г)з! вдоль луча. Имеем (г)слз) снэ ( ты в (лз) В дг в (5) эти разложения, как правило, расходятся. Для изучения распределения интенсивности в таких областях более эффективны методы, которые будут рассмоз репы в главах, посвященных днфракцин. Наконец подчеркнем, что простота геометрической оптики связана в Основном с тем, что обычно в каждой точке поле представляет собой плоскую волну.
В оптическом диапазоне частот области, в которых простая геометрическая модель оказывается несправедливой, встрсчмогся весьма редко; фактически в большинстве оптических задач эта модель дает по крайней мере хорошее нулевое приближение для более тонкого исследования. (гл, 3 ОснОВы геоматеической Оптики 128 Поскольку г(ггал =- з, первый член в правой части (5) обращается в нуль. Второй член можно на основаннн (2) переписать в виде г х игас) п.
Далее из (4) получим гхлз=сопз(. (6) Отсюда следует, что все лучи являются плоскими кривыми; лежащими в плоскости, проходящей через начало координат, и вдоль каледого луча выпачггяется условие пг з!п гр сопз1, (7) где гр — угол между радиусом-вектором г и касательной в точке Р (рис. 3.5). Так как величина г е!и ф равна расстоянию от начала координат до касатечьной, выражение (7) можно записать в виде а Ряс.
3 5. К выводу формулы Бугере яв= еояе! для лучей, распроетреяяюыяхся о а)мрнчесягг сямметричеоа среде. пс( =- сон з!. (8) Это соотношение иногда называют грорлгулой Бугера; она является аналогом известной формулы динамики, выражакчшей закон сохранения углового момента частицы, двигкущейся под действием центральной силы, Чтобы получить в явном виде уравнения световых лучей в сферичсски симметричной среде, вспомним нз элементарной геометрии, что если (г, 0)— полярные координаты, то угол гр между раднусом-вскторочг точки Р иа плосяггй кривой и касателыюй в этой точке дается соотношснисм (см., например, (26)) зшф= г (В) )/'"( +®' (9) Из (7) и (9) найдем лг -=-и япн — с-', лв с (10) где с — постоянная. Тогда уравнение лучей в сферически симметричной среде можно записат~ в виде В=с аг г у о*ге — ж Вернемся теперь к обсуждению общего случая и рассмотрим сектор кривизны луча, т, е.
вектор ае ! К вЂ” — = — т, Й длина ксггорого 1'р равна величине, обратной радиусу кривизны; ч — единичный вектор главной нормали в произвольной точке луча. Из соотношений (2) н (!2) следует, что до пК = йгаб л — — з. ле Вго соотношение показывает, что градаснт показавшая преломления лежит гоприкагаяыр'ася плоскостна луча. Умножив (13) скалярно па К н воспользовавшись (12), получим ( К ! = — = ч игас) !п и. р (14) (13) г ая йгас( и = -, —, ! г дг! таким образом, второй член в правой части (5) также обращается в нуль. Следовательно, в 3.21 овщик свойства лтчсй 129 Поскольку величина о всегда положительна, отсюда следует, что вдоль г ханной нормали показатель яр«томления возрастает, т. е, луч «загноавтся«в ооэас>ль с большии показателем преломления (рис.
3.6). 3.2.2. Законы преломления н отражения. До сих пор предполагалось, ч ю показатель преломления и — пепоерынная фуиюп«я. Ряссы«л рнм теперь повеаенне пучек, пересскюощих позер,н«кть, разделяющую две однородныс среды с различнымн показателями преломления. Зоммерфсльд и Рунге !7~ показали, что его лсгко установить с помощью рассуждений, сходных с рассу кденяячи, копэрые провалились прп выноде граюлных )словнй лля некторок нолей на поверхности раздела (см.
п. 1.1,3). л, Рис. 3.6. Ис>Ч>нвлеане луча в не- однородной среде. Ряс, 3.7. К выводу законов врелоыленяя я отраженна. Учитывая тождество го( угад = О, находим, что п соответствии с (!) вектор лз лде(дз, называемый иногда лучевым век>лорам, удовлегворяег соотнощен иго го1ла=О. (16) Как и в п. 1.1.3, заменим поверхность раздела Т переходныч слоеч, в лотаром величины е, р и л меняются быстро, ио непрерывно от своих значении около Т с одной стороны поверхности до значений около Т с другой ее стороны Далее рассмотрим плоский элемент поверхности, стороны которого Р>О> и РЯ> параллельны, а Р,Р, н ()>О, перпенднку щрны к Т (рнс.
3.7). Если обозначить через Ь единичный вектор нормали к эточу элементу, то, интегрируя (15) по площади элемента и используя теорему Стокса, получим ) (го1ла) Ьй5=) лз «(г=О, (16) где втоРой иитегРал беРетсЯ по огРаиичивающемУ элемент контУРУ Рг(1>()«Р,. Переходя к пределу, когда высота Ьй — «О, соверщенно таким же способом, как и при выводе (1.1.23), найдем П,«Х (Л„З« — Л>аг) =- О, (17) где пг,— Единичный вектор нормали к поверхности раздела, направленный иэ первой среды во вторую. Из (!7) следует, что танввнциальг>ая тсставлл>«>и(ал лучевое«»юкл>ора лз нелрерывна лри лврвходв иреэ лавер«натив р>юдели, нлн, что то же самое, векглор !Ч = »,з„— л,з, перпендикулярен к этой >говврхностн. Пусть 8, и 8,— углы, которые образуют падающий и преломленный лучи с норл«ачью к поверхности п,ч (рис.
3.8, а). Тогда, согласно (17), имеем л„(п„Хз,) =л,(п„Хз,) (18) нли л, э1п8,=л, ьбп8, (19) Смысл формулы (18) состоит в том, что преломленный луч ввжшп в плоскости, оброк>ганной ладоши!им лучом и норм«с«ью к ловерхн>кти раздела (плоскости >шдгн ия), а фарл«улы (19) — в том, что от лишен ив синуса у>ью л рвломл ения к синусу уела падения равно отношвиию показателей лраломхсния л«7л«. Зги дна ре- 9 м,вэа,а.ач«Ф !гл. 3 основы гаометеичвской антики зультата выражают закан преломлены (закои Сиалиуса). Он был выведен иамя ранее в 4 1.б для частного случая плоских волн, Однако если прежний вывод справедлив для случая падення плоской волны с произволении значением )„ иа плоскую отражающ) ю поверхностть настотпий относится к волнам н огра>как»цпм повершкютям более общей формы прн условии, что длина волны достаточно мала (й;-> 0).
Последнее условие практически означает, что радиусы кривизны волн<жшо фронта падающей волны и поверхности раздела должны бып велики по сравнению с ллиной волны падающего света. Как и в случае, рассмотренном ай !.б, следует ожидать, что и здесь поянится другая отраженная волна, возвращающаяся обратно в первую среду.Полагая Р»о.
8.8. к вы»ох> ьаковов оролоилооо» (о> и отрьжо»»» (8). в (18) и (19) и,= л, (см. рис. 3 8, б)', получвм, что отраженный луч лежите плоскости ладен>т, а з!п О,= гйп О, н, следовательно, О,=п --Оо (20) Последние два результата выражают закон отражения. 3 2 3.)(ангруэнции лучей и фокальныс свойства. Сосхгношение (1б), а именно го! лз.= О, (21> гп редел яст все системы лучей, которые могут существовать в нзотропной среде, и выделяет пх пэ более обшил семейств кривых. В однородной изотроппов среде показатель преломления и постоянен, и поэтому (21) принимает вид го! 5.= О. (22) В неоднородной изотропной среде лучи также можно опксать соотношением, не завис>шшл> от л.
Его можно получить из (2!), если воспользоваться тождеством го! лз -= и го! з+ (й>ад») и з. э еазом умножить соотношение(2!) скалярпо на 5, В результате получим, что систел>а лучей в любой изотрооной с регю должна удовлетворять соотношепи>о 5 Го!5=0. (23) Система кривых, заполняю>пих нек>хгорую часть пространства тэк, что через каждую точку данной области в общем случае проходит олна криная, называется кояарузхтиеик Говорят, что копгруэппия яориально, если стпсствует семейство поверхностей, пересекающих каждую кривую под пряммч углом; если такого семейства нет, то гоя>фш о косой конгруэиции. В обьюнон геот>стрнческой апти><е (распространение света) рассматривают толька нормальные конгруэниии, однако а электронной оптике (см.
приложение 2) нажную раль играя>т н косые конгруэ>шян. Если вес линии, сосгаиляющие конгруэнпию, имеют вид прямых, то такая ьонгруэнция пазывается прямолинейной; формулы (23) и (2ч) служат пеобхо- 6 33! лгггие основные теоевмы гвомгтгичаской оптики 131 димыми н достаточными условиями того, что конгруэиция является соответственно иорлильиой н нормальной прямолинейной *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
