Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Как мы уже говорили выше, можно считать, что ьюлекулы, составляющие вещество, ведут себя в поле падающих волн подобно диполям. При этом все излучаемые днпплями волны деиствуют па любой другой диполь с эффективной си.той и определяют среднее измеряемое поле. Прелполол<им, что диполи равномерно распределены по среде, и среднее значение их электрического момента в елинние объема Р будем рассматривать как основную величину. На самом же дслп распределение молекул в среде никогдз не бывает совершенно равномерныы (т.
е. имеютсп флуктуации плотности) и, слелопательно, электрический моьтенг отдельных частиц флуктунрует около среднего значения Возникающие явления настоящая теория может объяснить, проводя расчеты несколько дальше, т. е. Рассчитывая не только средние вели пгны, но и их среднеквадратичные отклонения. Подобные расчеты важны для некоторых проблем, например для объяснения голубого цвета неба, впервые данного Рэлеем '!. Но такое распространение теории здесь провести невозможно *"). 2.4.!. Основное интегральное уравнение.
Рассмотрим распространение электромагнитной волны в однородной изотропной немагннтной среде. Электрическое и магнитное поля Е; и Н;, которые действуют на,'-й дипол~ внутри среды, можно разделить нз поля падающей волны Еп', Но( (распространяющиеся со скоростью света в вакууме с) и вклад, создаваемый всеми диполями, т. е. Е;=. Е'и+лъ Егг. Н; =- Но'+ ~У' Нлй ! здесь суммирование распространяетсн нз все диполи, кроме )ъго. В точке гь где расположен )-й диполь, гюле от 1.го диполя можно определить иэ формул (2.2.49) — (2.2.51), а именно Е,=го(го1, Н,= — го( рг (г — янус) ! р (г — )(узус) (2) гг йп ~г= где р,(1) — момент 1-го диполя, )сгг= ) гг — гг~ и операция го1 производится относительно координат хн рм г; /-го диполн.
Кзк мы уже говорили, распределение можно с хорошим приблюкением считать непрерывным, т. с. моки нт диполей можно рассматривать как непрерывную функцию координат (и времени) р — р(г, 1). Концентрацию гУ также будем счйгпть непрерывной функцией координат Л((г). В этом случае полный электрический дипольпый момент Р единицы объема определяется формулой (2.3.!4), т. е. Р = )Ур — граЕ', (3) ') Позже мы будем вновь ссылаться пв теорию Радея в 4 !З.б, где рпссмятрнееется рпсссязпе спетз сйеряческпмп частицами, нпкодяжпмпся в векууме. Если чзстппы мепы, зеппспмость пптевспвпсст» рзгсеяаппго пззученип от дзпвы еояяы соекздвег с этой ззвпспмостью е рассматриваемом случае споптзнпык йауктузцпй пяотпсстп з одпородпой среде (з именно, сОрзтпзя пропсрпкопедьность «етеертой степепе дкяпы волны).
Одпггко, кремс тгого рсзульт:пе, фтуктузшюнпея тсоркя дает также звввспмость пятенспвксств рассеянного излучения Ш фзуктузпкй плотпсств *1) Этз теория рзссмвтрпвзется, например. в й В! кзпгп (б), й 2.4] интРРРАпьныР 'гРАкнгняя иля РАсиРостРАниняя ипиР )ОТ По причинам, изложенным в й 2.3, мы пренебрегли вклалом в (3) силы, созда- ваемой магнитным полем. Поскольку допускается также, что вещестио немаг- цитно (т. с й) =- О], в устанавливаемые ниже условия динамического равновесии ие будет входить эффективное поле Н'. Если подставить (2) в (1) н перейти к непрерывному распределению, ис- пользуя (3), то получим ') Е'(г, ]) =-Ею+1 го1го1 А]а ' ~ г(]л, я (4) Н'(г, ()=-Нгчг+ —,~го1йга ( ' ]пч]п, И где ]]=]г — г'].
Если точка наблюдения г находится вне рассматриваемой среды, интеграл берегся по всей среде. Ес.чи она расположена внутри среды, то необходимо ниа- чале исключить небольшую область, занятую атомом; будем считать эт] об- ласть небольшой сферой о радиуса а. В конечном счете мы обычным образом перейдем к пределу а О. Уравнение 14) прелстанляет собой интегро-дифференцнзльное уравнение относительно Е'. Если решить его, то можно получить Н' из (5). Зтн два урав- нения, по существу, эквивалентны уравнениям зйаксвслла для изотропных ие- магнитных веществ.
Обобщение на магнитные среды можно пронести с помощью второго вектора Ге(пта. 2.4.2. Теорема погашения Эиальда — Озееиа н сч1югий вывод формулы Лорентц — Лоренца. Уравнение (4] связывает довольно сложным образом эффективное электрическое поле с электрическим полем падачощей волны. Это уравнение решается и явном виде лишь в специальных сл]чаих. Тем ие менее из него можно получить ряд основных результатои, таких, нак формула Ло- рентц — Лоренца, законы преломления н отражения н формулы Френеля. Пе- ред тем как показать это, выведем одно за>Янис общее следствие решсння.
Пусть Х оГюзначает границу рассматриваемой среды. Лля точек наблюде- ния, находящихся внутри среды, осноииое уравнение (4) можно запцсать в виде Р = Лча(Ео'+ Е'Я'), (б) где Е"а в внлад от диподей, равный Еы' = ') го1 го1 1' ' ]]] ]з(г". (7) Здесь мы явно указали границу объема, по которому проводнтси интегрнро- ваняе. Будем считатть 'что поле Еп' создается падающей монохроматической вол- ной с угловой частотой зз, т.
е. Еы' == Ап'(г) и-"". (8) В качестве пробного решения для Р выберем волну, которая также монохрома- тична и имеет ту же частоту, но обладает другой скоростью распространения (скажем, с]гг) Р=(л' — 1]й](](г)е ' ', (9) где, как и раньше, й,== ш/с и Рзгь + лейзГ( О (! О) *) Мы дочжпы суиьмронзть пало, з не потенинзпы, т. е.
п (4) опейнтор го] тот должен сюзен гчод зпзкеи ннтегрзяз, з ие знг его. В санек деле, пале, деигтп>чошее нп молекулу и зырзгкеняпе з инде (ЗД попуюется суьшироззпиеи всех иидизндуззьиых попей. Нзлнчие оепбгннггтн у полай вблизи иеточкикоз ведет к рззянчию между суииои позей н пенек, езяззнпыи с поянын потенпиздом (еузшоа потекнизпое, сзяззпьых е индипидузюпыии валями).
Сн. ниже еозтношеиие (16]. !08 элактэомэгннтниа нотвнцнэлм н поляеязэпня [гл, 2 Постоянный множитель (ла — 1) й', в (9) введен для упрощения последующих формул. Постоянную л следует рассигатриэать как неизвестную величину, причем ее определение является одной из главных задач настоящего анализа, Предположим также, что внутри среды ьйу 0=.0. На первый взгляд возможность решения основного ннтегро-дифференциального уравненвя (6) в форме нашего пробного решения может показаться до некоторой степени странной, так как Ео' представляю.
волну, распространяющуюся со скоростью света в вакууме с, тогда как Р, по предположению, распространяется со скоростью с)л. Однако будет показано, что поле дннолей Е'а' можно выразить в виде суммы двух членов, один из которых удсжлетворнет волновому уравнению в вакууме н в чочносгн гасит падающую волну„тогда как другой удовлетворяю волновом) урэвнгншо для распространения со скоростью спг, Поэтому можно считать, что падающая волна гасится в лкэбой точке внутри среды в результате интерференции создаваемого ею поля с полем диполен; при этом появляется новая волна с иной скоростью распространения (а в общем случае н с иным направлением распространения), 1!айденный рез)льтат известен как лггорено логашгнлл; он был установлен вначале для кристаллических сред Эвальдом (24) и для нэотропных сред Озееном 1171.
Чтобы доказать теорему погашения, перепишем (6) в форме, не зависящей от времени () А ( а ',до+Аз), ((ла — )) Ьа где Еа' — (л' — 1) )г)дге "", Аы' =- ) го1го(() (г') 6 ()7) Л" (13) а ахэ ((эа)т) (!4) В приложении 5 показано, что если радиус сферы н достаточно мал, то Е а ') го1го1(1(г') 6(Р)(((г'=. го1го( ~() (г') 6(й) г(г" — — 0(г).
(!5) а Здесь функция 6 представляет сферическую волну в вакууме и поэтому удовлетворяет волновому уравнению у'6 + л)6 = О, (16) Таким образом, из уравнений (1О) и (16) следует, что член, стоящий под знаком интеграла в правой части (!5), можно записать в виде 06 = ), (от*6 — 6тЧэ). (17) (ла — () э) При интегрировании с помощью теоремы Грина это дает ! (( (г') 6 ()7) г()т' =- а ,Ц))()з0,-6$)65 — ~(0„"— ,' — 6$) 5~, П8) (л — ))Эа ( а где символ д/дт' означает дифференцирование вдоль внешней нормали к границе Х. Прямой расчет показывает (см, п. 8.3,1), что предел поверхностного $2.
41 интеггязьнма яг*внення для глспгостекнения волн 939 интеграла по и при а-ь0 равен — 4пЯ(г) и, слеловательно, 1 "'' ) '-.' ~й й-" — ')"'+'и ~ ° В пределе из (!3), (15) и (19) получим Е А' ' = ) го1 го1 Я (г') 6 (й!) Я" = е (19) 4иго1го10+го1го() ч() —,— 6--,1с!5' — — (1(г), (20) 1 Г Г 1 дС дп!,т ап !"-!1'.
~ Используем далее тождество го( го( Π—.—. ягзб гйч 0 — Р%., Первый член в правой части исчезает нз-за условия (11), а второй, согласно (!О), равен пзбг,'(). Следоватечьно, при подстановке их в (20) окончательно получим следующее выражение для поли днпгхчей: чн !я'~Ь2 т 1 с! дс д01 А""= — ~ — ) () -г — го1го! ) (Ч вЂ”,— 6 —,~!(5'. (21) з (ы — 1,) („!1.~*, ,) ( дт' дч') Согласно (10) первый член в правой части представляет волну, распространяющуккя со скоростью с1п, тогда как второй — волну, которая, подобно 6, распространяетсн со скорое!ью снега н вакууме с. Следовательно, как х!ы и ожидали, основное уравнение (12) разделяется на дне группы членов, каждая из которых представляет волну, распространяющуюся со своей скоростью, Это возможно, только если каждая группа в иеи равна нулю, и, следовательно, 3 э+2 (22) и Аш -1- го1 го( ~ ( () —, — 6 —, ~ !(5' =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
