Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 25
Текст из файла (страница 25)
2.1) ча Я, Рас. З.!.К расчету >юмапаюаа (30) электваческ га хапала. Если а Достатпчно мало, можно Раз>южить 1/Яа по степенЯм компонент а> имеем 1 1 1 — = — +а йгаб — +..., (31) Я, и, и, где операпия йгад берется по координатам точки, в которои расположен заряд — е. Пренебрегая в (31) члснамп более высоких перваков, получим вместо соот- ношения (30) >у=за игаб — =е— а и, Я> и", ' (32) Пусть а постепенно уменьшаегся, а е неограниченно увеличивается таким влиитгонАГннтиыг потинпиАН!а и полиенздцня [гл.
2 образом, что еа стремится к конечному значению р, т. е. )пп еа =р, (33) а з Тогда )7, приближается к )7, и в пределе (32) прилтет вид 1 чз = р. Втаб„н (34) (38) Согласно 3 2.1 частные их решения можно выразить через запаздывающие ) Бесконечно мз.ж с тони Диосре рнссчзтриввются в любом учебнике по электричмтву а также в южге [51 пв стр.
Збб — ЗОЬ !в русском нвреноде нн стр. 411 — 412). *') Веглоры П, и П преобразуются «ивлогнгмо вектором Н н В (нли П и Н), т. е. об. реву~от 6-агкгяод (знтиснмчетрн иы!! тензор второго ртнге). Они являются обобщениями пекой потеепкзльнои функции, введенной Г. Герцем для электромагнитного поля огцнллмрчювге~ диводч [б!. Векторвыи хзреюср глпснцивле Герце быв замечен А. Ричн [7), историю внед соо~ветстнующнй мзгннтяый потспцнвд Общяя теория нсктороя Герце и соответствующего квлнбровочного нрсобрыоввния резыпа в работах [З! (си, 1ек.кс [и!).
В частном случае, когда р нс зависит от времени, зто выражение идентично (27). Если заряды зависят от времени, но в каждый даняый момент различаются лишь знаком, то вместо (30) получим е!1ц- йз)с) е(! — Л,/с) 35) Ро ( Снова переходя к пределу, найдем ф.—:. [Р~.йгад„— +;йи )с (р), 1, 1 что совпадает с (27).
Итак, (23) зго>кпо интерпретировать иак скалярный по- тенциал роспуедеониоя здгклпрпчсскит оиполец с яожеятон Р и ег)зенице сюиелп. Легко показать, что последний член в (28) явлиется магнитным потенциалои, создаваемым юиыи дпполяыи. Аналогично можно показать, что (28) является векторным потенциалом магнитного днполя с иопеитом т(!), причем такой диполь, конечно, зквива- лептсц бесконечно излому замкнутому ко!нуру с плошадью А, поомальноиу к гп и нссушсиу ток а), равный с[п'Л, Стсдозатсльно, два первых члена в (24) можно 1штерпреп!роиагь клк векторный потенциал улхпуейедеипя могниглизек Винодел с иомнишол М и единице объедсп.
2.2.2. Векторы Герца. Вместо того чтобы использовать потенциалы А и чр, мы можем выразить поле через другую пару потенциальных фуцкпий Пе и Пои зависимость которых от Р и М имеет значительно более простой вид. Они гпнгсгны как леюжзуы Геуци, ияи тзгзляуизн(игзяные потенциалы "], и вводятся посредством соотношений А = — Па+то! Псо (36) 'р = бзц )-[а.
(37) Как мы взшнм П, и П „, связаны с А и ф такимн же соотношениями, как поля- ризации Р и М с 7',гс и и. Условие Лоревтца при атом автоматически выполняется, а уравнения ()2) и (!3) для А и чр гак>ко будут удовлетворяться, если П, и П„, явлшотсн ре- шсннямн неоднородных волновых уравнсиий РзП П 4НР У~τ—, П = — 4зтМ. ' ! (39) поляенэчння н яхихгпнчвняв потенциалы в виде (4!) (44! П; =- П, + го1 à — йгай 6, П;„—.— П вЂ” — Г, (46) где векторная функпяя Г и скалярная функция 6 — произвольные рещеиня однородных волновых уравнений 7гр — тр=о, 726 — —,6=0.
(47) Инвариантнссть векторов поля относительно такого преобразования легио показать, подставляя (46) в (36) и (37). Величины А и гр при этом преобразуются в А' и !р' согласно (2.!.!4! с Кроме того, подстановка (46) в (38) н (39) показывает, что П; и П„', также удовлетворяют неоднородным волновым уравнениям для векторов Герца. 2.2.3.
Поле линейного электрического днп!ьтя. Лля дальнсйщего полезно записать в явном виде полныс рсщсния уравнений поля в вакууме длн щжя, создаваемого линейным злектрическиы днполем, расположенным в точке г„ и колеблющимся в фиксированном направлении, определяемом едани шым вехтором п. Такай диполь характеризуется электрической поляризацией Р (г, !) = р (!) б (г — г„) и, (48) где р — функция времени, а б — дельта-функцня Дирака, В об!цен случае (40) Векторы поля можно выразить непосредственно через П, и П„простым дифференцированием. Из (9) и (36) получим В = го1 (-, П, 4 го( П„~, (42) а иэ (!0), (36) и (37) найдем ! д/! Е = — — д ( — П,+го1П„)+йгай й(т П, = = — го1 ( — — П„+го1П,)+ (7'П,— —, П,), (43) где использовано тождество йгай й!»= го1го1+7'. Согласно (38) член во вторых скобках равен — 4лр.
Следовательно, используя (!), находим (у=го1( — — П„+го1П,) . Наконец, из (2), (42) и (39) имеем Н=го1 ( — П,+го1 П )+( 7'П вЂ”,—., П ) г1 ! ! д / ! — — — Пи+ го1П,) +йгай й!т П . (45) В й 2.1 было показано, что потенпналы А и ~р, связанные с данным полем, неоднозначны; любая другая пара (А', чг), которую нежно нолучн!ь из возможной пары (А, 9) посредстяоч калнбсовочного преобразования (2.!.!4), будет представлять то же поле. Векторы Герца также неоднозначны.
Их можно подверп!уть следуютемт преобразовашпо, которое оставиг векторы поля пеизменнымн: зинктеомлгнятнын потвнцнллы н поляензлцня [гл. 2 (50) (5!) Е=[) =го[го! Пы В Н = — го1П,. ! Используя тождество го[ го[ = —.. Осад б!» — ри и соотношение риП, = — П„, мож- 1 се но перешюать (50) в виде Е = П = исае[ б 1» П,— —, П Из (49) после простого .расчета получим гВ» П, =- — [ р, -[- —, 1 (п. К), [50 [р! ! го1П,.= [ —,+ —,~ (пх[(), где, как и раньше, величины в квадратных скобках соответствуют запаздываю- и щвм значениям. Поцсгавляя эти пыражешш в (52) н (51), !юлучям нсколпяе формулы для векторон поля, а именно — 1 — + —.+ — Г п, (52) [[р! [р! !р! ! 1г(е ' еде сеи ! В = Н = [ —, + и и ( (п х К) ..
(54) Позже нам понадобятся также выражения У для Е и Н в сферических координатах. Выби. рая направление и в качестве асн г (рнс. 2.2) Рнс. 2.2. Рис!ет поля динеиижо н обозначая через !я, 1; н 1е сдиюшные вскилеитричеоиоео дином -. дчнодь торы в напраВлений увелкчеяяя Н, 0 и '[х нмм мамо!пом вдоль оси е. получим Н=)([я, п=(созО)1я — (гйпО)1,, п.Н=)(сааб, пх[(=Яз[пб)1. (55) Тогда (53) и (54) дают (55) Е=Е,[я —,Ее!и, Н=-ОД тле / РО [р! Д У 1р! [Р! [р! Д 1 (,Л .я / [, л сие сед,) / [р! [р! з е--[,сг(» се,/ (57) диполь с ориентацией п, также зависящей от времени, эквивалентен трем линейным диполям, дипольные з!од!енсы которых ориентированы вдоль трех взанмпо перпендикулярных направлений.
Согласно (40) электрический вектор Герца, связанный с (48), равен р [г — л/с) (49) где )( — расстпянне точки г от точки г,. Так как Пе, = О, а П, удоолетворяет всюду (кроме начала координат) однородному волновому уравненщо для вакуума, уразнеяня (42)--(45) сводя'гся к % 2.2! поля»извиня н нхмьгннчвннв Таким образом, электрический вектор лежит в меридианальной плоскости, проходящей через ось диполя, а магнитный вектор перпендикулярен этой плоскости. Особый интерес представляет поле в области, которая настолько удалена от диполя, что в приведенных выше уравнениях можно пренебречь всеми члепаии, кроме членов первого порядка относительно 1Я. Эта аолнаапя (или радиационная) зона характеризуется тем, что для нее И~~)с~4~, Й)~с~4~, В этой области (58) (60) (Оа) где и — фаза р,. Отсюда, усредияя по премепи за интервал времени, 1шю с периодом Т = 2л ы, получим (г»!' »и <5» = —" — ьш'О.
ЗпЖ с' большой по сравне- Е, Н» —, з!пО, (р! (59) а другие компоненты пренебрежимо малы. Следовательно, в волновой зоне век- торы В и Н по не,шчпне равны между собой и псрпепдпкулярны друг к другу с «радиус)-ве«тору й, который совпадает там с направлеппсп вс«тора !!ойп- г,шга. Поэтому в этой зоне структура полн линейного электрического дпполя подобна структуре поля плоской волны. Однако в случае диполя на каждоп «вол»швей поверхности» (сфере с пентром в точке г„) векторы поля меняются от точки к точке, уменьшаясь по величине от экватора к полюсам, причем на оси оспиллятора они равны ичлю.
Поэтому диполь не излучает энергии в на- правление своей оси. Рассччтаеп количество эяергии, излучаемой за 1 сек через каждую сфери- ческую во..яовую оонерхиосп Опо ратно интегралу от величины вектора Пойнтинга Ь', взятому по этт»й поверхности. В волновой зоне чл( ! 4~(» ч~ ~~"~й Следовательно, общее количество энергии, протекающее через сферическую поверхность в секунду, равно (г(п обозначает элемент поверхности) . '.! Збо== — „, ) з!п*О 2п)т» з!п Ог(0=- —. !рр !л ..
г(рр чгм»д».! зс' (61) е Рассмотрим спепиальный случай, когда р 09 является периодической функ- пией ! с угловой частотой ш, т, е, Р (!) =Р»е (62) где р;.— комплексная постоянная. Вудсы считать, что вещественная часть (62) представляет р. Два условии (58) теперь сводятся к одному )1 )) Х/2п (Х =- 2ясря), (63) а (59) дает для неисчезающих компонент поля в волновой зоне выражение г и т» ехр ( — иа(à — йгс!) Е» — — Нь — ( — ) р»5!пО предполагается, что берется вещественная часть выра>кения, стоящего в правой части (6!).
Количество энергии, проходящее в секунду через единичную пло- ишдь сфсри !есной поверхности н волновой зоне, равно Б= — ( — ) ~ф з!и» 0 сов' (а (г — )т!с) — са1» (65) элвктгомдгнвтяыг яоткнпндлм я поля»кахиня [гл. 2 Поэтому энергия (усредненнзя по времени), проходящая в секунду через нсю поверхность, равна (67) й 2.3. Формула Лорентц — Лоренца н элементарная теория дисперсии») 2.3.1. Диэлектрическая н магнитная восприимчивости. Интерпретация потенциалов при помо~лги поляризации н налшгипчеиия имеет фундаментальное значепне в теории апшного строения вещества.
В рамках такой теории аддитияиые соотношения (2.2.1) и (2.2.2), связыва!ощпе поле Е с )у и Р и иоле Н с В и М, имеюг Гюлсс ясный физический смысл, чеч ыу.ли иоликативные слютношения (материе чьные уравнения (1.1.10) и (1.1.1!)). В этой теория ветцество рассматриваеття как совокупность взаимодействующих частиц (атомов и молекул), находящихся в вакууме. Такие частицы образуют поле, которое нспытывает большие локалы!ые колебания внутри вещества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
