Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Приведенных опред«ленин и свойств тн ь(лыгг ~осгйгочгьо для пашин целей, и поэтому мы можем вновь возврзтитьсн к обсуждению распространения электромагнитных волн через слоишуго среду. 11. Поскольку функции У (Р) и )х (з) в п. 1.6.1 удовлетворяют линейиыч диффереицнатьиыч уравнениям второго порядка (типа (16) и (1ГЛ)1, юокдую из них можно выразить з вкде личсйиои комбинации лаут частных решений, скажем ГУО и, и 1'„1хт. Эттг частные решешгя ке мог)т быть пронзвольнымн; опи должны быль связаны ушффсрсшгняльными ) равнениями первого порядка (14), а именно и» = — ' гйвР1 х / няу и' = уй ~ з — — ) У .
ььтуь)т' и; =- ит,р)лгу Гйо (в ) ('т Отсюда следует, что (у,и; — и;1,—. О, (26) и,(у; — )х;и, = — О, так что -„"-„(иУЛ- - ит1',) —. О. Зто соотношение означает, что определнллель !"л и ~' (26) соответствующий любым двум произвольным репгеиням системы (14), постоянен, т. е. что .0 является инвариантом нашей системы уравнений *). ) это следует твкжт яв, орожо нгю ткого своаетвв вронеккянв к»я лвнсйннт хнйл)хртньквяьннх урввневна второе ь порядка, Вельо ~ьго, нырукно твн,ье нокхотньь 'по сс.ш ит нзвытно, то и, кожно получить с помощью Рннегрвроввння нз соотношенитг и, = иузи, ~ — 'т лт '~ и'; (ен.
1251, ьзр. ЬОЗ), По опретелени,о две магрицьг рпзиьг, только если они имеют одинаковое ьисуго строк и и одинаковое число столбцов л и если равны их соответствуюпгпе элементы. Если А =- (и„) и В- !Ьо! — две матрицы с равным числом строк и равным чггстол1 стллоцов, то их суллнх А ЬВ онрелс,оьлпсн ка«нзтрица С, элементы кгпорой рваны сту == аи + Ььу. Аналогично их разнослпь А — В определяется как матрица Д с элементами т(,у = ам — Ь,у. й!атрица, у которой все элсмсигы равны нулю, называется иулеаоб жашрпцей. 1(вздратная матрица с элемситзмп а,у —. О ири л Ф ) и аг, = 1 лдя всех звачений г называется единичной жтупднггсь( и обозначается через 1. Произведение матрицы А и числа Х (вещественного илп коьгпленсного) опРеделиетсн как ьгатРицз В с злельеи~зчи !л~у = каьу.
Произведение двух матриц АВ онргедюгено лишь для случая равенства числа столбцов в А гислу строк в В. Если А — это ш х р-матрица, а В-- зто р х л-матрица, то их произведение по определению будет гп х и-матрицей с элементами в с,у — —,йл атьйьр ь=| Тактгьь образо г, опервцнл уььножоннлг двух лштрин аналогична умножению определителей равных порядков, когда строка умножается на столбец, В общем случае АВ ~-.
ВА. Например, РлснРОстРлягнкк ВОли в слоистой сРеде Для наших целей наиболее удобно выбрать такое частное решение: и, = ) (г), и, = Р (г), )г, = й (г), 1', =- 6 (г), чтобы (27) ((0)=6(0) =-0 и Р(0)=у(0),=1. Тогда решение с (23) и (О> = ию )г(о> =)г, (29) можно выразить в виде и=ри, 1>л „ нлц в матричной форме (30) где (31) Из соотношения.0 =- сопз1 следует, что определитель квадратной матрицы М постоянен. Значение втой постоянной сразу же можно получить, полагая г = О, что дает ( М ( =- Рд — (О = 1. Обычно улобнес выражать и„и >гэ как функции и (г) и 1' (г).
Разрешая относительно и„и ря получим О,=МО, (32) где а(> — >()1 (.--О(г) р(г)> (33> а=из!по. Для полны ТЕ-типа получим в соответствии с (1б) н (!6) ши бэу —,+(4)~~ сов О) и=О,,— „+ Щгг~с05 О>>у=О. (33) Легко впдеть, что решения этих уравнений, удовлетворяющие соотношениям (!4), име и иил и (г) =- А соз (йэлг соз О) + В з!п (й,лг соз О), ( (36) 1' (г) =- —, )у — соз О (В соз (й,пг соэ О) — А з!п (йлпг соз 6) >. > ') Чтобы пакааать это, вмразям отражательную я ярояускательяую снсссбаостя (5!! через матрвчяме элекстм.
Есля, галсе, учесть, что Рлл еелеглое!Вюсаей сэеам характеристическая ялтраял кисет Вяа (лб!. то, как им валик, заков сехракеявя л(,',(У вЂ ! будет элевлетлоряться ярк уславяя )М!= !. Эта матрица также унимодулярна, т. е. (М(= 1. (34) Смысл матрицы М ясен: она связывает х- и >ркомпоненты электрического (нлн магнитного) векторов на плоскости г =- 0 с этими компонентами нк произвольной плоскости г --- сопгй Таким образом, мы видим, что для полного определения поля достаточно знать и и !'.
Следовательно. длл того чтобы узнать, как раслрос(прануиипся плоская ионохрожалишсг чия волна через слиислуо среду, паследтот нгсбходимо ахаракл!еризоаигль лини с~л~гллетснисут!Чей днимодулярной 2 м 2-.кгилрнйгй М. По этой при шне мы будем называть М хориктгристическо!! митричей слоистой среды. Постоянство опревшлителя )М ! можно показать с помопгыо закона сохранения энергии *). Ниже рассматривается форма характеристической матрицы для случаев, представляющих особый интерес. а.
0днорт>ная диэлектрическая пленка. В этом случае величины в, р и п —.>''ер постоянны. Если Π— угол между нормалькэ к волне и осью г, то, согласно (24), нчеем (гн, ! осноннын саойсгнл злгктгомлгнитного поля р 1 в/р со50, Следовательно, частнос решение (27), удовлетворяющее граничным условиям (28), запишется следующим образом: (/,=,) (г) = — „)' р/в 5)п(й,лг соя 6), 1', = я (г) = сон (А:ляг сон 0), (/ = г (г) =-со5 (й па со5 0), 1',=-0(г) =-!) в/1! со505ш(й„па соя В).
Если мы положим (36) то получим характеристическую матрицу в виде (.)=-' соя (й пг соз 6) — 5!п (й,нг соз О) Р— 1р гйп (Я,нг соз 6) соз ()е,пг соз 6) Те же уравнения будут справедливы для волны ТМ-типа, если р заменить на 1 — са5 О. (40) г в б, Слоистая сргда, состоеиргя из тонких т)породных пленок. Рассмотрим две сме!кные слоистые среды, первая нз которых занимает пространство от г = О до г .=- гь а вторая — от г = г, до г = ге. Если М,(г) и Мл(г) — характеристические матрицы двлх сред, то О„=М,(г)О (г,), О (г,):::М,(ге в гДО [г,), так что О,=-М(г!)О(г,), где М(г,) =Мл(г!)М,(г! — г).
Этот результат немедленно можно обобщить ня случай непрерывного ряда слоистых сред, расположенных в областях Ос г<г„гКл -.гм ..., гл., - гцбгл.. Если Мл, Мм ..., М/г — характеристические леатрицы сред, то и М=ЦМ,=~ (42) где А —. р р,пбг созй =.р (е/ — — )бгп м Ф В= чн — /бг со50 = л рбг. Хир/ / / Н! Г / !=! !=! *! Н!ыы нонр! аяее ресснолренне енонспех сред с непрерывно меняющемся !локаеателем прело!о ю!я проведено в рааого 1311. Ое =- М (гл) О (гк), М (гл) = М, (г,) М, (гн — г,) .... М,г (гм †!). )' С помощью последнего соотношения легко вывести соответствующее выражение /ы!я характеристической матриц!л любой слопстой среды "); мы разбиваем зту среду на очень большое число тонхих пленок толщиной бг„ бг„бг„..., бг„.
Если их максимальная толп!ина достаточно мала, можно считать, по в, р и л постоянны в каждой пленке. Из (39) видно, что в этом случае харантеристическая матрица /-й пленки приближенно равна М вЂ”.— 1 — — ' й, н/бг/ соз В/ /' Р/ †!Р/йен/бг соз В, 1 Следовательно, характервстнческая матрица всей среды, рассматриваемой как совокупность тонких пленок, приблизительно равна рдспгостгднзииз волн в слоистой сгвдв Здесь также оставлены лишь члены до первого порядка по бз включительно.
Переходя к пределу пря М-ь оо таким образом, чтобы максимум (Ьз) ( стре- мился к н)лю, получим )„) ~ 1 — !)гз.в~ (43) тле ( = ~ ( — — ~) г)з, л) = ) р г(г, пг (44) а интегрирование проводится по всему интервалу изменения з, Выражение (43) дает первое приближение для характеристической матрншл произвольной слоистой среды. Оставляя в разложении величин соз (й,пбг соз 6) и шп (Дзобз соз О) и в произведении (42) члены более высоких порядков, можно получить следующие приближенна *). Поскольку для непоглошаюшей среды в и и вещественны, то видно также, что характеристи мекал матрица непоелоириощеа слоистой сроЪ имеет еид М= ~а. 'Д (46) (), = А+ )с, У (г,) = Т, 1', = р, (А — )1), )г(ез) р,Т, ) (46) где Р,=глез)цзсозбп Р,- )г ег)Ргсозйг.
(47) т!етыре вачнчины (уз. )гз, () и 1', определяемые равенствами (46), связаны основным соотношением (32); следовательно, А р И=(т,',-, 'т',ьо,) Т, р,(А — )()==(т,',+т„'р,)Т, (48) где т,') — элелгенты характеристической матрацы среды прн а = гп Из (48) мы найдем коэффициенты отражения и пропускавия пленки (тп ' гг~ 'рйр~ (гозг+гз(за (мп+'гйзрг) Рз + (то+ тззог) Т зрг (49) 660) (тп+тзизз) Рг+(гязг+з'прд ') Ого подробно ресгзыгрэээзтся з работе !2З), стр.
З)!. * П Таы рчгсыагрзззгэ виола~уды электрических нгтторов, когда изучаем асаны ТЕ.тапа, з аыпдит)ды магнитных векторов, когда язучаеи волны УМ типа. где а, Ь, с в г( вещественны. 1.6.3. Коэффициеггты отражения и пропускання. Рассмотрггм плоскую волну, палик>щукг на слоистую среду, которая занимает область от з = О до з --- г, и с обеих сторон граничит с однородными полубесконечными средами. Выведем выражения ддя амплитуд и иптепсивпостеи отраженной и прошедшей волн *з). Пусть А, )7 и Т обозначают, как и раньше, амплитуды (возможно, комплексные) электрических векторов падающей, отраженной и преломленной волн.
Далее пусть еп рп и еп р,— диэлектрические и магшпные проницзеыости первой и послсднсн сред, а О, н О,— углы между нормалями к падающей в прошедшей волнам и направлением осв г (направлением стратификации), Граничные услонпи, прпнедгпные н 4 !.1, требуют, чтобы тангенциальные компоненты векторов В и Н были непрерывны на каждой из двух поверхностей раздела слоистой среды. Вместе с соотношением (1,4А) Н =-)' з,'!з ам Е это приводит к следугошим соотношениям для волны ТЕ-типы [гл. 1 асновиык свойства злжгтгоихгнитного поля О»прана!псльная и нролусхателвнал способности, выраженвыс через г и 1, пчел»т вн д я=-! [ (т1) Р» Фазу Ь„величины г можно назвать изменением Фазы лри отражении, а фазу 5, величины ! — изненением Фазы лри лро»»рскании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
